李 軍，陳 杰,，邱瑞昌，徐春梅，劉志剛

(1.北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，北京 100044；2.北京市軌道交通電氣工程技術(shù)研究中心，北京 100044)

并聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性是考核并聯(lián)系統(tǒng)的重要指標(biāo)。對(duì)于大功率輔助并聯(lián)系統(tǒng)，控制參數(shù)的改變對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響非常大。因此，對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析是非常有必要的。并聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析需基于特定的并聯(lián)控制策略，目前無(wú)互聯(lián)線并聯(lián)系統(tǒng)通?；谙麓狗╗1-8]，其主要思路是采用有功和無(wú)功功率對(duì)電壓幅值和頻率進(jìn)行下垂控制，以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)均流。本文基于下垂法，并對(duì)其進(jìn)行有效改進(jìn)，提出一種全周期自適應(yīng)的改進(jìn)下垂法[9]，結(jié)合無(wú)需大延遲低通濾波器的新功率計(jì)算方法，能大幅度提升并聯(lián)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。建立一個(gè)并聯(lián)逆變器的統(tǒng)一模型，通過(guò)數(shù)學(xué)工具對(duì)該模型進(jìn)行分析，從而使并聯(lián)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)得到提升在理論上被驗(yàn)證。

對(duì)于并聯(lián)逆變器的數(shù)學(xué)模型，相關(guān)文獻(xiàn)并不多。Coelho[10]等首次構(gòu)建了并網(wǎng)逆變器的小信號(hào)模型，但只考慮了功率外環(huán)，而將電壓內(nèi)環(huán)視為理想狀態(tài)。該方法較為簡(jiǎn)單，建立的模型為3階，在一定程度上能反應(yīng)單臺(tái)逆變器的變化趨勢(shì)。但該方法的缺陷在于將并聯(lián)點(diǎn)電壓視為獨(dú)立變量，這對(duì)于并聯(lián)逆變器而言自動(dòng)屏蔽了另一逆變器對(duì)本逆變器的影響。文獻(xiàn)[11-14]在本質(zhì)上均是基于這種方法。Marwali[15]提出一種考慮整個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)的小信號(hào)模型建立方法，該方法將并聯(lián)點(diǎn)電壓表示為各逆變器的物理量，對(duì)一臺(tái)逆變器進(jìn)行分析的同時(shí)考慮了另一臺(tái)逆變器的耦合效應(yīng)，建立的模型更為準(zhǔn)確。但其采用Z域下的離散方法建模，所建立的模型過(guò)于復(fù)雜，實(shí)際上由于并聯(lián)系統(tǒng)中存在大延遲濾波環(huán)節(jié)，離散分析的意義不大，且這種方法沒(méi)能考慮到功率計(jì)算方法的影響，所采用的下垂法在無(wú)互聯(lián)線并聯(lián)系統(tǒng)中也并不適用。

本文針對(duì)以上各方法的缺陷，提出一種全新的并聯(lián)系統(tǒng)小信號(hào)模型構(gòu)建方法，并在此基礎(chǔ)上對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性和性能分析。該方法充分考慮到并聯(lián)系統(tǒng)中各逆變器之間的耦合效應(yīng)，并且將線路參數(shù)、負(fù)載特性、功率計(jì)算方法、低通濾波截止頻率的影響均考慮在內(nèi)，運(yùn)用這種方法建立的模型能有效分析并聯(lián)逆變器中各個(gè)相關(guān)量對(duì)系統(tǒng)性能的影響，具有廣泛的適應(yīng)性，并且本文所建立的模型相較文獻(xiàn)[15]的模型更為簡(jiǎn)單。

