黃文文，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，洛陽 471023)

0 引 言

適合于控制應(yīng)用的超聲波電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型，是超聲波電動(dòng)機(jī)伺服控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析的必要基礎(chǔ)。為滿足不斷提高的控制性能要求，需要更好表述超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行特征的數(shù)學(xué)模型作為支撐。超聲波電動(dòng)機(jī)內(nèi)部機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過程所具有的本質(zhì)非線性，采用適當(dāng)形式的非線性模型進(jìn)行超聲波電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)建模，有可能得到更高精度的模型。

Hammerstein模型是眾多非線性模型形式中較為常用的一種。文獻(xiàn)[1-7]嘗試建立超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein模型，表明這種非線性模型形式適用于表述超聲波電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)行過程。文獻(xiàn)[1-5]直接將模型中的動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)設(shè)定為一階慣性環(huán)節(jié)，這顯然不足以表述超聲波電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)運(yùn)行過程。文獻(xiàn)[6-7]采用不同的優(yōu)化算法進(jìn)行辨識(shí)建模，分別建立了用于轉(zhuǎn)速、位置控制的超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein模型，所建模型的非線性環(huán)節(jié)均采用傳統(tǒng)的多項(xiàng)式形式，受限于多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)及具體建模方法，可能降低模型對(duì)電動(dòng)機(jī)非線性特性的表述精度。

本文以電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓的幅值(峰峰值)和頻率為輸入變量，轉(zhuǎn)速為輸出變量，基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法建立超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein非線性模型。模型計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比表明，所建模型精度較高。

1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)試與預(yù)處理

為進(jìn)行辨識(shí)建模，首先需要測(cè)取能夠反映超聲波電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓幅值、頻率與轉(zhuǎn)速之間特性關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)用超聲波電動(dòng)機(jī)為Shinsei USR60型超聲波電動(dòng)機(jī)，驅(qū)動(dòng)主電路為H橋結(jié)構(gòu)，采用相移PWM控制方式和PI轉(zhuǎn)速控制器，同時(shí)包含兩相驅(qū)動(dòng)電壓幅值的閉環(huán)控制以使其為期望值，并設(shè)定兩相驅(qū)動(dòng)電壓之間的相位差為固定的90°。

分別設(shè)定驅(qū)動(dòng)電壓幅值(峰峰值)給定值為240 V，260 V，280 V，300 V，320 V，在電動(dòng)機(jī)允許的調(diào)速范圍0～120 r/min內(nèi)，間隔10 r/min設(shè)定轉(zhuǎn)速階躍給定值，測(cè)取不同驅(qū)動(dòng)電壓情況下的轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。通過上述實(shí)驗(yàn)，得到51組實(shí)測(cè)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)用于辨識(shí)建模。另外，在轉(zhuǎn)速階躍給定值分別為30 r/min，60 r/min，90 r/min，120 r/min的情況下，各設(shè)置兩組不同于前述實(shí)驗(yàn)的PI控制參數(shù)取值，進(jìn)行階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，得到8組階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)用于模型校驗(yàn)。

提取每組階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)，用于Hammerstein模型動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)的建模。同時(shí)，求取各組剩余的穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)的頻率、轉(zhuǎn)速平均值，如圖1中方形點(diǎn)所示。

圖1 穩(wěn)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合

2 模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)表達(dá)式的確定

圖1給出了對(duì)應(yīng)不同驅(qū)動(dòng)電壓值的穩(wěn)態(tài)頻率-轉(zhuǎn)速實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映了超聲波電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓幅值、頻率與轉(zhuǎn)速之間非線性關(guān)系的主要方面，可用作建立Hammerstein模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的主要依據(jù)。下面嘗試分別對(duì)各個(gè)驅(qū)動(dòng)電壓值情況下的“頻率-轉(zhuǎn)速”關(guān)系數(shù)據(jù)進(jìn)行一輸入一輸出的函數(shù)擬合，研究不同驅(qū)動(dòng)電壓值的擬合函數(shù)之間的相似性與差異，探究以驅(qū)動(dòng)電壓幅值和頻率為輸入的“二輸入一輸出”非線性函數(shù)的恰當(dāng)形式。

對(duì)不同擬合函數(shù)形式的嘗試表明，采用Gauss函數(shù)，不同電壓幅值的數(shù)據(jù)均能實(shí)現(xiàn)良好擬合，擬合曲線如圖1所示。所得擬合表達(dá)式分別如下：

240 V：x=9.050 9+65.077e-2.318 7(u-42.864)2(1)

260 V：x=8.462 6+88.651e-1.124 6(u-42.537)2(2)

280 V：x=6.435 9+185.79e-0.429 58(u-41.561)2(3)

300 V：x=7.077 8+188.34e-0.395 91(u-41.514)2(4)

320 V：x=7.582 5+216.46e-0.326 71(u-41.279)2(5)

式中:x為圖1穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速值，此處亦為模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的輸出變量；u為電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)頻率，是模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的一個(gè)輸入變量。

