鄧 芹，侯為波①

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

隨著金融領(lǐng)域的日益發(fā)展，金融衍生產(chǎn)品的作用也日益突出. 其中期權(quán)合約作為重要衍生產(chǎn)品之一，無論是在國際還是國內(nèi)都表現(xiàn)出很活躍的發(fā)展?fàn)顟B(tài). 借鑒國際市場期權(quán)交易的經(jīng)驗(yàn)和制度保障，國內(nèi)的期權(quán)交易市場正在快速發(fā)展，期權(quán)推出條件也已經(jīng)基本成熟，但是還有很大的發(fā)展空間，期權(quán)合約的推出條件還需加強(qiáng)，創(chuàng)造更完善的期權(quán)交易市場.

期權(quán)是指其持有者在一個(gè)確定的時(shí)間按確定的價(jià)格買入或賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利［1-2］. 期權(quán)可分為金融期權(quán)和商品期權(quán)［3］. 很多學(xué)者對期權(quán)進(jìn)行研究得到相關(guān)結(jié)論. 王樂毅等［4］分析比較二叉樹模型和Black-Sholes 模型（B-S 模型），得到兩個(gè)模型在實(shí)質(zhì)上是一致的結(jié)論；黃本堯［5］研究Black-Sholes 模型的精確性和適應(yīng)性，得出盡管該模型的假設(shè)條件不能完全貼合實(shí)際但是依然是交易中不可或缺的分析工具；劉立剛等［6］將二叉樹模型和Black-Sholes 模型結(jié)合在一起研究期權(quán)的時(shí)間價(jià)值和內(nèi)在價(jià)值. 在已有的文獻(xiàn)中大多是對期權(quán)的定價(jià)及模型選擇進(jìn)行分析，而本文主要利用上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)并基于二叉樹模型、Black-Sholes模型以及風(fēng)險(xiǎn)度量參數(shù)對股指期權(quán)推出后的效果進(jìn)行分析. 從期貨的市場功能、期權(quán)定價(jià)的合理性、期權(quán)各階段的執(zhí)行方式及風(fēng)險(xiǎn)度量幾個(gè)方面綜合分析，得出我國股指期權(quán)的推出效果良好，雖具有一定風(fēng)險(xiǎn)但是更有利于投資者進(jìn)行規(guī)避風(fēng)險(xiǎn). 這可以明確投資者的投資方向，選擇合適的投資策略規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)［7-8］.

1 模型建立

1.1 二叉樹模型

二叉樹模型是指利用二叉樹圖表示標(biāo)的資產(chǎn)在有效期內(nèi)可能遵循的路徑［9］. 假設(shè)S0和f分別為股票當(dāng)前價(jià)格和對應(yīng)期權(quán)當(dāng)前價(jià)格，當(dāng)前時(shí)刻為零時(shí)刻，T為到期時(shí)間，股價(jià)可能的上升幅度為u（u ＞1），下降幅度為d（d ＜1），則對應(yīng)的股票價(jià)格為S0u或S0d. 若價(jià)格上升到S0u，則對應(yīng)的期權(quán)價(jià)格為fu，若價(jià)格下降到S0d，則對應(yīng)的期權(quán)價(jià)格為fd. 相應(yīng)的二叉樹如圖1所示.

圖1 單步二叉樹模型

圖2 2步二叉樹模型

假設(shè)一個(gè)證券組合由Δ 股的股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成，在無風(fēng)險(xiǎn)的狀態(tài)下，若股價(jià)上升則到期時(shí)組合價(jià)值為S0uΔ-fu，若股價(jià)下降則到期時(shí)組合價(jià)值為S0dΔ-fd. 二者的價(jià)值相等時(shí)有

解得

設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則組合價(jià)值的現(xiàn)值為，成本為S0Δ-f，則

進(jìn)而得

其中

基于單步二叉樹，當(dāng)股價(jià)發(fā)生2次運(yùn)動，每個(gè)時(shí)間長度為Δt，此時(shí)得到2步二叉樹模型為

其中

fuu、fud、fdd分別為股票價(jià)格2次上漲、1次上漲1次下跌、2次下跌后對應(yīng)的期權(quán)價(jià)格，相應(yīng)的二叉樹如圖2所示.