1 并聯(lián)逆變器控制方法

圖1為本文所采用的并聯(lián)系統(tǒng)拓?fù)洌渲心孀兤鞑捎萌嗨木€制分裂電容拓?fù)?，每臺(tái)逆變器分兩級(jí)控制，分別為并聯(lián)控制和逆變器控制，需要檢測(cè)逆變器的每相輸出電壓和輸出電流。圖中，Udc1為直流側(cè)電壓，Lin為直流側(cè)電感，iin為直流側(cè)輸入電流，Cin1、Cin2為直流側(cè)支撐電容，f為支撐電容中點(diǎn)，uA、uB、uC為橋臂三相電壓，iLa、iLb、iLc為濾波電感電流，L為逆變器濾波電感，r為逆變器濾波電感的寄生電阻，C為逆變器濾波電容，Ln為中線電感，in為中線電感電流，n為濾波電容的星型連接公共點(diǎn)，upa、upb、upc為母線三相電壓，ioa、iob、ioc為逆變器濾波后的三相輸出電流，erefa、erefb、erefc為并聯(lián)控制的三相參考電壓。

圖2為逆變器控制原理框圖，圖中，Gv(s)為電壓控制器傳遞函數(shù)，Gi(s)為電流控制器傳遞函數(shù)，iLref為電感電流參考值，iL為濾波電感電流，iC為濾波電容電流，tp為延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)，io為逆變器濾波后的電流值。

圖1 并聯(lián)輔助逆變器拓?fù)?/p>

圖2 逆變器控制原理框圖

根據(jù)該原理框圖可以求得逆變器的輸出電壓為

uo=G(s)uref-Z(s)io

(1)

式中：

G(s)為逆變器電壓指令的控制量；Z(s)為逆變器內(nèi)阻。

式(1)表明逆變器的控制量和內(nèi)阻均受電壓控制器和電流控制器影響，如果選取合適的電壓控制器和電流控制器，可對(duì)逆變器內(nèi)阻進(jìn)行準(zhǔn)確設(shè)計(jì)。本文中電壓控制器采用改進(jìn)型諧振控制器，電流控制器采用比例控制器。

圖3 逆變器內(nèi)阻bode圖

圖3為逆變器內(nèi)阻的bode圖，從圖中可見(jiàn)，采用圖2所示控制方法的逆變器內(nèi)阻呈現(xiàn)為阻性。因此，對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)可以采用阻性下垂法。

(2)

式中：Eref為經(jīng)過(guò)下垂控制環(huán)節(jié)的逆變器輸出電壓的參考電壓幅值；φref為經(jīng)過(guò)下垂控制環(huán)節(jié)的逆變器輸出電壓的參考電壓相角；mp為有功比例下垂系數(shù)；md為有功微分系數(shù)；np為無(wú)功比例下垂系數(shù)；ni為無(wú)功積分系數(shù)；nd為無(wú)功微分系數(shù)。P和Q分別為有功功率和無(wú)功功率，為經(jīng)過(guò)大延時(shí)低通濾波器之后的值。

傳統(tǒng)上功率的計(jì)算方法為

(3)

令

(4)

以上功率計(jì)算方法中，所求得的功率包含2倍基波頻率的交流分量，因此需要大延時(shí)低通濾波器濾除其中的交流分量，這就降低了并聯(lián)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

為了改善并聯(lián)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，需將功率計(jì)算方法改進(jìn)為

(5)

該方法需分別對(duì)電壓電流進(jìn)行延時(shí)90°，將付出較多的存儲(chǔ)代價(jià)，但所求得的功率不包含交流分量，這使得低通濾波時(shí)截止頻率可以設(shè)置較大，能夠有效改善并聯(lián)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，計(jì)算方法為

(6)

式中：ωc為截止頻率。

2 傳統(tǒng)小信號(hào)模型建立方法

圖4 并聯(lián)逆變器模型

根據(jù)前文的推導(dǎo)，可將并聯(lián)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如圖4所示的并聯(lián)逆變器模型，Z1∠θ1、Z2∠θ2為逆變器輸出阻抗，包括逆變器內(nèi)阻阻抗和線路阻抗兩部分。據(jù)圖4，按復(fù)功率的概念可求得逆變器的輸出功率為

(7)

(8)

式中：Uer為逆變器穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出阻抗中的電阻電壓幅值；Uex為逆變器穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出阻抗中的電感電壓幅值；U為逆變器穩(wěn)態(tài)時(shí)的輸出電壓幅值。

