胡 松 (江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部 210000)

初中數(shù)學(xué)中，不同教學(xué)內(nèi)容在教師心目中的難度各有不同，既有“全等三角形的判定”“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”這樣難啃的硬骨頭，也有像“線段、射線、直線”“一元一次方程”這樣“簡單”的課．這些簡單的課有幾個(gè)基本特征：教材內(nèi)容相對容易理解，甚至是學(xué)生自己看看就會(huì)；教學(xué)內(nèi)容相對偏少，甚至是15分鐘就能講完；教學(xué)內(nèi)容不常被評價(jià)，甚至是考試基本不考．但是，當(dāng)筆者觀摩并實(shí)踐過很多這樣的簡單的課以后，發(fā)現(xiàn)簡單的課其實(shí)并不簡單，其實(shí)施過程中存在不少問題．本文就試著通過一些課例闡述如何把“簡單”的課上得“不簡單”．

1 挖掘簡單知識(shí)背后不簡單的思考

那些所謂學(xué)生自己看看就會(huì)的課，我們到底要讓學(xué)生“會(huì)”什么？有的教師直接讓學(xué)生自己看看書，或者用很短的時(shí)間把知識(shí)介紹一下．如果學(xué)生真的輕松就能掌握這些知識(shí)，那么教師就應(yīng)該充分挖掘教材內(nèi)容，利用空余出來的教學(xué)時(shí)間將蘊(yùn)藏在內(nèi)容背后的思考方式體現(xiàn)出來，為學(xué)生習(xí)得方法提供有利條件．

案例1蘇科版七年級上冊6.1“線段、射線、直線”

這是初中平面幾何的第一節(jié)課，在很多教師看來除了三種圖形的表示方法是初中階段的新內(nèi)容，其他都是在小學(xué)階段就已熟悉的知識(shí)．但仔細(xì)分析本節(jié)課的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)隱藏其背后的幾何學(xué)習(xí)的思考方式．線段、射線、直線是基本的幾何圖形，是構(gòu)成其他復(fù)雜圖形的要素，這三者間既有密切聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別，它們的概念、性質(zhì)、表示方法、畫法等都是幾何的重要基礎(chǔ)知識(shí)，是后續(xù)學(xué)習(xí)圖形和幾何及其他數(shù)學(xué)知識(shí)的必備知識(shí)．從這里開始，我們將逐步幫助學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)語言體系，即“圖形語言—文字語言—符號語言”，并逐步幫助學(xué)生弄清幾何研究的基本思路，即從圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的角度展開研究．所以，這節(jié)課是平面幾何學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是一個(gè)典型案例．

基于以上分析可以發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課要在小學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)線段、射線、直線，并掌握“兩點(diǎn)確定一條直線”的基本事實(shí)，理解“確定”含義中的存在性和唯一性.不僅如此，還要初步學(xué)會(huì)幾何語言的應(yīng)用，能夠根據(jù)圖形選擇恰當(dāng)?shù)奈淖趾头栠M(jìn)行表述，能夠理解文字和符號所表達(dá)的圖形及關(guān)系．這樣的幾何研究的方法應(yīng)該從第一節(jié)課就開始滲透．

挖掘出有深度的思考內(nèi)容，教師就不會(huì)覺得簡單到學(xué)生自己看看就會(huì)，課堂設(shè)計(jì)就一定不會(huì)單薄，反而能夠豐滿充實(shí)并且引發(fā)學(xué)生深入思考．

問題1 談?wù)勀銓€段、射線、直線的認(rèn)識(shí)．

問題2 請你分別畫一條線段、射線、直線，再談?wù)勀銓λ鼈兊恼J(rèn)識(shí).

問題3 如何區(qū)分你們畫的這些不同的線段、射線和直線呢？

問題4 我們知道了線段、射線和直線的圖形表達(dá)、文字表達(dá)和符號表示，那么直線和其他圖形之間又有哪些關(guān)系呢？

問題5 觀察下列圖形(圖1)，說出畫圖過程.