1.2 Black-Sholes模型

Black-Sholes 模型假定很短時(shí)間內(nèi)股票價(jià)格變化百分比服從正態(tài)分布［10-12］. 假設(shè)S0為股票當(dāng)前價(jià)格，T為到期時(shí)間，σ為股票波動率，K為到期執(zhí)行價(jià)格，c為看漲期權(quán)的價(jià)格，p為看跌期權(quán)的價(jià)格，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，則有不支付紅利股票的看漲和看跌期權(quán)的Black-Sholes定價(jià)公式分別為

其中

N(x) 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù).

1.3 期權(quán)的市場功能

期權(quán)的市場功能包括套期保值功能和價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能［13］. 在市場功能的檢驗(yàn)中套期保值比率是一個(gè)重要衡量指標(biāo)，套期保值效果越好，期權(quán)市場功能越好. 期權(quán)的市場功能使得套利的手段和機(jī)會增加，有利于價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能的發(fā)揮.

1.4 期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)

Gamma是衡量Delta（期權(quán)價(jià)格變化對標(biāo)的價(jià)格變化的比率）相對標(biāo)的價(jià)格變化的敏感程度，期貨和現(xiàn)貨沒有Gamma風(fēng)險(xiǎn)，只有期權(quán)有Gamma風(fēng)險(xiǎn)［14］. 基于不支付紅利股票的看漲期權(quán)或看跌期權(quán)Gamma（Γ）值fΓ為

其中N′與前面的定義一樣. 通過Gamma值來分析期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)程度，Gamma的絕對值越小，風(fēng)險(xiǎn)越小.

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)說明

本文選取的上證50ETF期權(quán)相關(guān)數(shù)據(jù)來源于東方財(cái)富網(wǎng)，數(shù)據(jù)范圍是從2017年12月27日到2018年6月27日，現(xiàn)貨價(jià)格選用標(biāo)的收盤價(jià)，期貨價(jià)格選用期貨收盤價(jià)，利用SPSS19.0和Eviews7.0軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

2.2 市場功能檢驗(yàn)

對上證50 股票的期、現(xiàn)貨數(shù)據(jù)分別取對數(shù)得lnS和lnF2 個(gè)序列，再1 階差分得ΔlnS和ΔlnF2 個(gè)序列.進(jìn)行ADF值檢驗(yàn)，如表1所示.

表1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

利用最小二乘法（OLS）模型對現(xiàn)貨和期貨數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸求得線性方程式為

其他相應(yīng)的數(shù)據(jù)，如表2所示.

表2 套保效果

從表1看出，期貨、現(xiàn)貨價(jià)格數(shù)據(jù)取對數(shù)后1階差分序列平穩(wěn). 表2中得出OLS 模型的擬合度較高，套期保值比率較高，標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)誤差也很小，期貨、現(xiàn)貨價(jià)格之間的相關(guān)性也很好，說明期貨市場的套期保值效果較好. 由期貨和期權(quán)價(jià)格、現(xiàn)貨和期權(quán)價(jià)格的相關(guān)系數(shù)得各市場之間有一定的關(guān)聯(lián)性，為期權(quán)的推出創(chuàng)造良好的條件.

2.3 期權(quán)定價(jià)合理性檢驗(yàn)

選取一個(gè)6 個(gè)月期的上證50 股票指數(shù)看漲期權(quán)，假設(shè)股票指數(shù)的當(dāng)前價(jià)格為2.834，無風(fēng)險(xiǎn)利率為3.94%，價(jià)格波動率為21.75%，執(zhí)行價(jià)格為3，利用二叉樹模型為期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，結(jié)果如表3所示.

