杜渺勇，施 垚，周 浩，韓丹夫

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院， 浙江 杭州 311121)

圖像容易受到噪聲破壞的特性，顯示了去除噪聲的必要性[1].近年來(lái)，小波分析和偏微分方程(PDE)在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2].現(xiàn)有的小波去噪方法主要有：非線性小波閾值去噪方法，基于樹(shù)的小波去噪方法，多尺度小波去噪方法和小波系數(shù)模型的去噪方法[3].

現(xiàn)有的基于PDE方法的去噪模型主要有：P-M模型、全變分(TV)模型、四階PDE模型等[4]，他們?cè)谶M(jìn)行圖像去噪時(shí)能夠很好的保護(hù)邊緣信息，但是TV模型在處理高噪聲的圖像時(shí)會(huì)有過(guò)度平滑的現(xiàn)象發(fā)生，四階PDE模型去噪時(shí)會(huì)輕易地使圖像的光滑區(qū)域變的不再完整.

傳統(tǒng)的PDE圖像去噪算法需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為了降低設(shè)計(jì)PDE方程進(jìn)行圖像去噪的難度，Liu等人[5]提出了偏微分方程學(xué)習(xí)模型LPDE，將機(jī)器學(xué)習(xí)與PDE結(jié)合起來(lái)，但是這個(gè)模型收斂的速度非常慢，并且伴隨著大量的計(jì)算和復(fù)雜的推導(dǎo)，為了解決Liu模型的缺點(diǎn)，Zhao等人[6]提出了一種新的方法，快速交替的時(shí)間分裂方法(fatsa)，新的方法減少了大量的訓(xùn)練時(shí)間和訓(xùn)練誤差，并且去噪效果也比Liu的方法好. 本文在Zhao模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)減少微分不變量的個(gè)數(shù)，使訓(xùn)練的時(shí)間比Zhao的模型更快，并且去噪效果與Zhao的模型相差不多.

1 基于機(jī)器學(xué)習(xí)和PDE的模型介紹

根據(jù)Zhao[6]的模型，通過(guò)削減一個(gè)指示函數(shù)，減少與之相關(guān)的微分不變量，從16個(gè)微分不變量變?yōu)?個(gè)微分不變量，構(gòu)建以下新的由微分不變量系數(shù)函數(shù)組成的PDE方程模型，對(duì)于二維圖像，在二階及以下有6個(gè)基本微分不變量，如表1所示.

表1 微分不變量的介紹Tab.1 Introduction of differential invariants

表1有6個(gè)基本微分不變量，它們的最高階數(shù)是2階. 這些微分不變量都有其幾何意義，u是隨著偏微分方程進(jìn)行演變的圖像，tr表示跡算子，u表示u的梯度算子，Hu表示關(guān)于函數(shù)u的海森矩陣，簡(jiǎn)記inv(u)=[inv0(u),inv1(u),…,inv5(u)]T，(·)T表示矩陣或者向量的轉(zhuǎn)置.

基本微分不變量的線性組合是它們所能構(gòu)成的最簡(jiǎn)單的函數(shù)[7]. 因此，學(xué)習(xí)偏微分方程可以轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)它們線性組合之后的系數(shù)[8]. 由基本微分不變量構(gòu)成的函數(shù)，它們僅跟時(shí)間t有關(guān)，并且與空間變量是相互獨(dú)立的.為此，可以準(zhǔn)備一些訓(xùn)練用的輸入與輸出的圖像對(duì)，通過(guò)最小化PDE和原始圖像的誤差來(lái)達(dá)到控制的目的. 我們?cè)O(shè)置初始函數(shù)作為輸入圖像，在Zhao的模型的基礎(chǔ)上，提出以下新的由微分不變量系數(shù)函數(shù)構(gòu)成的PDE方程模型，新的模型具體如下

(1)

(2)

其中，{(Im,Om),m=1,…,M}為輸入圖像對(duì)，表示M個(gè)輸入與輸出的圖像對(duì)的個(gè)數(shù)，um(x,y,t)是輸入圖像在t時(shí)刻的演變圖像，Ω∈R2表示圖像區(qū)域，T是可以歸一化為1的時(shí)間跨度，Q=Ω×[0,T]，Γ=?Ω×[0,T]，并且?Ω表示Ω的邊界，式(1)的正則項(xiàng)系數(shù)可以表示為a(t)=[a0(t),a1(t),...,a5(t)]T.其中，an(t)=an·t.

2 新的算法及步驟

為了解決新的模型，首先需要對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行離散化，并且取步長(zhǎng)為t，并且記ti=i·t，i=0,1,…N.在每一個(gè)tn，我們都最小化下面這個(gè)式子

(3)

(4)

s.t.‖a0‖∞≤η1，

(6)

關(guān)于求解an-1，問(wèn)題則可以轉(zhuǎn)換為

(7)

其中an與變量(x,y)相互獨(dú)立，記

(8)

然后問(wèn)題(7)就可以轉(zhuǎn)化為以下問(wèn)題：

(9)

問(wèn)題(9)可以用信賴(lài)域方法去進(jìn)行求解[10].

輸出a0，a1，a2，a3，a4，a5.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

本文用中心差分來(lái)對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì)：

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1 對(duì)圖像添加標(biāo)準(zhǔn)差為30的去噪效果圖Fig.1 Image denoising effect map with standard deviation of 30

表2 10張自然圖像的平均峰值信噪比(PSNR)和程序所運(yùn)行時(shí)間
Tab.2 Average peak signal-to-noise ratio of 10 natural images and running time of programs

Std新算法PSNR/(BI)fatsa算法PSNR/(BI)新算法運(yùn)行時(shí)間/sfatsa算法的運(yùn)行時(shí)間/s1032.63 dB33.42 dB52.17623.262030.33 dB30.82 dB58.36690.45 3027.88dB28.23dB67.42s783.68

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)圖1和表2，能夠看出，隨著高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的增大，兩種方法的去噪效果都有減弱.fatsa算法很好的保護(hù)了圖像的細(xì)節(jié)信息，并且圖像平滑自然，新的算法在部分圖像細(xì)節(jié)中出現(xiàn)模糊. 新的方法雖然在去噪效果上要比f(wàn)atsa算法有所減弱, 但是在運(yùn)行時(shí)間上有了巨大的改進(jìn), 并且本文的PSNR與經(jīng)過(guò)fatsa算法的PSNR相差不大.

4 結(jié)論

本文提出了一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)與偏微分方程相結(jié)合的方法，它能夠的有效的利用PDE來(lái)進(jìn)行圖像去噪，并且在fatsa算法基礎(chǔ)上，通過(guò)減少微分不變量的個(gè)數(shù)，減少了迭代的次數(shù).因?yàn)闇p少了正則項(xiàng)系數(shù)，所以圖像去噪的結(jié)果與原模型相比還是有些許不足，并且這個(gè)模型并沒(méi)有進(jìn)行理論的證明，后期希望能夠得到證明.本文只將這個(gè)模型用于了自然圖像的去噪，后期還可能用于醫(yī)學(xué)圖像和衛(wèi)星圖像的去噪，以及其他圖像的復(fù)原工作.