張順琦, 張書揚(yáng), 陳 敏, 趙國忠

(1.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院,上海200444;2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連116024;3.西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院,西安710072;4.西交利物浦大學(xué)工業(yè)設(shè)計(jì)系,江蘇蘇州215123)

將壓電材料埋入或嵌入普通材料結(jié)構(gòu)中形成的壓電智能結(jié)構(gòu),具有自感知、自控制特性,被廣泛應(yīng)用于飛行器壁板結(jié)構(gòu)形狀控制、振動(dòng)抑制和健康監(jiān)測等[1-3].

對壓電智能結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確建模與仿真可為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供必要參考.已有的大量智能結(jié)構(gòu)的線性建模均基于線性壓電材料本構(gòu)關(guān)系和線性應(yīng)變位移關(guān)系.在線性壓電本構(gòu)關(guān)系框架下,大部分模型都假設(shè)電勢在結(jié)構(gòu)厚度方向是線性[4-5]或二次型[6-7]分布,只能適用于弱電場情況.假設(shè)電勢沿厚度方向呈線性分布,Panda等[8]以及Varelis等[9]建立了馮卡門型非線性有限元模型,但只適用于中等變形以及小轉(zhuǎn)角的情況;Lentzen等[10]建立了壓電薄壁結(jié)構(gòu)的中等轉(zhuǎn)角非線性模型;Kundu等[11]以及Dash等[12]基于Reissner-Mindlin的中等轉(zhuǎn)角假設(shè),建立了幾何全非線性模型;Zhang等[13-16]在大轉(zhuǎn)角假設(shè)下建立了壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)的大轉(zhuǎn)角變形非線性模型.

上述模型均基于線性壓電本構(gòu)關(guān)系,只適用于弱電場情況.當(dāng)施加強(qiáng)電場時(shí),壓電材料會(huì)表現(xiàn)出較強(qiáng)的材料非線性,文獻(xiàn)[17-19]較早地對壓電材料非線性本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了探究.之后,Yang等[20]建立了壓電陶瓷和壓電聚合物的材料非線性本構(gòu)方程.其他一些關(guān)于壓電材料非線性的數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)可參見文獻(xiàn)[21-23].同時(shí)考慮兩類非線性,Yao等[24]基于馮卡門非線性,建立了一種強(qiáng)致動(dòng)電壓下的智能結(jié)構(gòu)非線性模型,但并不適用于幾何大變形情況.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn),已有研究大多只是單一地考慮電致材料非線性或幾何非線性.然而,在強(qiáng)電壓加載下,兩類非線性會(huì)同時(shí)發(fā)生.因此,為了對壓電智能結(jié)構(gòu)描述得更準(zhǔn)確,本工作同時(shí)考慮了兩類非線性,建立了壓電薄壁智能結(jié)構(gòu)在強(qiáng)電壓加載下的幾何大變形非線性有限元模型.在所建立的非線性模型中,采用了多種幾何非線性理論,并進(jìn)行比較與計(jì)算,包括馮卡門非線性理論、中等轉(zhuǎn)角非線性理論以及大轉(zhuǎn)角非線性理論.模型首先通過已有研究的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了有效性驗(yàn)證,之后利用模型對強(qiáng)致動(dòng)電壓下的壓電智能板殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算和仿真分析.

1 非線性理論

1.1 壓電材料非線性本構(gòu)方程

處在強(qiáng)致動(dòng)電場下的彈性壓電材料的本構(gòu)方程[18]可表示為忽略厚度方向應(yīng)力,且電場只存在厚度方向,式(1)和(2)中的各系數(shù)為

在式(1)～(12)中: 下標(biāo)p,q表示1,2,4,5或6,m,n,k可以表示數(shù)字1,2或3;(ε1,ε2,ε6)和(σ1,σ2,σ6)分別表示面內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力;(ε4,ε5)和(σ4,σ5)表示橫向剪切應(yīng)變和應(yīng)力;Dm和En分別表示電位移和電場強(qiáng)度;spq,cpq,dmp和εmn分別表示柔度系數(shù)、剛度系數(shù)、壓電系數(shù)以及介電系數(shù);(β331,β332)和χ333分別表示非線性壓電系數(shù)和非線性介電系數(shù);Y1,Y2為楊氏模量;ν12,ν21為泊松比;G12,G13和G23為剪切模量;κ表示修正系數(shù)[16],取值5/6.