表3 二叉樹模型定價(jià)

表3 是一個(gè)6 步二叉樹模型求解出來的各階段股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格，最后得出期權(quán)當(dāng)前價(jià)格為0.135 0，與2017年12月27日的期權(quán)收盤價(jià)0.137 4誤差相對較小，因此利用二叉樹模型對期權(quán)進(jìn)行定價(jià)是合理的.

利用Black-Sholes模型對不同期限的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，能夠看出期限的長短對期權(quán)定價(jià)的影響［15］.

表4 B-S模型各期限的定價(jià)

表4中的數(shù)據(jù)顯示，隨著期限的延長期權(quán)的價(jià)格最終趨近于0.124 1，這與2017年12月27日的期權(quán)收盤價(jià)0.137 4 相近. 說明期限足夠長時(shí)，行使期權(quán)的機(jī)會就越多，期權(quán)價(jià)格越合理. 同時(shí)說明利用Black-Sholes模型對期權(quán)定價(jià)是合理的.

2.4 期權(quán)處理方式

通過對比二叉樹圖各節(jié)點(diǎn)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值來判斷各節(jié)點(diǎn)的執(zhí)行方式.

表5 各階段期權(quán)執(zhí)行方式

表5反映的是期權(quán)在各階段的時(shí)間價(jià)值和內(nèi)在價(jià)值. 通過對比各階段中不同情況下的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值來分析各種情況下期權(quán)的處理方式. 可以看出，越接近期權(quán)的到期日時(shí)間價(jià)值越小，時(shí)間價(jià)值大于內(nèi)在價(jià)值應(yīng)繼續(xù)持有期權(quán). 最后期權(quán)的時(shí)間價(jià)值等于內(nèi)在價(jià)值應(yīng)該提前執(zhí)行，減小期權(quán)的執(zhí)行風(fēng)險(xiǎn).

2.5 期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)度量

取一個(gè)6 個(gè)月期的上證50 股票指數(shù)看漲期權(quán)，假設(shè)股票指數(shù)的當(dāng)前價(jià)格為2.834，無風(fēng)險(xiǎn)利率為3.94%，價(jià)格波動率為21.75%，執(zhí)行價(jià)格為3，則股票期權(quán)的Gamma值為

說明該股票指數(shù)每增加或減少1個(gè)點(diǎn)，期權(quán)的delta值增加或減少約0.902 3.

3 結(jié)論

本文利用OLS模型、二叉樹模型、Black-Sholes模型以及風(fēng)險(xiǎn)度量參數(shù)對股指期權(quán)的推出效果進(jìn)行分析. 驗(yàn)證股指期權(quán)的市場功能良好，期權(quán)定價(jià)模型選擇合理，投資風(fēng)險(xiǎn)在合理范圍，為期權(quán)的推出奠定良好的基礎(chǔ)，得出股指期權(quán)的推出效果較好，有利于投資者規(guī)避風(fēng)險(xiǎn).

針對上面得到的結(jié)論給出相關(guān)建議. 利用期權(quán)合約進(jìn)行保值時(shí)要綜合考慮期權(quán)的市場功能，與期貨市場結(jié)合起來制定期權(quán)推出策略，以保證其推出效果；股指期權(quán)的推出雖具有一定風(fēng)險(xiǎn)性，但是確實(shí)能夠有效地控制股票市場的風(fēng)險(xiǎn)，投資者可以利用期權(quán)交易來減小現(xiàn)貨市場的交易風(fēng)險(xiǎn)；期權(quán)交易中對期權(quán)進(jìn)行定價(jià)時(shí)模型的選擇要合理，得出一個(gè)合理的期權(quán)價(jià)格，在一定程度上更好地發(fā)揮期權(quán)的價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能；作出合理的風(fēng)險(xiǎn)控制措施是必要的，選擇好期權(quán)數(shù)量、期權(quán)交易的執(zhí)行價(jià)格，明確期權(quán)各階段的執(zhí)行方式從而減小執(zhí)行風(fēng)險(xiǎn)，總體考慮該期權(quán)推出后的利與弊再做出投資策略.