尤悅秋

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在中職《數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）》修訂版上冊(cè)中，第2章 第3節(jié)一元二次不等式的教學(xué)中，圍繞一元二次函數(shù)、一元二次方程以及一元二次不等式之間的關(guān)系及其應(yīng)用，以一元二次函數(shù)為中心，從代數(shù)角度及幾何圖形角度，利用數(shù)形結(jié)合，由圖像直觀感知揭示規(guī)律，解決不等式問(wèn)題。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 二次函數(shù);圖像;一元二次不等式;一元二次方程

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G715? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）31-0102-02

由于中職生的文化基礎(chǔ)較差，初中階段對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)缺漏多，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)很薄弱。在《數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）》修訂版上冊(cè)中，第2章 第3節(jié)一元二次不等式的教學(xué)中感觸特別強(qiáng)烈，學(xué)生對(duì)于初中所學(xué)的一元二次方程、一元二次函數(shù)的知識(shí)極其不熟悉。一元二次方程、一元二次函數(shù)在初高中甚至中職的數(shù)學(xué)中，都占有重要的地位，有著廣泛的應(yīng)用，緊密聯(lián)系中職數(shù)學(xué)，起橋梁、紐帶的作用。中職數(shù)學(xué)教材中，從初中一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式出發(fā)，利用一元一次函數(shù)圖象，引出一元二次函數(shù)圖象與之進(jìn)行對(duì)比，并提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)解答，從而達(dá)到教育教學(xué)的目的。

一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)，這三種題型，最終都可以歸結(jié)為對(duì)一元二次函數(shù)的研究。從代數(shù)的角度來(lái)看，一元二次方程是令函數(shù)值為0時(shí)，自變量的取值;一元二次不等式則是令函數(shù)值大于0（或小于零）時(shí)，自變量的取值范圍。從幾何角度看，通過(guò)畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)圖象（拋物線）在直角坐標(biāo)系中，圖象與x軸、y軸之間的位置關(guān)系判斷函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程則是，圖象與x軸交點(diǎn)的x的值;一元二次不等式則是，圖象與x軸的位置關(guān)系，如果圖象在x軸上方函數(shù)值大于0，否則反之。利用數(shù)形結(jié)合形象直觀地告訴學(xué)生，“一元二次”三者之間的聯(lián)系。

下面我們就對(duì)三者之間的知識(shí)進(jìn)行一個(gè)總結(jié)。

一、二次方程、二次函數(shù)、二次不等式基礎(chǔ)代數(shù)知識(shí)

1.一元二次方程一般式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數(shù)且a≠0）

③當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，ax2+bx+c=0，無(wú)實(shí)數(shù)根。

（3）根與系數(shù)的關(guān)系，韋達(dá)定理：

2.一元二次函數(shù)一般式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)且a≠0）

（1）函數(shù)其他形式。

①頂點(diǎn)式：f（x）=a（x-h）2+k（a≠0）

②兩根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

（2）函數(shù)的圖象是對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸的拋物線。

a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上;當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下。

（3）一般式的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸。

3.一元二次不等式一般式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，（其中a>0）

設(shè)ax2+bx+c=0（a≠0）時(shí)，當(dāng)Δ=b2-4ac>0，兩個(gè)根分別為x1、x2，且x1

（1）ax2+bx+c>0

①Δ>0 解集為{x|xx2}

③Δ<0 解集為R

（2）ax2+bx+c<0

①Δ>0 解集為{x|x1

②Δ=0 解集為Φ

③Δ<0 解集為Φ

二、二次方程、二次函數(shù)、二次不等式幾何意義

1.一元二次方程標(biāo)準(zhǔn)式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數(shù)且a≠0）

根的判別式Δ=b2-4ac

（1）當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

（2）當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。

（3）當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)。

2.一元二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)且a≠0）

（1）當(dāng)a>0時(shí)，y=f（x）的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，

（2）當(dāng)a<0時(shí)，y=f（x）的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，

3.一元二次不等式標(biāo)準(zhǔn)式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，（其中a>0）

（1）ax2+bx+c>0（其中a>0）

①圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

解集為{x|xx2}

②圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)

③圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

解集為R

（2）ax2+bx+c<0（其中a>0）

①圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

解集為{x|x1

②圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)

解集為Φ

③圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

解集為Φ

從以上對(duì)三者之間基礎(chǔ)知識(shí)的對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)、二次方程及不等式中需要記憶的知識(shí)、公式太多、太繁雜，對(duì)于中職生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力，及數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)不扎實(shí)來(lái)說(shuō)，確實(shí)是一個(gè)難度很大的學(xué)習(xí)過(guò)程。我們通過(guò)借助一元二次函數(shù)圖象，利用拋物線在直角坐標(biāo)系中體現(xiàn)出的直觀性，結(jié)合函數(shù)、方程以及不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，從而讓學(xué)生更輕松地掌握知識(shí)。

學(xué)生通過(guò)對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，利用基礎(chǔ)一元二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式，對(duì)稱(chēng)軸的求解，畫(huà)出大致拋物線的草圖，再通過(guò)草圖準(zhǔn)確掌握函數(shù)的性質(zhì)，從而學(xué)會(huì)一元二次方程、一元二次不等式的解法。在科技高速發(fā)展的今天，學(xué)生對(duì)于手機(jī)軟件、電腦軟件的學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，也可以通過(guò)許多大家都熟悉的數(shù)學(xué)軟件，如幾何畫(huà)板、GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件制作準(zhǔn)確的函數(shù)圖象，并從中掌握一元二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程的解題規(guī)律，以達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果。

實(shí)例分析：

例題：畫(huà)出一元二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖象。

說(shuō)一說(shuō)，①當(dāng)x取哪些值時(shí)，y=0？②當(dāng)x取哪些值時(shí)，y>0？③當(dāng)x取哪些值時(shí)，y<0？

分析：方法一：可以利用幾何畫(huà)板畫(huà)出函數(shù)圖象，從圖象可知，對(duì)稱(chēng)軸x=2，與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（1，0）、（3，0）所以

①當(dāng)x=1或x=3時(shí)，y=0

②當(dāng){x|x<1或x>3}時(shí)，y>0

③當(dāng){x|1

方法二：①令y=0，即x2-4x+3=0，利用因式分解（x-1）（x-3）=0，解得x1=1，x2=3，利用口訣“大于在兩邊，小于夾中間”

②當(dāng){x|x<1或x>3}時(shí)，y>0

③當(dāng){x|1

在中職數(shù)學(xué)“2.3一元二次不等式”的教學(xué)中，我們常常以一元二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)，一元二次方程及一元二次不等式分別是以函數(shù)與x軸的位置關(guān)系，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)或者是沒(méi)有交點(diǎn)，通過(guò)二次函數(shù)的函數(shù)圖象和基本性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，在數(shù)形結(jié)合的反復(fù)練習(xí)中，應(yīng)掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，從而提高熟練解決二次方程及二次不等式的解題能力。

◎編輯 馬燕萍