設(shè)計(jì)意圖《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中，在小學(xué)4-6年級的課程內(nèi)容中規(guī)定：結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線．學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)認(rèn)識(shí)了線段、射線、直線，問題1是對學(xué)生的原有知識(shí)進(jìn)行的一次喚醒，激活學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中的生長點(diǎn)．

從問題1的會(huì)說到問題2的會(huì)畫，要求更進(jìn)一步，學(xué)生畫線段、射線、直線，從形的角度直觀思考它們的區(qū)別和聯(lián)系，這比問題1里簡單地要求學(xué)生辨識(shí)和認(rèn)識(shí)的要求更高一點(diǎn)：在問題2中，要求學(xué)生能夠從形狀、大小的角度較為準(zhǔn)確地進(jìn)行描述，從而學(xué)習(xí)“延長”和“反向延長”的畫圖語言和動(dòng)作，認(rèn)識(shí)延長線和反向延長線．問題3是符號語言的登場．這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了一系列的問題串，讓學(xué)生在自主探究中思考三者的表示方法，進(jìn)而對線段、射線、直線的聯(lián)系和區(qū)別有不斷理性的認(rèn)識(shí)．

幾何研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，研究完了前3個(gè)問題，也就經(jīng)歷了從“圖形語言—文字語言—符號語言”的完整過程，接下來就應(yīng)該研究圖形的位置關(guān)系了.問題4需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)的基本位置關(guān)系是“點(diǎn)與線”和“線與線”，當(dāng)然，學(xué)生可能還會(huì)提到直線與射線、直線與線段、射線與射線、射線與線段、線段與線段等關(guān)系．問題5的設(shè)計(jì)要求學(xué)生再從圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言和文字語言，有一定難度，尤其是符號語言和文字語言的描述，既要考慮到符號語言的規(guī)范性又要考慮到文字語言的邏輯性．

2 挖掘簡單技能背后不簡單的思維

有的“簡單課”內(nèi)容少、方法簡單，學(xué)生很快掌握了技能，之后教師認(rèn)為只需要通過大量訓(xùn)練進(jìn)行鞏固就能完成一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)．這樣理解技能的獲得就把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)想得過于簡單了．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)如果僅僅通過訓(xùn)練就可以達(dá)到目的，那么對學(xué)生能力的提升沒有本質(zhì)幫助．教師要能夠研究方法的內(nèi)涵，看看方法背后有沒有數(shù)學(xué)思維值得挖掘，比如數(shù)學(xué)思維和其他內(nèi)容之間是否一以貫之，數(shù)學(xué)技能的得來過程是否比結(jié)果更有價(jià)值等．

案例2蘇科版七年級下冊8.1“同底數(shù)冪的乘法”

從教材文本來看，這節(jié)課只要求學(xué)生掌握一個(gè)公式，即同底數(shù)冪的乘法公式．這個(gè)公式本身并不難推導(dǎo)，應(yīng)用也比較單一，但這個(gè)乘法法則的背后承載著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所需要的理性思維．“冪的運(yùn)算”是初中代數(shù)“式的運(yùn)算”的一部分，“冪”在初一學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中應(yīng)該屬于單項(xiàng)式．因?yàn)樵谒麄兊恼J(rèn)知里，a2，a3等都是冪，它們都是單項(xiàng)式.既然已學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式的運(yùn)算，為什么冪的運(yùn)算要單獨(dú)研究？這是第一個(gè)要思考的問題．其實(shí)在這一章里，負(fù)指數(shù)的引入讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到冪(數(shù)字除外，如23)不一定是整式，這也是這一章單獨(dú)研究的必要性的體現(xiàn)．其次，冪的運(yùn)算應(yīng)該和其他運(yùn)算一樣，既有加減，也有乘除、乘方．?dāng)?shù)學(xué)的一致性告訴我們，數(shù)的運(yùn)算、式的運(yùn)算都應(yīng)該保持研究方法的一致性.為什么這一章沒有研究加減運(yùn)算？因?yàn)閮绲募訙p運(yùn)算中只有底數(shù)相同、指數(shù)相同的冪(數(shù)字除外，如23)才可以進(jìn)行加減，法則就是整式加減的方法——合并同類項(xiàng)．最后，這一節(jié)研究的乘法運(yùn)算為什么不叫“冪的乘法”而叫“同底數(shù)冪相乘”呢？這還是涉及到冪的乘法的特殊性．為什么同底數(shù)的兩個(gè)冪(數(shù)字除外，如23)才可以相乘，而不同底數(shù)的冪不能相乘？是如何想到要把兩個(gè)同底數(shù)冪相乘的？這樣的思維過程不能不展示給學(xué)生，而不是告訴學(xué)生我們只學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法．

