吳海兵，王 昆，許兆美，陳前亮

（1.淮陰工學(xué)院先進(jìn)制造技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 淮安 223003；2.江蘇省金象傳動(dòng)設(shè)備股份有限公司，江蘇 淮安 223001）

1 引言

ZA型（阿基米德）蝸輪蝸桿傳動(dòng)由于摩擦較大，效率不高，但是自鎖性好、多齒嚙合的特點(diǎn)使其在沖擊載荷場(chǎng)合得到了廣泛的應(yīng)用[1]。

ZA蝸桿齒面在軸向截面內(nèi)是非常簡(jiǎn)單的直線，但是蝸輪齒面卻是相當(dāng)復(fù)雜的空間曲面。蝸輪的傳統(tǒng)加工方式是在滾齒機(jī)上利用滾刀（與蝸桿相似）滾切而成，這種加工方式在大批量生產(chǎn)中效率較高，但是滾刀價(jià)格昂貴，蝸輪副的修形比較復(fù)雜[2]。在單件小批量加工方式下，蝸輪采用通用五軸數(shù)控加工是重要的發(fā)展方向[3-4]。

五軸數(shù)控加工采用CAD/CAM技術(shù)，需要精確的三維數(shù)字模型。目前很多文獻(xiàn)[5-7]采用沿曲線掃描等近似方法建立蝸輪齒面，這些方法建立的蝸輪模型誤差太大，與蝸桿模型裝配時(shí)會(huì)出現(xiàn)干涉，無(wú)法在實(shí)際中應(yīng)用。也有文獻(xiàn)[8]采用Soliworks等三維軟件二次開(kāi)發(fā)技術(shù)，調(diào)用軟件提供的API函數(shù)接口，利用代碼仿真滾刀滾切蝸輪毛坯的展成運(yùn)動(dòng)，對(duì)蝸輪毛坯進(jìn)行實(shí)時(shí)的實(shí)體布爾減操作，可以得到較準(zhǔn)確的蝸輪齒面。但仿真法的齒面存在每次布爾操作產(chǎn)生的棱線，不能直接應(yīng)用，后續(xù)還需要光順化處理，整體效率不高。蝸輪副在實(shí)際使用中還需要修形，以改善潤(rùn)滑條件。大多數(shù)文獻(xiàn)[9-10]關(guān)于蝸輪副的修形都是基于滾切加工，即通過(guò)滾刀修形來(lái)得到與蝸桿失配的蝸輪。在蝸輪采用五軸數(shù)控加工方式的情況下，這種方法不適用。

為此以微分幾何與齒輪嚙合理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)蝸輪蝸桿齒面數(shù)學(xué)方程，依據(jù)方程計(jì)算出蝸輪齒面的點(diǎn)集。為了簡(jiǎn)化修形工藝，蝸桿不修形即蝸桿保持標(biāo)準(zhǔn)蝸桿不變，從而蝸桿的加工工藝保持不變；只對(duì)蝸輪齒面進(jìn)行修形，因?yàn)槲佪啿捎梦遢S數(shù)控加工，故可以充分利用數(shù)控加工的柔性。根據(jù)蝸輪副嚙合斑點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)的要求，對(duì)蝸輪齒面原始點(diǎn)集進(jìn)行法向向內(nèi)偏移操作，從而修鼓蝸輪齒面。蝸輪齒面修形后的點(diǎn)集導(dǎo)入U(xiǎn)G軟件中可以直接擬合生成精度很高的NURBS曲面，進(jìn)而生成三維實(shí)體模型。

2 蝸輪標(biāo)準(zhǔn)齒面

蝸輪標(biāo)準(zhǔn)齒面就是不修形的原始齒面，其點(diǎn)云計(jì)算推導(dǎo)過(guò)程如下：推導(dǎo)得出車(chē)刀刃口直線在車(chē)刀坐標(biāo)系下的方程，將之轉(zhuǎn)換到蝸桿坐標(biāo)系中即得出蝸桿齒面方程，蝸桿齒面方程轉(zhuǎn)換到蝸輪坐標(biāo)系中并同時(shí)與蝸桿蝸輪嚙合方程聯(lián)立，即可得到蝸輪齒面方程，對(duì)蝸輪齒面方程中的參變量進(jìn)行迭代求解可以獲得齒面點(diǎn)云坐標(biāo)。