為得到適用于不同驅(qū)動(dòng)電壓情況的統(tǒng)一表達(dá)式，將上述擬合函數(shù)式(1)～式(5)寫為一般形式：

x=r1+r2er3(u-r4)2

(6)

式中：r1，r2，r3，r4為系數(shù)。

對(duì)比式(1)～(5)可知，不同驅(qū)動(dòng)電壓情況下的r1，r2，r3，r4值各不相同。下面以驅(qū)動(dòng)電壓值為自變量，分別對(duì)式(1)～式(5)中的r1，r2，r3，r4值進(jìn)行擬合，得各系數(shù)擬合表達(dá)式：

(7)

(8)

(9)

(10)

至此，得到以驅(qū)動(dòng)電壓幅值、頻率為自變量的Hammerstein模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)為式(6)，式中系數(shù)采用式(7)～式(10)計(jì)算。

3 確定優(yōu)化算法參數(shù)

采用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法，對(duì)模型動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)式(11)中的未知參數(shù)a1,a2,…,ana,b1,b2,…,bnb進(jìn)行辨識(shí)，得到使目標(biāo)函數(shù)值最小的模型參數(shù)值，即完成了建模。

(11)

式中：a1,a2,…,ana,b0,b1,…,bnb為待定系數(shù)，由辨識(shí)確定；na和nb為模型階次。

取如下均方差函數(shù)為表征模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間差異大小的目標(biāo)函數(shù)：

(12)

式中：m為建模數(shù)據(jù)的組數(shù)；h為每組建模數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；y為模型計(jì)算值；ye為實(shí)測(cè)值。

模型辨識(shí)所用改進(jìn)差分進(jìn)化算法與標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的區(qū)別在于，改進(jìn)變異操作如式(13)，并引入自適應(yīng)變異算子F和F2，使優(yōu)化進(jìn)程中側(cè)重于全局搜索還是局部搜索變?yōu)榭煽乜烧{(diào)。

Vi(t+1)=Xi(t)+F[Xbest(t)-Xi(t)]+

F2[Xr1(t)-Xr2(t)]

(13)

式中：r1,r2∈{1,2,3,…,Np}為隨機(jī)選取的互不相同的數(shù)，且均與i不同；Np為初始種群個(gè)體數(shù)量；Xi(t)為第t代種群中的目標(biāo)個(gè)體矢量；Vi(t+1)為目標(biāo)矢量所對(duì)應(yīng)的變異個(gè)體矢量；Xbest(t)為第t代種群中的最優(yōu)個(gè)體矢量。

優(yōu)化算法參數(shù)的取值是否合適，直接決定了能否得到準(zhǔn)確的辨識(shí)結(jié)果。在差分進(jìn)化算法中，需要確定的算法參數(shù)包括Np、變異算子F和F2、交叉算子CR、模型參數(shù)初始值上下限maxbound及minbound、最大迭代次數(shù)Gm等。其中，最大迭代次數(shù)用作優(yōu)化計(jì)算的終止條件。算法參數(shù)選擇過程中，為避免隨機(jī)產(chǎn)生的不同初始種群影響算法參數(shù)對(duì)比結(jié)果，不同算法參數(shù)值的辨識(shí)過程都采用同一初始種群。以“na=4,nb=1”為例，通過嘗試不同參數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化辨識(shí)，以最優(yōu)目標(biāo)值小、迭代用時(shí)少為依據(jù)，確定適合于本文建模問題的優(yōu)化算法參數(shù)值：Np=50，maxbound=1，minbound=-1，Gm=100，CR=0.95，F(xiàn)2=0.55，并設(shè)置變異算子F：

(14)

4 確定模型階次

在合理范圍內(nèi)，設(shè)定不同的模型階次，利用改進(jìn)差分進(jìn)化算法進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，并采用校驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)辨識(shí)所得模型進(jìn)行校驗(yàn)。經(jīng)模型參數(shù)辨識(shí)，得到優(yōu)化建模與校驗(yàn)結(jié)果如表1所示。 優(yōu)化所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值和校驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)值分別除以各自數(shù)據(jù)組數(shù)并求和，得到表1所示綜合誤差，以此作為確定模型階次的依據(jù)。考慮電動(dòng)機(jī)實(shí)測(cè)階躍響應(yīng)曲線的表征及控制性能要求，在3到4階之間選擇模型階次。

表1 不同模型階次情況下的優(yōu)化結(jié)果和校驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