當(dāng)多層壓電材料和復(fù)合材料層合在一起時(shí)(見圖1),由于復(fù)合材料纖維之間存在夾角,需要通過轉(zhuǎn)換矩陣將復(fù)合-壓電材料層合結(jié)構(gòu)進(jìn)行坐標(biāo)統(tǒng)一[25-26].因此,在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的本構(gòu)方程變?yōu)?/p>

圖1 復(fù)合壓電材料層合結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of composite piezoelectric laminated structures

式中:σ,ε,D和E分別表示應(yīng)力向量、應(yīng)變向量、電位移向量和電場強(qiáng)度向量;c表示剛度矩陣;表示非線性電場強(qiáng)度矩陣;e和g分別表示壓電系數(shù)矩陣和介電常數(shù)矩陣;b和h分別表示非線性壓電系數(shù)矩陣和非線性介電系數(shù)矩陣.

1.2 幾何非線性理論

基于一階剪切變形假設(shè),薄壁結(jié)構(gòu)內(nèi)任意一點(diǎn)處的位移可表示為

假設(shè)結(jié)構(gòu)在變形時(shí)厚度不變,得到拉格朗日幾何非線性應(yīng)變張量[27-28]為

式中:εαβ和εα3分別表示面內(nèi)應(yīng)變和橫向剪切應(yīng)變.不同的非線性理論使式(17)和(18)中各應(yīng)變項(xiàng)表示的應(yīng)變位移關(guān)系也不同[16].考慮不同的應(yīng)變位移關(guān)系,可以得到不同的幾何線性和非線性板殼模型[13-14,25],例如5參數(shù)線性板殼模型(LIN5)、5參數(shù)修正馮卡門非線性板殼模型(RVK5)、5參數(shù)中等轉(zhuǎn)角非線性板殼模型(MRT5)、中等轉(zhuǎn)角假設(shè)下的幾何全非線性板殼模型(LRT5)以及6參數(shù)大轉(zhuǎn)角非線性板殼模型(LRT56).在施加強(qiáng)電壓(strong electric field,SE)的情況下,同時(shí)考慮幾何非線性,可得到相對應(yīng)的線性和非線性模型,記為LIN5SE,RVK5SE,MRT5SE,LRT5SE和LRT56SE.當(dāng)施加弱電壓(weak electric field,WE)時(shí),則所建模型用LIN5WE,RVK5WE,MRT5WE,LRT5WE和LRT56WE表示.

本工作中的有限元模型是采用具有5自由度的8節(jié)點(diǎn)二次型單元來建立的.這5個(gè)自由度分別是3個(gè)平移自由度u,v,w和2個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度?1,?2,如圖2所示.而對于有6個(gè)參數(shù)的LRT56模型來說,可以通過這5個(gè)自由度來表示

2 有限元模型

本工作所建模型考慮了壓電材料和幾何非線性,為了便于計(jì)算,需要進(jìn)行線性化處理.在t+?t時(shí)刻,應(yīng)變和電場強(qiáng)度可表示為t時(shí)刻的值與增量之和,

圖2 單元自由度Fig.2 Degree of freedom for element

對應(yīng)變和電場強(qiáng)度分別求變分,可得

式中:Bu和Bφ分別表示應(yīng)變矩陣和電場矩陣;δ表示變分符號(hào);φ表示電勢向量.

在t+?t時(shí)刻的內(nèi)力虛功可表示為

在t+?t時(shí)刻的外力虛功可表示為

式中:Wint和Wext分別表示內(nèi)力功和外力功;fb,fs和fc分別表示體力向量、面力向量和集中力向量;Q和Qc分別表示表面電荷強(qiáng)度向量和集中電荷強(qiáng)度向量.

根據(jù)哈密頓原理

可以得到壓電智能結(jié)構(gòu)非線性靜力平衡方程和傳感器方程為

式中:Kuu,Kuφ,Kφu以及Kφφ分別表示剛度矩陣、壓電耦合剛度矩陣、耦合容量矩陣和壓電容量矩陣;Fue,Fui,Gφe以及Gφi分別表示外力、平衡力、外加電荷以及平衡電荷;q,Φa和Φs分別表示節(jié)點(diǎn)位移向量、致動(dòng)電壓向量和傳感器電壓向量.

