韓知勇,施解龍,蘭自軒,陳 璽

(上海大學(xué)理學(xué)院,上海200444)

在信息光學(xué)的發(fā)展過程中,人們需要處理的信息越來越多,光學(xué)器件的集成化成為人們一直以來的需求.在對信息的處理過程中,定向耦合器作為一種光學(xué)器件,對于光信號傳輸和轉(zhuǎn)移的操控具有重要意義.定向耦合器可被廣泛運(yùn)用于模式轉(zhuǎn)換器[1-3]、調(diào)制解調(diào)器[4-6]乃至量子計(jì)算的邏輯操作中[7-11].考慮到波導(dǎo)耦合器在光學(xué)操控中的應(yīng)用,為了適應(yīng)光學(xué)器件的集成化發(fā)展,設(shè)計(jì)出小型、高效的定向耦合器是有必要的.

目前,絕熱耦合[12-14]是一種波導(dǎo)之間較為常見的耦合方式,與傳統(tǒng)的共振耦合相比,絕熱耦合具有效率高、穩(wěn)定性好的特點(diǎn).但是,由于絕熱條件的限制,光能在波導(dǎo)之間的有效轉(zhuǎn)移往往需要較長的傳輸長度來實(shí)現(xiàn),這在一定程度上并不利于波導(dǎo)耦合器的集成化.對于三波導(dǎo)體系而言,盡管人們嘗試直接利用量子絕熱捷徑(shortcut to adiabaticity,STA)技術(shù)[15-17]來加速光能在兩個(gè)最外層波導(dǎo)之間的絕熱轉(zhuǎn)移過程,但是由于處理后會(huì)產(chǎn)生非相鄰的虛數(shù)耦合項(xiàng),使得在實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn).

本工作為了將量子絕熱捷徑技術(shù)應(yīng)用于三波導(dǎo)體系中,實(shí)現(xiàn)“加速”絕熱耦合的效果,運(yùn)用量子-光學(xué)類比的方法,將絕熱消除(adiabatic elimination,AE)[18-19]與量子絕熱捷徑技術(shù)相結(jié)合,即通過將解耦狀態(tài)下的三波導(dǎo)系統(tǒng)等效為二波導(dǎo)系統(tǒng),并在此基礎(chǔ)上利用二能級的量子絕熱捷徑技術(shù)對波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),從而在更小的尺度下實(shí)現(xiàn)波導(dǎo)之間光能的有效轉(zhuǎn)移.

1 理論模型

對于一個(gè)三波導(dǎo)系統(tǒng),當(dāng)光沿波導(dǎo)傳播時(shí),可用一個(gè)微分方程組來描述光場的演化情況,

絕熱消除原本指的是在量子的多能級體系中,當(dāng)相鄰能級之間出現(xiàn)較大的失諧時(shí),可將多能級系統(tǒng)等效為只含有初態(tài)和目標(biāo)態(tài)的二能級系統(tǒng).考慮到波導(dǎo)系統(tǒng)中的能量耦合過程與原子系統(tǒng)中的電子布居數(shù)演化過程具有相同的動(dòng)力學(xué)特性,可以利用量子-光學(xué)類比的方法,將滿足解耦條件的波導(dǎo)體系等效為二波導(dǎo)系統(tǒng).圖1表示了絕熱消除在三能級原子系統(tǒng)和三波導(dǎo)系統(tǒng)中的類比性.

圖1三能級原子系統(tǒng)和三波導(dǎo)系統(tǒng)中的絕熱消除Fig.1 AE in three-level atomic system and three waveguide system

圖1 中,?p和?s分別表示三能級原子系統(tǒng)(虛線框內(nèi))中泵浦光和斯托克斯光對應(yīng)的Rabi頻率,?p和?s表示泵浦光和斯托克斯光與躍遷頻率之間的失諧(滿足?s=?p? ?p,?s),?eff表示等效二能級的等效Rabi頻率,對應(yīng)的則表示了等效二波導(dǎo)體系的等效耦合系數(shù).在波導(dǎo)體系中,絕熱消除指的是由于相鄰波導(dǎo)之間存在較大的傳播常數(shù)差(滿足?β21?Kp,Ks),使得從外側(cè)波導(dǎo)注入的能量能夠經(jīng)由中間波導(dǎo)直接耦合到另一外側(cè)波導(dǎo)中,而在此過程中,中間波導(dǎo)只有極低的能量存在.由dC2/dz～0,可以得到

將式(3)代入式(2)中便可以得到用來描述等效二波導(dǎo)系統(tǒng)(波導(dǎo)1和波導(dǎo)3)的耦合方程,

式中:

其中

分別表示等效傳播常數(shù)差和等效耦合系數(shù).

考慮到量子絕熱捷徑技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)原子系統(tǒng)中等效二能級的“加速”效果[21-22],對于式(5)所描述的等效二波導(dǎo)系統(tǒng),可以利用量子絕熱捷徑的方法求得該系統(tǒng)哈密頓量的附加項(xiàng),

式中:

于是便可以得到系統(tǒng)總的哈密頓量H=Heff+Hcd,即

式中:φ(z)=arctan(Ka/Keff).考慮到哈密頓量中含有虛數(shù)項(xiàng),這在實(shí)際操作中是難以實(shí)現(xiàn)的,為此引入幺正變換

進(jìn)而便可以得到新的哈密頓量eH=U?HU+i˙U?U,

最終可以得到

這樣便可利用量子絕熱捷徑技術(shù)對波導(dǎo)之間的耦合系數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì),以縮短波導(dǎo)有效耦合所需的傳播長度.