2.1 車(chē)刀刃口直線方程

車(chē)刀安裝示意圖，如圖1所示。圖中：ouxuzu—車(chē)刀坐標(biāo)系；M—車(chē)刀刃口上的任意一點(diǎn)；α—蝸桿的齒形角。

圖1 車(chē)刀安裝示意圖Fig.1 Tool Installation Diagram

容易得出車(chē)刀刃口的參數(shù)方程如下：

2.2 蝸桿齒面方程

車(chē)削蝸桿坐標(biāo)系，如圖2所示。圖中：ouxuyuzu—車(chē)刀坐標(biāo)系；o1x1y1z1—蝸桿坐標(biāo)系。車(chē)刀車(chē)削蝸桿時(shí)，假設(shè)蝸桿坐標(biāo)系不動(dòng)，則車(chē)刀相對(duì)于蝸桿做螺旋運(yùn)動(dòng)。θ是車(chē)刀轉(zhuǎn)過(guò)的角度，車(chē)刀每旋轉(zhuǎn)一圈則沿著z1軸方向移動(dòng)pθ。p是蝸桿的導(dǎo)程參數(shù)，即直母線繞z1軸旋轉(zhuǎn)單位角度時(shí)，直母線沿z1軸移動(dòng)的距離。

圖2 車(chē)削蝸桿坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate System of Worm Turning

車(chē)刀坐標(biāo)系變換到蝸桿坐標(biāo)系的變換關(guān)系式如下：

將式（1）代入式（2）即可得出蝸桿齒面方程：

式中：h、θ—獨(dú)立參變量。

2.3 蝸輪蝸桿嚙合坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換

蝸桿傳動(dòng)嚙合坐標(biāo)系，如圖3所示。圖中：o1x1y1z1—蝸桿坐標(biāo)系；o2x2y2z2—蝸輪坐標(biāo)系；oxyz—空間固定坐標(biāo)系，z軸與z1軸重合，opxpypzp是輔助空間固定坐標(biāo)系，y軸與yp軸重合。opxpypzp與oxyz的坐標(biāo)軸方向完全相同，僅在x向相差a，a是蝸輪蝸桿的中心距。當(dāng)蝸桿繞z1軸旋轉(zhuǎn)φ1時(shí)，蝸輪同時(shí)繞y2軸旋轉(zhuǎn)φ2。

圖3 蝸桿傳動(dòng)嚙合坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate System of Worm Meshing

蝸桿坐標(biāo)系變換到蝸輪坐標(biāo)系的變換關(guān)系式如下：

2.4 蝸輪齒面方程

限于篇幅，這里直接給出蝸輪蝸桿的嚙合方程如下：

將式（3）～式（5）聯(lián)立即為蝸輪齒面方程：

式中：獨(dú)立參變量是 φ1、h、θ。

2.5 蝸輪齒面點(diǎn)云的計(jì)算

蝸輪副的一對(duì)齒從嚙入到嚙出的過(guò)程中，對(duì)于每一個(gè)φ1，蝸桿齒面上都有一條嚙合線對(duì)應(yīng)，如圖4所示。參變量h、θ分別對(duì)應(yīng)蝸桿齒面上點(diǎn)的周向線與徑向線。由圖4可以看出，當(dāng)嚙合方程有解時(shí)：h線與嚙合線有兩個(gè)交點(diǎn)，即嚙合方程有兩個(gè)解；θ線與嚙合線只有一個(gè)交點(diǎn)，即嚙合方程只有一個(gè)解。因此迭代求解嚙合線的點(diǎn)集時(shí)，應(yīng)當(dāng)先迭代θ，后迭代h，這樣就避開(kāi)了迭代求解嚙合方程出現(xiàn)的多解問(wèn)題。

圖4 蝸桿齒面上的瞬間嚙合線Fig.4 Instantaneous Meshing Line on Worm Surface

對(duì)于給定的φ1，將所有符合嚙合方程的 h、θ代入式（6），可以求得蝸桿齒面的一條嚙合線點(diǎn)集坐標(biāo)［x1，y1，z1］，再代入式（6）即可得出蝸輪齒面的一條嚙合線點(diǎn)集坐標(biāo)［x2，y2，z2］。對(duì)φ1進(jìn)行迭代，可以求出蝸輪齒面上所有的嚙合線點(diǎn)集，也就是蝸輪齒面的點(diǎn)云。

3 蝸輪齒面修形

蝸輪副在嚙合過(guò)程中，為了改善潤(rùn)滑條件，蝸輪齒面的入口區(qū)部分不能參與嚙合，嚙合區(qū)需要集中在蝸輪齒面的出口區(qū)部分。為了簡(jiǎn)化工藝并充分利用數(shù)控加工的柔性，在此只對(duì)蝸輪修形。在蝸輪齒面出口區(qū)選取一點(diǎn)作為修形基準(zhǔn)點(diǎn)，該點(diǎn)保持不動(dòng)，齒面上其余點(diǎn)向齒內(nèi)法向偏移，偏移量取決于與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離，距離越大偏移量越大。蝸輪齒面將被修鼓，保證了嚙合區(qū)集中在齒面出口區(qū)。