3算 例

3.1 模型驗(yàn)證

為了說明本模型的正確性,通過一種雙壓電智能懸臂梁結(jié)構(gòu)(見圖3)進(jìn)行驗(yàn)證.該結(jié)構(gòu)首先由Wang等[28]提出并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)以及基于線性理論的計(jì)算,之后Yao等[29]基于壓電材料非線性和馮卡門幾何非線性理論對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行了理論計(jì)算.該結(jié)構(gòu)由兩片相同的壓電片粘合而成,極化方向相反,每片壓電片的結(jié)構(gòu)尺寸為35 mm×7 mm×0.5 mm,壓電材料選用型號(hào)為3203HD的壓電陶瓷,具體材料參數(shù)如表1所示.本工作提出的有限元模型將雙壓電智能懸臂梁結(jié)構(gòu)劃分為10×2的8節(jié)點(diǎn)二維有限元網(wǎng)格.

圖3 雙壓電智能懸臂梁結(jié)構(gòu)Fig.3 Piezoelectric bimorph cantilevered smart beam

表1 材料參數(shù)Table 1 Material properties

對上下兩片壓電材料都從0 V開始每隔7.5 V在厚度方向施加一次電壓,最大達(dá)到75 V(即最大電場強(qiáng)度為150 V/mm),共10個(gè)電壓值.利用本工作提出的模型進(jìn)行計(jì)算,得到結(jié)構(gòu)末端Θ3方向的位移,并與文獻(xiàn)[28-29]中的實(shí)驗(yàn)值和理論計(jì)算值進(jìn)行對比,結(jié)果如圖4所示.從圖中可以看出:LIN5SE模型計(jì)算值十分接近實(shí)驗(yàn)值,且在較大的電壓值處重合;LIN5WE模型計(jì)算值與線性理論值也非常吻合.在小電壓范圍下線性結(jié)果與非線性結(jié)果接近,但當(dāng)電壓逐漸增大時(shí),線性結(jié)果與非線性結(jié)果差值越來越大,不適用于大電壓情況.基于伯努利梁假設(shè),可以推導(dǎo)出懸臂梁幾何線性材料非線性下的末端厚度方向位移理論計(jì)算公式為

式中:w表示梁末端Θ3方向位移;l表示梁的長度;t表示雙壓電懸臂梁的總厚度.計(jì)算結(jié)果即理論值如表2所示.從表中可以看出,LIN5SE模型結(jié)果與理論計(jì)算值非常接近,最大偏差僅為3.32%.針對本工作所建模型,通過Abaqus軟件進(jìn)行仿真來進(jìn)一步驗(yàn)證,結(jié)果如圖4所示,從圖中可以看出所建強(qiáng)電場耦合非線性模型得出的結(jié)果與已有研究結(jié)果和軟件非線性仿真結(jié)果更接近.上述結(jié)果說明了本模型的正確性,同時(shí)在一定程度上也說明了本模型具有更高的準(zhǔn)確性.

圖4 不同電場強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)末端位移Fig.4 Tip displacement of bimorph under various voltages

表2 理論計(jì)算與模型末端厚度方向位移比較Table 2 Tip displacements by theoretical calculation and model

3.2 壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)仿真分析

3.2.1 平板結(jié)構(gòu)

采用如圖3所示的雙壓電智能懸臂梁,通過改變結(jié)構(gòu)厚度來分析所建模型機(jī)電耦合非線性的效果.保持結(jié)構(gòu)的長寬不變,材料不變,網(wǎng)格劃分不變,設(shè)定10組不同的厚度值,即每片壓電片從0.1 mm每隔0.1 mm遞增至1.0 mm,則總厚度從0.2 mm增加到2.0 mm.對10組厚度不同的結(jié)構(gòu)施加相同的電場強(qiáng)度400 V/mm,以懸臂梁末端的Θ3方向的位移進(jìn)行比較,通過所建模型計(jì)算所得結(jié)果如圖5所示.

