李巧利, 毛北行

(1.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001;2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院,河南 鄭州 450015)

對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌同步及滑模同步的研究，眾多學(xué)者已有豐富的成果[1-7].文獻(xiàn)[8]研究分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步控制問題，文獻(xiàn)[9]利用積分滑模方法研究分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen混沌系統(tǒng)同步問題，文獻(xiàn)[10]根據(jù)積分滑?？刂品椒ㄑ芯亢教炱鞯淖藨B(tài)容錯(cuò)控制，文獻(xiàn)[11]根據(jù)比例積分滑?？刂蒲芯炕Ｖ茖?dǎo)律問題，文獻(xiàn)[12]根據(jù)比例積分滑模方法研究糾纏混沌系統(tǒng)的同步問題.另一方面,Bao混沌系統(tǒng)激起了廣大學(xué)者的研究興趣.文獻(xiàn)[13]研究一類4維Like-Bao系統(tǒng)的動力學(xué)分析問題，文獻(xiàn)[14]研究分?jǐn)?shù)階超混沌Bao混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步，文獻(xiàn)[15]研究超混沌Bao系統(tǒng)線性狀態(tài)反饋控制及自適應(yīng)控制.論文研究不確定分?jǐn)?shù)階超混沌Bao系統(tǒng)滑模同步的兩種方法．

1 主要結(jié)果

定義1[16]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

分?jǐn)?shù)階超混沌Bao系統(tǒng)[14]為

(1)

當(dāng)a=20,b=4,c=32,d=4,q=0.95時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)分別為1.987，0.071，0.000，-18.058.系統(tǒng)的超混沌吸引子如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)的混沌吸引子

設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

(2)

其中：Δfi(y)為不確定項(xiàng)，y=[y1,y2,y3,y4]T，di(t)為系統(tǒng)外擾，ui為控制.

定義誤差e1=y1-x1,e2=y2-x2,e3=y3-x3,e4=y4-x4，得誤差方程為

(3)

假設(shè)1|Δfi(y)|≤mi,|di(t)|≤ni,mi,ni>0.

假設(shè)2|Δfi(y)+di(t)|<λ|ei|,其中，λ為大于零的常數(shù)．

引理1[16]若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù)，則有

定理1若滿足假設(shè)1，2，構(gòu)造滑模函數(shù)為

控制器為

則(2)，(3)是滑模同步的．

代入控制器，(3)的第一個(gè)方程可寫為

所以e4→0.

兩邊積分，有

根據(jù)引理2，得到s(t)→0.

假設(shè)3|ae1-ae2+Δf1(y)+d1(t)|<λ|e1|.

假設(shè)4|y1y3-x1x3-ce2+e4+Δf2(y)+d2(t)|<λ|e2|.

假設(shè)6|de1+de2+Δf4(y)+d4(t)|<λ|e4|.

定理2若滿足假設(shè)3～6，設(shè)計(jì)滑模函數(shù)為

控制器為

其中:λ>0為常數(shù)，則(2)，(3)是比例積分滑模同步的．

(4)

兩邊積分，有

根據(jù)引理2， 得到s(t)→0.

2 Matlab仿真

選取系統(tǒng)參數(shù)a=20,b=4,c=32,d=4,q=0.95,初始值設(shè)置為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(2.2,6.5,2.5,2.5).

Δf1(y)+d1(t)=0.1sin(t)y1+0.1cost,Δf2(y)+d2(t)=-0.1cos(t)y2+0.1cost,

Δf3(y)+d3(t)=-0.1sin(t)y3+0.1cos(2t),Δf4(y)+d4(t)=0.1cos(t)y4+0.1sint.

系統(tǒng)誤差曲線如圖2,3所示.從圖中可以看出，初始時(shí)刻系統(tǒng)誤差較大，隨著時(shí)間推移系統(tǒng)誤差曲線趨向一致．定理2構(gòu)造了4個(gè)分?jǐn)?shù)階比例積分滑模面，控制器變得更加簡單，較定理1更加易于實(shí)現(xiàn)．

圖2 定理1的系統(tǒng)誤差曲線 圖3 定理2的系統(tǒng)誤差曲線

3 結(jié)束語

研究分?jǐn)?shù)階不確定超混沌Bao系統(tǒng)的滑模同步，得到分?jǐn)?shù)階不確定超混沌Bao系統(tǒng)取得滑模同步的兩個(gè)充分條件，從數(shù)學(xué)角度給出了嚴(yán)格的證明和邏輯推理過程，用Matlab數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的正確性．