2 波導(dǎo)設(shè)計(jì)與數(shù)值模擬

考慮到等效二波導(dǎo)原有的哈密頓量必須要滿足絕熱的條件,因此將原有的耦合系數(shù)設(shè)為高斯分布的形式:Kp=K0exp(?(z?L/2?τ)2/σ2),Ks=K0exp(?(z?L/2+τ)2/σ2),其中K0=8 mm?1為耦合系數(shù)的峰值,L=2 mm為波導(dǎo)的縱向長度,τ=L/10,σ=L/6.于是利用式(13)和(14)可以對原有的耦合系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,并得到絕熱捷徑型的耦合系數(shù)分布(見圖2).圖2(a)中,橫軸表示傳輸距離,縱軸表示耦合強(qiáng)度,Kp和Ks表示絕熱高斯型(虛線)的耦合系數(shù),K0p和K0s則表示優(yōu)化后的絕熱捷徑型(實(shí)線)的耦合系數(shù).基于圖(a)中所描述的耦合系數(shù)分布,如果將初始條件設(shè)為C1(0)=1,C2(0)=0,C3(0)=0,通過式(1)進(jìn)行計(jì)算便可以得到絕熱型和絕熱捷徑型的耦合所分別對應(yīng)波導(dǎo)3中的耦合效率(見圖2(b)).圖2(b)中,橫軸表示傳輸距離,縱軸表示耦合效率,虛線(藍(lán))和實(shí)線(紅)分別表示目標(biāo)波導(dǎo)中絕熱型和絕熱捷徑型耦合的耦合效率.從圖2中可以看出,對于絕熱耦合而言,L=2 mm的耦合長度并不足以支持能量在兩個(gè)外側(cè)波導(dǎo)之間發(fā)生有效的轉(zhuǎn)移.

圖2 絕熱型和絕熱捷徑型耦合的耦合系數(shù)以及耦合效率對比Fig.2 Coupling coefficient and coupling efficiency for adiabatic and STA coupling

為了對上述理論方法進(jìn)行驗(yàn)證,本工作對二維的層狀波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì),并利用光束傳播法[23]進(jìn)行模擬驗(yàn)證.在實(shí)際的設(shè)計(jì)及模擬過程中,不失一般性地選取芯層折射率為1.53,包層折射率為1.50,入射波的中心波長為1.55μm,并將3個(gè)波導(dǎo)寬度設(shè)置為WL+δW=WM=WR+δW=2μm,其中δW表示外側(cè)波導(dǎo)和內(nèi)側(cè)波導(dǎo)之間的寬度之差.當(dāng)考慮橫電(transverse electric,TE)偏振時(shí),對應(yīng)于基模的兩個(gè)傳播常數(shù)之差滿足?β21/K0=1.6820.考慮耦合系數(shù)與波導(dǎo)間距之間所滿足的指數(shù)關(guān)系

便可以對相鄰波導(dǎo)之間的間距進(jìn)行設(shè)計(jì).

最終可以得到絕熱型和絕熱捷徑型三波導(dǎo)耦合器的布局,并在此基礎(chǔ)上對二者的能量演化情況進(jìn)行對比,如圖3所示.圖3中,橫軸表示波導(dǎo)的傳播方向,縱軸表示波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的橫向

圖3 光在絕熱捷徑型和絕熱型波導(dǎo)耦合器中的演化Fig.3 Light evolution in STA and adiabatic waveguide coupler

坐標(biāo),白線表示波導(dǎo)的輪廓,圖(a)和(b)分別表示光從上波導(dǎo)的左側(cè)入射時(shí),光在絕熱捷徑型波導(dǎo)耦合器(L=2 mm)和4倍傳輸長度(L=8 mm)下的絕熱型波導(dǎo)耦合器中的傳播情況.模擬結(jié)果顯示:與絕熱型耦合相比,絕熱捷徑型耦合所需要的傳輸長度縮短了4倍.除此之外,盡管波導(dǎo)的耦合強(qiáng)度和失諧之間并不嚴(yán)格滿足絕熱消除的條件,但是由于輸入和輸出端的耦合強(qiáng)度具有較小的量級,使得能量仍然可以在兩個(gè)外側(cè)波導(dǎo)之間發(fā)生有效耦合.值得一提的是,雖然本工作只對TE偏振下的基模進(jìn)行了討論,但對于橫磁(transverse magnetic,TM)模,量子絕熱捷徑技術(shù)同樣適用.

3 結(jié)束語

本工作研究了絕熱消除情況下量子絕熱捷徑技術(shù)在三波導(dǎo)耦合器中的應(yīng)用.相比于絕熱型耦合器,利用量子絕熱捷徑技術(shù)設(shè)計(jì)得到的耦合器可以在更小的尺度下完成能量的有效轉(zhuǎn)移,這也就意味著本工作為光學(xué)元件的集成化提供了更多可能.考慮到絕熱消除可以存在于N波導(dǎo)系統(tǒng)中,接下來將致力于實(shí)現(xiàn)量子絕熱捷徑技術(shù)在N波導(dǎo)體系中的應(yīng)用.