3.1 建立齒面切平面坐標(biāo)系

根據(jù)蝸桿頭數(shù)查出標(biāo)準(zhǔn)JB2318-79中關(guān)于接觸區(qū)占比以及位置的規(guī)定，從而可以確定接觸區(qū)中心點(diǎn)在蝸輪齒面上的位置，以該點(diǎn)作為齒面修形的基準(zhǔn)點(diǎn)。根據(jù)前文的方法，可以算出該點(diǎn)的坐標(biāo)以及該點(diǎn)處的齒面單位法向量，則過(guò)該中心點(diǎn)可以建立齒面的切平面。齒面上其它點(diǎn)投影到切平面上，就可以方便計(jì)算它們與基準(zhǔn)點(diǎn)之間的距離。將蝸輪軸向向量投影到切平面上即為切平面坐標(biāo)系的X軸，Y軸由切平面法向量與X軸向量的叉乘得出，坐標(biāo)系原點(diǎn)即修形基準(zhǔn)點(diǎn)。

3.2 齒面點(diǎn)向切平面投影

式中：xpoj、yproj—點(diǎn)投影后的坐標(biāo)；x、y、z—點(diǎn)投影前的坐標(biāo)；xc、yc、zc—齒面修形基準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)；ix、jx、kx—切平面坐標(biāo)系 X 軸的單位向量；iy、jy、ky—切平面坐標(biāo)系Y軸的單位向量。

蝸輪齒面的點(diǎn)投影到切平面上，投影點(diǎn)坐標(biāo)公式為：

3.3 齒面點(diǎn)偏移量

實(shí)踐證明，嚙合區(qū)呈橢圓形時(shí)齒輪嚙合性能較好。故齒面點(diǎn)偏移量的公式如下：

式中：c1、c2—橢圓方程系數(shù)。

在橢圓形嚙合區(qū)邊界上的齒面點(diǎn)偏移量應(yīng)該等于齒輪副接觸判斷距離。該距離應(yīng)該等于齒輪副輕載彈性變形量與滾檢染色劑顆粒直徑之和，齒輪副輕載彈性變形量一般認(rèn)為是0.00635mm，滾檢染色劑顆粒直徑大約0.02mm，故蝸輪副接觸判斷距離dis=0.02635mm。

因此可以得出式（8）的系數(shù)公式如下：

式中：Kl、Kh—嚙合區(qū)在齒寬、齒高方向的占比系數(shù)，蝸桿頭數(shù)不同，占比系數(shù)不同，可參見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)JB2318-79中對(duì)于蝸輪副嚙合區(qū)大小的規(guī)定；W、H—蝸輪的寬度與齒高。

3.4 齒面點(diǎn)偏移

將式（7）、式（9）代入式（8），可以計(jì)算得出蝸輪齒面上點(diǎn)的偏移量，則齒面點(diǎn)偏移后的坐標(biāo)公式如下：

式中：xmod、ymod、zmod—點(diǎn)偏移后的坐標(biāo)；x、y、z—點(diǎn)投影前的坐標(biāo)；nx、ny、nz—每個(gè)點(diǎn)處的齒面單位法向量，方向指向輪齒內(nèi)部。將齒面偏移后的點(diǎn)坐標(biāo)輸出，導(dǎo)入U(xiǎn)G軟件，擬合成高次光滑曲面，進(jìn)而生成蝸輪實(shí)體模型。

4 建模實(shí)例

選取某ZA型右旋蝸輪副參數(shù)如下：模數(shù)m=5.8mm，蝸桿頭數(shù)Z1=5，蝸輪齒數(shù) Z2=25，分度圓導(dǎo)程角 γ=30°25′，齒頂高系數(shù)=1，頂隙系數(shù)c*=0.2，蝸輪變位系數(shù)χ=0.772。蝸輪齒面偏移點(diǎn)云導(dǎo)入U(xiǎn)G中，將點(diǎn)云擬合成面并與蝸輪齒根面互相修剪，利用修剪片體對(duì)蝸輪修剪，對(duì)齒根倒圓角，對(duì)齒槽陣列，即可得到最終的蝸輪實(shí)體模型，如圖5所示。將蝸輪修形齒面與未修形齒面進(jìn)行比較，得到的橢圓形嚙合區(qū)圖，如圖6所示。可見(jiàn)滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)的要求。

圖5 蝸輪實(shí)體模型Fig.5 Solid Model of Worm Gear

圖6 嚙合區(qū)圖Fig.6 Map of Meshing Zone

5 結(jié)論

（1）利用微分幾何與齒輪嚙合理論，推導(dǎo)得出ZA蝸輪齒面的方程，并指明避開(kāi)蝸輪蝸桿嚙合方程多解的技巧；

（2）在蝸輪齒面建立切平面，將齒面上的點(diǎn)云投影到切平面上，通過(guò)切平面上的橢圓方程來(lái)計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的修形量；

（3）通過(guò)五頭蝸輪副實(shí)例計(jì)算得到蝸輪齒面的嚙合區(qū)圖，表明給出的建模、修形方法符合標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的實(shí)際使用要求。