圖5不同厚度下的結(jié)構(gòu)末端位移Fig.5 Tip displacement of bimorph under various thickness

圖5 結(jié)果表明,電壓所致的材料非線性對結(jié)構(gòu)的變形影響巨大.圓圈所代表的材料非線性與虛線所代表的材料線性從數(shù)值以及變化趨勢上都有著顯著的差異.可以明確考慮電壓所致的材料非線性對結(jié)構(gòu)計(jì)算有重大影響.而在該結(jié)構(gòu)中,幾何非線性對結(jié)構(gòu)的相應(yīng)影響較小,如實(shí)線所表示的LRT56SE與僅考慮材料非線性的計(jì)算結(jié)果幾乎重疊.

3.2.2 半圓形殼體結(jié)構(gòu)

下面采用本工作提出的非線性模型,計(jì)算分析一端固定的半圓形殼體結(jié)構(gòu)(見圖6).圖中的半圓形結(jié)構(gòu)由中間的主體結(jié)構(gòu)和粘貼在主體結(jié)構(gòu)兩側(cè)的壓電材料層組成,主體結(jié)構(gòu)使用各向正交異性材料,由4層夾角分別為[45?/?45?]s的薄板層合而成,壓電材料完全覆蓋上下表面,極化方向朝外且相反.結(jié)構(gòu)中性面處的半徑為318.31 mm,寬度為50.8 mm,每層的厚度相同,為0.254 mm,即總厚度為1.524 mm.主體材料采用石墨環(huán)氧復(fù)合材料T300/976,壓電材料選用壓電陶瓷3203HD,材料參數(shù)如表1所示.結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格劃分如圖6所示,劃分為10×1的8節(jié)點(diǎn)有限元網(wǎng)格,圖中PZT(piezoelectric ceramic)代表壓電陶瓷.

圖6 半圓形殼體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Schematic of semicircular cylindrical shell

分別向結(jié)構(gòu)上下表面的壓電材料施加381 V的電壓(即1 500V/mm電場強(qiáng)度),采用不同的非線性模型可以得到半圓形結(jié)構(gòu)曲面中心線上有限元節(jié)點(diǎn)處的位移如圖7所示,橫坐標(biāo)為單位化的半圓弧長度,縱坐標(biāo)分別為切向位移(hoop displacement)和法向位移(radial displacement).

圖7 半圓殼體結(jié)構(gòu)位移Fig.7 Displacement of semicircular cylindrical shell

從圖7中可以看出,在強(qiáng)電壓情況下,壓電材料非線性模型LIN5SE相比于線性模型LIN5WE所得結(jié)果差值很大,說明壓電材料線性本構(gòu)關(guān)系已不再適用.此外,不同幾何非線性模型的計(jì)算結(jié)果也存在著較大的差異,這是因?yàn)椴煌蔷€性理論所考慮的幾何非線性因素和程度均有所不同.在非線性壓電本構(gòu)關(guān)系下,馮卡門非線性模型(RVK5SE)考慮最簡化的非線性應(yīng)變位移關(guān)系,其非線性影響最不明顯,結(jié)果最接近線性計(jì)算結(jié)果.中等轉(zhuǎn)角簡化幾何非線性模型(MRT5SE)和中等轉(zhuǎn)角幾何全非線性模型(LRT5SE)所考慮的非線性非常相似,因此二者結(jié)果近似.在強(qiáng)電場下的6參數(shù)大轉(zhuǎn)角幾何全非線性模型(LRT56SE)不僅考慮了大轉(zhuǎn)角幾何全非線性,還考慮了壓電材料非線性本構(gòu)關(guān)系,相比之下結(jié)果最為準(zhǔn)確.

4 結(jié)論

(1)同時(shí)考慮電致材料非線性和幾何非線性,建立了壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)非線性有限元模型,并通過已有研究的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本模型的準(zhǔn)確性,表明本模型能準(zhǔn)確描述壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形大轉(zhuǎn)角的情況.

(2)電致材料非線性因素會(huì)影響壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)在強(qiáng)電場下的變形,且通過仿真發(fā)現(xiàn)這種影響相當(dāng)大,不可忽略.

(3)基于一階剪切變形假設(shè),利用不同的幾何非線性模型(RVK5,MRT5,LRT5和LRT56)進(jìn)行計(jì)算,其中基于LRT56的非線性模型考慮了大變形情況下的全幾何非線性,在大變形大轉(zhuǎn)角情況下結(jié)果更加準(zhǔn)確.