考慮穩(wěn)態(tài)值(φe，Ee，Ue)附近存在微小擾動(dòng)，式(7)、式(8)可被線性化為

ΔP=ΔEα-ΔφEβ

(9)

ΔQ=-ΔEβ-ΔφEα

(10)

式中：

以式(2)的下垂法為基礎(chǔ)求微分得

ΔE=-(mp+mds)ΔP

(11)

(12)

式(9)、式(10)經(jīng)過(guò)低通濾波器后代入式(11)、式(12)得

(13)

(14)

化簡(jiǎn)式(13)、式(14)即可求得小信號(hào)模型為

s3Δφ+As2Δφ+BsΔφ+CΔφ=0

(15)

式中：

式(15)即為傳統(tǒng)的小信號(hào)模型，可以發(fā)現(xiàn)其建模方法比較簡(jiǎn)單，所建立的模型為3階，但這種建模方法并不準(zhǔn)確，主要原因?yàn)椋?/p>

(1)將并聯(lián)點(diǎn)電壓視為獨(dú)立變量，消除了兩臺(tái)逆變器之間的耦合效應(yīng)。然而對(duì)于實(shí)際的并聯(lián)系統(tǒng)，兩臺(tái)逆變器之間必然存在耦合，一臺(tái)逆變器的輸出特性發(fā)生改變必然引起另一臺(tái)逆變器的輸出特性發(fā)生變化，因此傳統(tǒng)小信號(hào)建模法的這種處理方法并不準(zhǔn)確。

(2)負(fù)載特性對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性有很大影響，但傳統(tǒng)小信號(hào)模型卻無(wú)法分析。

(3)傳統(tǒng)小信號(hào)模型無(wú)法分析不同功率計(jì)算方法的影響。

3 新型小信號(hào)建模法

針對(duì)傳統(tǒng)小信號(hào)建模法的不足，提出一種新的小信號(hào)建模法，該建模法所建立的模型具有足夠多的信息量，既能分析控制系統(tǒng)電壓環(huán)外的所有控制量又能分析電路參數(shù)的影響，并且所建立的模型較文獻(xiàn)[15]中的模型更簡(jiǎn)單。

為便于說(shuō)明，首先對(duì)圖4所示的并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，見(jiàn)圖5。這種簡(jiǎn)化只是為了建模和說(shuō)明更簡(jiǎn)單，讀者完全可以把逆變器輸出阻抗和負(fù)載還原成任何特性，甚至可以考慮兩臺(tái)逆變器阻抗特性不一致對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)的影響。

圖5 簡(jiǎn)化并聯(lián)模型

由圖5可得逆變器輸出電流為

(16)

兩臺(tái)逆變器輸出電流之和即為負(fù)載電流，通過(guò)負(fù)載電流可以求得輸出電壓為

(17)

將式(16)代入式(17)并化簡(jiǎn)得

(18)

由圖5可知并聯(lián)點(diǎn)電壓相角為0。實(shí)際上并聯(lián)點(diǎn)電壓是正弦量，相角也是變化的，但是在此處為了建模方便將之設(shè)定為基準(zhǔn)值，這樣逆變器的相角φ1和φ2可理解為與并聯(lián)點(diǎn)電壓的相角差，而不是隨時(shí)間變化的量。這種等效的意義在于將隨時(shí)間的變化量轉(zhuǎn)化不變量，可以進(jìn)行小信號(hào)分析。

根據(jù)式(18)可得兩組等式

(19)

0=E1sinφ1+E2sinφ2

(20)

式(19)規(guī)定了兩臺(tái)逆變器參數(shù)與并聯(lián)點(diǎn)電壓之間的關(guān)系，式(20)規(guī)定了兩臺(tái)逆變器穩(wěn)態(tài)電壓之間的關(guān)系，將式(18)代入式(16)可得

(21)

結(jié)合式(19)和式(22)、式(23)，可以求得傳統(tǒng)功率計(jì)算方法的表達(dá)式為

(24)