基于以上的分析，這節(jié)課大有文章可做．?dāng)?shù)學(xué)課不應(yīng)只是教教材，更要培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力．教材里那些隱藏在方法法則四周而沒有體現(xiàn)成顯性文本的東西，往往正是我們需要挖掘的．這里，讓學(xué)生體會(huì)冪的運(yùn)算是數(shù)的運(yùn)算的延續(xù)，是式的運(yùn)算的一類，所以其研究思路保持一致，也應(yīng)該從加減、乘除、乘方各種運(yùn)算的角度進(jìn)行研究．其中冪的加減運(yùn)算使用了整式加減的法則(合并同類項(xiàng))，因而這一章的研究從乘法開始．這樣的教學(xué)把知識(shí)之間的邏輯關(guān)系展現(xiàn)給學(xué)生，把教學(xué)從一個(gè)公式擴(kuò)展成一個(gè)過程、一種研究思路、一種思維方法．

有了這樣的思考，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)這節(jié)課有太多內(nèi)容可以深挖，絕不是“15分鐘”可以解決的內(nèi)容了．課堂設(shè)計(jì)開放有度、引導(dǎo)有路，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)便會(huì)隨之得到提升．

問題1 光在真空中的速度約是3×108m/s，光在真空中穿行1年的距離為1光年．

請你算算：

(1)1光年約是多少km(1年以3×107s計(jì)算)？

(2)銀河系的直徑達(dá)10萬光年，約是多少km？

(3)如果一架飛機(jī)的飛行速度為1 000 km/h，那么光的速度是這架飛機(jī)速度的多少倍？

問題2 我們研究冪的運(yùn)算有其必要性，那么我們先弄清楚兩個(gè)問題：

(1)什么是冪？

(2)我們學(xué)習(xí)過哪些運(yùn)算？

問題3 請你自行研究冪的加減法．

問題4 請你自行研究冪的乘法．

設(shè)計(jì)意圖問題1給出需要冪的運(yùn)算參與的實(shí)例，目的之一是體現(xiàn)本章學(xué)習(xí)的必要性，另一個(gè)目的是體現(xiàn)冪的乘法的運(yùn)算，可以根據(jù)乘方意義來，但是比較繁瑣．問題2提了兩個(gè)關(guān)鍵問題．任何研究不搞清楚研究對象是無法展開活動(dòng)的，搞清楚冪的運(yùn)算就是要學(xué)生去和學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行不斷的碰撞，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)而思考如何展開冪的運(yùn)算的研究．問題3是教材中沒有的內(nèi)容，卻是學(xué)生研究過程中自然產(chǎn)生的部分．在這個(gè)研究過程中，才會(huì)有冪的加法有的可以進(jìn)行、有的不能進(jìn)行這樣的“思維沖突”，這個(gè)沖突是本章所有研究的必然產(chǎn)物，也是為乘法的研究做鋪墊．冪有底數(shù)和指數(shù)之分，所以需要對加數(shù)分類討論，分別研究發(fā)現(xiàn)只有最后一種可以相加，使用的法則是整式的加法法則．問題4是這節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，也是前面兩個(gè)環(huán)節(jié)之后的自然生成．這時(shí)候?qū)W生再看乘法就有了一定的思維高度，能夠自行進(jìn)行分類、猜想、推理論證了．

3 挖掘簡單操作背后不簡單的思想

有的內(nèi)容涉及操作，這些操作看似對學(xué)生知識(shí)的掌握沒有太大作用，甚至操作的問題考試不會(huì)考．于是，有的教師在課堂上也“簡單操作”，要么用視頻演示的方式，要么一帶而過，或者干脆讓學(xué)生課后自己“玩一玩”．細(xì)想來這些內(nèi)容被安排在教材文本中一定是有其用意的，要么對知識(shí)的呈現(xiàn)起到推動(dòng)作用，要么對知識(shí)本身起到驗(yàn)證作用，要么起到應(yīng)用知識(shí)從而能內(nèi)化成學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用．這些是教師不能忽視的地方，需要深入挖掘．