對(duì)比表1數(shù)據(jù)可知，第6組模型階次所得綜合誤差值最小，但第6組三次優(yōu)化進(jìn)程所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值存在明顯差異，優(yōu)化進(jìn)程表現(xiàn)不夠穩(wěn)健。前述優(yōu)化算法參數(shù)的確定過程，是在設(shè)定模型階次為na=4，nb=1的情況下進(jìn)行的。表1中，第1、2和4組三次所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值都相同，而其它組三次所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值都存在差異，因?yàn)檫@些組需辨識(shí)的模型參數(shù)個(gè)數(shù)均大于na=4，nb=1的情況，優(yōu)化問題的復(fù)雜度增加了。由此可知，在問題復(fù)雜度增加的情況下，需調(diào)整優(yōu)化參數(shù)值，以保證算法的穩(wěn)健性。

模型階次越高，所需辨識(shí)的模型參數(shù)個(gè)數(shù)越多，可行解空間維數(shù)越高，復(fù)雜度越高。對(duì)于差分進(jìn)化算法而言，可按照下列原則來調(diào)整參數(shù)以保證找到最優(yōu)解，一是調(diào)整變異算子值，加強(qiáng)全局搜索；二是增大初始種群數(shù)量，借助算法的隨機(jī)性質(zhì)，可擴(kuò)大搜索范圍；三是增大迭代次數(shù)。這是因?yàn)椋谄渌鼌?shù)不變的情況下，問題復(fù)雜度增加，則最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值下降速度將減慢，算法需更多次迭代才能達(dá)到最優(yōu)解。增大迭代次數(shù)將增加優(yōu)化時(shí)間，同時(shí)可能因變異算子值不合適而得不到全局最優(yōu)解，故應(yīng)首先考慮加強(qiáng)全局搜索和增大初始種群數(shù)量。

表1數(shù)據(jù)表明，模型階次為na=4，nb=3時(shí)，綜合誤差值較小，更適合于本文所述超聲波電動(dòng)機(jī)，故設(shè)定na=4，nb=3，調(diào)整變異算子值。加強(qiáng)全局搜索，可通過增大F2值或減小F值來實(shí)現(xiàn)。不同算法參數(shù)值嘗試過程表明問題復(fù)雜度增加，可通過加強(qiáng)全局搜索和初始種群數(shù)量來提高優(yōu)化算法的穩(wěn)健性，確定將初始種群數(shù)量和變異算子值調(diào)整為Np=100，F(xiàn)2=0.55，并減小變異算子F：

(15)

采用調(diào)整后的參數(shù)值，嘗試不同的模型階次，得到優(yōu)化辨識(shí)結(jié)果如表2所示。觀察表2數(shù)據(jù)可知，調(diào)整參數(shù)值后，不同模型階次情況下，三次優(yōu)化結(jié)果都各自相同，且三次辨識(shí)所得模型參數(shù)值相同，算法穩(wěn)健性提高。根據(jù)表2的綜合誤差值，選定超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein模型動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)的模型階次為na=4，nb=3，表達(dá)式：

(16)

表2 不同模型結(jié)構(gòu)下的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

為驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確度，將本文模型與文獻(xiàn)[6]所建超聲波電動(dòng)機(jī)二輸入一輸出Hammerstein非線性模型進(jìn)行對(duì)比。圖2、圖3給出了兩種模型的模型計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)電動(dòng)機(jī)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖，可以看出，本文模型計(jì)算數(shù)據(jù)更接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。對(duì)于51組建模數(shù)據(jù)，使用式(12)計(jì)算得到本文模型的計(jì)算輸出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的總均方差值為16.29；采用8組校驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，對(duì)應(yīng)的總均方差值為4.68。而文獻(xiàn)[6]模型的上述兩個(gè)總均方差值依次為574.86和109.76，可見本文所建模型精度明顯高于文獻(xiàn)[6]模型。

(a) U=240 V

(b) U=300 V

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)的校驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比(120 r/min)

5 結(jié) 語

為給超聲波電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析提供必要基礎(chǔ)，采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法進(jìn)行辨識(shí)建模，建立以驅(qū)動(dòng)電壓幅值(峰峰值)和頻率為輸入變量、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為輸出變量的超聲波電動(dòng)機(jī)二輸入一輸出Hammerstein非線性模型?；趯?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，模型靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)為Gauss函數(shù)，函數(shù)中各系數(shù)為關(guān)于驅(qū)動(dòng)電壓幅值的多項(xiàng)式，以求更準(zhǔn)確地表述超聲波電動(dòng)機(jī)的實(shí)際非線性特性。模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比表明，所建模型精度較高，建模方法有效。同時(shí)，給出了改進(jìn)差分進(jìn)化算法參數(shù)的調(diào)整原則，以提高優(yōu)化算法的穩(wěn)健性，保證建模過程的有效性并提高建模效率。

非線性模型建模方法與優(yōu)化算法參數(shù)調(diào)整原則，不僅適用于超聲波電動(dòng)機(jī)，也適用于其它種類電動(dòng)機(jī)的建模。