式中：ai、bi、ci和di均可由逆變器參數(shù)表示。同理，根據(jù)相同的方法，可以求得新型功率計(jì)算方法，其表達(dá)式與式(24)相同，只是其中ai、bi、ci和di取值不同。

采用式(2)所示下垂法可得

(25)

對(duì)式(25)在穩(wěn)態(tài)值(E1e，E2e，φ1e，φ2e)附近求微分可得

(26)

(27)

式中：D為系數(shù)矩陣,即

(28)

將式(27)代入式(26)即可求得并聯(lián)系統(tǒng)小信號(hào)模型，見(jiàn)式(29)。

同理，可以構(gòu)建基于新型功率計(jì)算法的小信號(hào)模型，模型仍見(jiàn)式(29)，只是系數(shù)略有不同。

(29)

式(29)所建立的模型為6階系統(tǒng)，其物理意義是針對(duì)整個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，而式 (15)所建立的傳統(tǒng)小信號(hào)模型僅僅針對(duì)單臺(tái)逆變器。式(29)的模型雖然較文獻(xiàn)[15]的模型簡(jiǎn)單，但依然無(wú)法直接分析，需通過(guò) Matlab求解計(jì)算。

4 并聯(lián)模型分析

4.1 傳統(tǒng)功率計(jì)算法小信號(hào)模型

首先分析傳統(tǒng)功率計(jì)算方法所建立的模型，電路參數(shù)見(jiàn)表1，注意所取的穩(wěn)態(tài)值需滿足式(20)。

表1 電路參數(shù)表

圖6為只采用比例下垂時(shí)傳統(tǒng)功率計(jì)算法小信號(hào)模型的根軌跡圖，圖中藍(lán)色線段代表根軌跡，黑色箭頭代表根軌跡的變化方向(以下各圖同)。圖6(a)為ni=1，mp從0增加到1的部分根軌跡，圖6(b)為mp=1，ni從0.01減小到0.000 01時(shí)的部分根軌跡。由圖6可以發(fā)現(xiàn)采用傳統(tǒng)功率計(jì)算法的并聯(lián)系統(tǒng)在根軌跡上并不穩(wěn)定，其原因?yàn)閭鹘y(tǒng)功率計(jì)算法會(huì)引入2倍頻的交流量，為了抑制這部分振蕩，可以增大mp或者減小ni。

圖6 傳統(tǒng)功率計(jì)算法小信號(hào)模型根軌跡圖

圖7 傳統(tǒng)功率計(jì)算法小信號(hào)模型根軌跡圖

圖7為傳統(tǒng)功率計(jì)算法小信號(hào)模型引入微分控制后的根軌跡圖，下垂系數(shù)為：ni=0.001，mp=0.1，np=0.000 1，md=0.000 1，nd由0增加到0.008。由圖7可見(jiàn)引入微分控制后增加了一對(duì)共軛復(fù)根，這是其動(dòng)態(tài)響應(yīng)提升的根本原因。

4.2 新型功率計(jì)算法小信號(hào)模型

從傳統(tǒng)功率計(jì)算法建立的小信號(hào)模型可以看出，并聯(lián)逆變器魯棒性不強(qiáng)，為了對(duì)此進(jìn)行改進(jìn)，采用無(wú)需大延遲低通濾波器的新功率計(jì)算法，本文以基于新功率計(jì)算法建立的模型為主要分析對(duì)象。

圖8為新功率計(jì)算法小信號(hào)模型只采用比例下垂時(shí)的根軌跡圖。圖8(a)為ni=0.000 1，mp由0增加到0.01的根軌跡，圖8(b)為mp=0.000 1，ni由0增加到0.005的根軌跡。從圖8可以得到：(1)新功率計(jì)算法相比傳統(tǒng)功率計(jì)算法穩(wěn)定性要更好，極點(diǎn)始終落在虛軸左側(cè)；(2)只采用比例下垂時(shí)極點(diǎn)都落在負(fù)實(shí)軸變化，這說(shuō)明只采用比例下垂的動(dòng)態(tài)響應(yīng)不高；(3)隨著比例下垂系數(shù)的增大，系統(tǒng)極點(diǎn)左移，穩(wěn)定性提高。

