盛家樂，盛家喜①

（1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601；2.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥230601）

0 引言

分?jǐn)?shù)微積分作為傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的推廣，其概念早在1695 年已由LEIBNUZ 和L′HOSPITAL 提出. 然而，直到20世紀(jì)60年代末，工程師們才開始對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分感興趣，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分對(duì)某些系統(tǒng)的描述更為準(zhǔn)確. 從那時(shí)起，分?jǐn)?shù)微積分越來越多地被用于科學(xué)和工程的各個(gè)領(lǐng)域中對(duì)真實(shí)系統(tǒng)的行為進(jìn)行建模. 近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程在工程、物理、經(jīng)濟(jì)等諸多領(lǐng)域的建模中得到廣泛的應(yīng)用. 更詳細(xì)的關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的知識(shí)可參考文獻(xiàn)［1-4］.

分?jǐn)?shù)階振動(dòng)方程［5-7］是經(jīng)典諧振子方程的推廣，用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替二階導(dǎo)數(shù)，即

在此基礎(chǔ)上，許多作者開始研究一類線性多項(xiàng)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，如具有彈簧、質(zhì)量和粘彈性阻尼的機(jī)械系統(tǒng)

x(t)表示質(zhì)量與其他分量組合的位置，f(t)表示一個(gè)力函數(shù)，m，k1和k2表示力學(xué)常數(shù). 此外，該模型還考慮描述某些氣體在流體中溶解的動(dòng)力學(xué)和球浸入不可壓縮粘性流體中的動(dòng)力學(xué)［8-10］. BALACHANDRAN等［11］通過對(duì)上述方程的二階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的簡單變換，以及對(duì)力學(xué)常數(shù)取值的適當(dāng)選擇，導(dǎo)出一類分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng)

文獻(xiàn)［12］研究分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng)解的存在唯一性. 文獻(xiàn)［13］研究帶有控制時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng)的可控性問題.

綜上所述，本文將研究如下帶有時(shí)滯和非局部條件的分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng)：

其中：0＜β ＜1＜α ＜2；表示階α階Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；x(·)∈C([-τ,T],Rn)是狀態(tài)向量，T為給定正實(shí)數(shù)；φ(·)是給定的初始函數(shù)；A ∈Rn×n是常數(shù)矩陣；τ ＞0 是時(shí)滯；f:[0,T]×Rn→Rn聯(lián)合連續(xù)函數(shù)；n,m:C([0,T],Rn)→Rn是非線性函數(shù)且x0,x1是Rn中的元素；若x ∈C([-τ,T],Rn)，則xt∈C([-τ,0],Rn)定義為xt(s)=x(t+s),t∈[-τ,0].

解的存在唯一性問題［14-17］是研究系統(tǒng)其他性質(zhì)的前提，若考慮系統(tǒng)可控性、可觀測性、穩(wěn)定性等問題，則必須先討論其解的存在唯一性. 而對(duì)于含有多分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性研究要比傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)復(fù)雜很多. 因此，本文將研究含有時(shí)滯和非局部初值條件的分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng)（1）解的存在唯一性問題.

1 預(yù)備知識(shí)

本文中，C([-τ,T],Rn)為由所有從[0,T]映射到Rn的全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間，其上范數(shù)定義為‖ ‖x=max{ ||x(t):t∈[0,T]}. 記 ||· 為任一向量范數(shù)，‖ ‖· 為其誘導(dǎo)的矩陣范數(shù). 下面將介紹本文的基礎(chǔ)概念及所需相關(guān)引理.

定義1［1］函數(shù)f:[0,∞)→R，其下限為0 的α階分?jǐn)?shù)階積分的定義如下：

其中Γ(·)是伽馬函數(shù).

定義2［1］函數(shù)f:[0,∞)→R，其下限為0 的α階Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下：

引理1［1］Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有如下性質(zhì)：

特別地，當(dāng)1＜α ＜2 時(shí)，有

引理2［18］若0＜β ＜1＜α ＜2，則有

2 主要結(jié)果

利用壓縮映射原理給出系統(tǒng)（1）解的存在唯一性結(jié)果. 首先給出系統(tǒng)（1）的等價(jià)積分方程，對(duì)方程兩邊進(jìn)行α階分?jǐn)?shù)階積分，則由引理1和引理2可得

在給出結(jié)果證明之前，需要先給出以下幾個(gè)假設(shè)條件

（h1）對(duì)?t∈[0,T],x,y ∈Rn，存在一個(gè)正常數(shù)lf使得

（h2）對(duì)?t∈[0,T],x,y ∈Rn，存在一個(gè)正常數(shù)lm使得

（h3）對(duì)?t∈[0,T],x,y ∈Rn，存在一個(gè)正常數(shù)ln使得

另外，為書寫方便，記下面給出本文的主要結(jié)果.定理1 假設(shè)條件（h1）～（h3）成立，若

則系統(tǒng)（1）在[0,T]上存在唯一解.

證明首先定義空間其中

易證Cr是Banach空間. 現(xiàn)定義映射

Step1 ?x ∈Cr,有Φx ∈Cr. 事實(shí)上，任取x ∈Cr，有

由假設(shè)條件（h1）～（h3）可知

因?qū)θ我獾膞(·)∈Cr和0 ≤s≤T，有

因?qū)θ我獾膞(·)∈Cr和0 ≤s≤T，有

故由定理?xiàng)l件可知,Φ:Cr→Cr是壓縮映射. 由壓縮映射原理可知,系統(tǒng)在[0,T]上存在唯一解.