案例3蘇科版七年級上冊5.1“豐富的圖形世界”第二課時(shí)

第二課時(shí)的內(nèi)容是“七巧板”．七巧板是啟發(fā)智力的好伙伴．它能夠把孩子對實(shí)物與形態(tài)之間的橋梁架構(gòu)起來，培養(yǎng)觀察力、想象力．七巧板的教育意義很多，形狀概念、視覺分辨、視覺記憶、手眼協(xié)調(diào)等是針對低齡兒童的，初中生已經(jīng)逐步成長為少年，在認(rèn)知程度上精確性、概括性得以發(fā)展，在空間知覺上帶有更大的抽象性，在觀察力發(fā)展上目的性、持久性、精確性和概括性都有了顯著的發(fā)展．這一內(nèi)容安排在初一年段，但是在考試中幾乎不會(huì)評價(jià)，所以很多教師覺得這節(jié)課就是“玩玩”．細(xì)想一下，對于初中生來說，研究“七巧板”就不能再像兒童時(shí)期那樣沒有目的或者目的模糊地觀察、拼圖了．立足于對幾何圖形的基本認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力成為這節(jié)課的基本目標(biāo)．面對熟悉又有點(diǎn)陌生的七巧板，學(xué)生要能夠通過觀察說出七巧板各個(gè)圖形之間的形狀、大小和位置關(guān)系，再根據(jù)自己的觀察制作七巧板；利用做出的七巧板進(jìn)行拼圖，并向同伴清晰地描述拼圖的流程．這種數(shù)學(xué)運(yùn)用的意識(shí)完全符合“用數(shù)學(xué)的眼光看、用數(shù)學(xué)的思維想、用數(shù)學(xué)的語言說”的核心素養(yǎng)．

對七巧板有了這樣的認(rèn)識(shí)，教師會(huì)理解教材這樣編排的用意，七巧板也絕不是簡單的“玩玩”而已．課堂設(shè)計(jì)就一定會(huì)既有高度又有深度．

問題1 你知道七巧板嗎？你能說出七巧板中各圖形之間的關(guān)系嗎？

追問1 七巧板由哪些圖形組成？

追問2 你關(guān)注到這些圖形間有什么聯(lián)系，有什么區(qū)別了嗎？

問題2 根據(jù)剛剛觀察分析的結(jié)論，用手中的紙片制作一個(gè)七巧板．

問題3 (1)請利用你所做的七巧板拼出你喜愛的圖形，并向同伴說明你拼圖的過程．(2)請把你的拼圖過程講給全班同學(xué)聽，看看大家是否能準(zhǔn)確地拼出你想要的圖形．

設(shè)計(jì)意圖問題1引導(dǎo)學(xué)生觀察七巧板，理性地從每一塊圖形的整體和局部去分析圖形的形狀和大小，再從七塊板之間的關(guān)系入手分析．這一環(huán)節(jié)既體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)的抽象思維也訓(xùn)練了學(xué)生有條理地表達(dá)，通過對這些圖形的各個(gè)要素的解讀，進(jìn)一步鞏固學(xué)生的圖形研究的思路和方法，并讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)語言的精確和簡練．問題2把那些經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐，讓學(xué)生手腦并用制作七巧板．這一環(huán)節(jié)能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的能力，既運(yùn)用了問題1中的經(jīng)驗(yàn)，又為問題3做了工具的準(zhǔn)備．問題3要求運(yùn)用七巧板進(jìn)行拼圖，但這里的拼圖不是單純地拼，不是只追求圖案美觀，這里有兩個(gè)層次的要求：一是能將自己的拼圖過程準(zhǔn)確表達(dá)出來，二是能夠根據(jù)別人的表達(dá)將圖形準(zhǔn)確拼出來．

總之，“簡單”的課要“不簡單”地上．教師只有從教材本身出發(fā)，充分挖掘顯性知識(shí)背后的隱形價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，方可真正發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的價(jià)值功能，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的廣度與深度，從而發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．