圖8 新功率計(jì)算法小信號(hào)模型根軌跡圖

圖9為新功率計(jì)算法引入微分控制后的根軌跡圖，從上到下依次是①、②、③、④，這4條曲線均關(guān)于實(shí)軸零線對(duì)稱，分別對(duì)應(yīng)ni=mp=0.1、0.01、0.001和0.000 1時(shí)nd由0增加到0.000 01的局部根軌跡圖。由圖可看出引入微分控制后產(chǎn)生了共軛復(fù)根，共軛復(fù)根的意義在于能提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，但是微分系數(shù)過(guò)大也會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定。另外，在圖9上還可看出比例下垂系數(shù)增大能使極點(diǎn)左移，提高了系統(tǒng)穩(wěn)定性。

圖9 引入微分控制后根軌跡圖(np=md=0)

圖10為新功率計(jì)算法小信號(hào)模型根軌跡圖，圖10(a)的控制參數(shù)1為：mp=0.01，ni=0.01，nd=0.000 000 5，md=0，np由0增加到0.000 1；圖10(b)的控制參數(shù)2為：mp=0.01，ni=0.01，nd=0.000 000 5，np=0.000 05，md由0增加到0.000 1。圖10(a)說(shuō)明np的影響主要針對(duì)共軛復(fù)根，這說(shuō)明可以修改np來(lái)微調(diào)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。md主要影響在負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)，但是這個(gè)極點(diǎn)不是主極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)性能影響不大。

圖10 新功率計(jì)算法小信號(hào)模型根軌跡圖

圖11給出了阻抗變化時(shí)的根軌跡圖，下垂系數(shù)均為mp=0.01，ni=0.01，nd=0.000 000 5，np=0.000 05，md=0.000 000 01，圖11(a)為Ro由0.01增加到100時(shí)的根軌跡，圖11 (b)為Ro由0.001增加到0.5的根軌跡。圖11 (a)說(shuō)明隨著電阻的增大，即負(fù)載減小，負(fù)實(shí)根上的極點(diǎn)分別向兩邊移動(dòng)，但是主極點(diǎn)卻離虛軸越來(lái)越近，說(shuō)明負(fù)載變小的過(guò)程，系統(tǒng)穩(wěn)定性也變差了。圖11 (b)中隨著逆變器輸出阻抗的變化，雖然極點(diǎn)右移，但是主極點(diǎn)卻一直未變，對(duì)系統(tǒng)影響有限。

圖11 阻抗變化根軌跡

圖12為低通濾波截止頻率由0.01增加到20的根軌跡圖，圖中采用圖11(a)和圖11(b)中相同的下垂系數(shù)。說(shuō)明增大截止頻率在一定程度上可以系統(tǒng)更穩(wěn)定，但是截止頻率并不能無(wú)限制增大，當(dāng)截止頻率增大到一定程度，系統(tǒng)主極點(diǎn)變?yōu)殡S截止頻率增大而右移的一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定性就將變差。

圖12 ωc變化根軌跡

5 結(jié)束語(yǔ)

本文的目的在于建立一種能詳細(xì)分析并聯(lián)系統(tǒng)中各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性影響的方法。傳統(tǒng)的分析方法基于小信號(hào)模型，但是傳統(tǒng)的小信號(hào)建模法所建立的模型并不準(zhǔn)確，沒(méi)有考慮到并聯(lián)逆變器之間的耦合關(guān)系，無(wú)法分析特定功率計(jì)算方法的影響，無(wú)法分析負(fù)載影響，也無(wú)法分析逆變器輸出阻抗的影響。本文提出的小信號(hào)建模法，以整個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)為研究對(duì)象，包含逆變器電壓環(huán)以外的控制系統(tǒng)信息以及電路參數(shù)的影響，提供了一種到較為全面的分析方法。