李耀紅，張海燕

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州234000)

分?jǐn)?shù)階微分方程模型由于能更精確的描述一些復(fù)雜的自然科學(xué)現(xiàn)象，其理論研究在多個(gè)學(xué)科中有廣泛應(yīng)用，如化學(xué)、生物學(xué)、材料學(xué)、醫(yī)學(xué)、控制理論、信號(hào)和圖像處理等[1-5]。脈沖微分方程一般用于描述具有不連續(xù)跳躍或者突變的物理過(guò)程模型。近年來(lái)，隨著分?jǐn)?shù)階微分應(yīng)用理論研究的深入，分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并獲得了一些優(yōu)秀的研究成果[6-13]。特別地，在文[6]中一類(lèi)Caputpo 分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程Cauchy 問(wèn)題

1 預(yù)備知識(shí)

為方便敘述，引入如下符號(hào)和常用定義:

定義1[2]函數(shù)g:(0,+∞)→R 的α＞0 階Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2[2]連續(xù)函數(shù)g:(0,+∞)→R 的α＞0 階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中當(dāng)α為非正整數(shù)時(shí),n=[α]+1，[α]表示α的整數(shù)部分；當(dāng)α為正整數(shù)時(shí)時(shí),n=α。

引理 1[2]若函數(shù)g∈Cn(0,1)?L1[0,1]且α＞0，則分?jǐn)?shù)階微分方程有解

其中n如定義2所述。

引理2[2]若函數(shù)g∈L1([0,1],R)且p＞q＞0 ，則對(duì)任意t∈[0,1],有

令L1([0,1],R+）表示在范數(shù)下從[0,1]到R的可積函數(shù)的Banach空間。

引理3[15]若q＞0,f∈L1([0,1]，R+)，則有

引理4[19](Leray-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)E是實(shí)Banach 空間,D是E中有界凸閉集，T:D→D是一個(gè)全連續(xù)算子，則T在D中必具有不動(dòng)點(diǎn)。

引理5[14]若函數(shù)u∈L1(0,1)是分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程Cauchy 問(wèn)題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u∈L1(0,1)是如下積分方程的解：

2 主要結(jié)果

為敘述方便，給出如下關(guān)于函數(shù)f的若干非線性增長(zhǎng)條件:

(H1)存在非負(fù)函數(shù)a1i(t)∈L1([0,1],R+),i=1,2 和非負(fù)常數(shù)lk,k=1,2,…,m，使得對(duì)?t∈[0,1]和u∈R,有

(H2)存在非負(fù)函數(shù)a2i(t)∈L1([0,1],R+),i=1,2 和非負(fù)常數(shù)lk,k=1,2,…,m，使得對(duì)?t∈[0,1]和u∈R,有

(H3)存在非負(fù)函數(shù)a3i(t)∈L1([0,1],R+),i=1,2 和非負(fù)常數(shù)lk,k=1,2,…,m，使得對(duì)?t∈[0,1]和u∈R,有

為簡(jiǎn)便，記

定理1如果條件(H1)滿(mǎn)足，則分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程(1)在PC[J,E]中至少存在一個(gè)解。

證明定義算子F:PC[J,E]→PC[J,E],令

由引理5 知，分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程(1)在PC[J,E]中至少存在一個(gè)解，當(dāng)且僅當(dāng)算子F在PC[J,E]中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。首先令

因此算子FΩ ?Ω。同時(shí)注意到f是連續(xù)函數(shù)，類(lèi)似于文獻(xiàn)[14]，可證得F在Ω 中連續(xù)。記

下面證明F在Ω 中是全連續(xù)的。對(duì)?u∈Ω,t,τ∈Jk=(tk,tk+1],τ

顯然，當(dāng)τ→t時(shí)，|(Fu)(t)-(Fu)(τ)|→0，即FΩ是等度連續(xù)的，又注意到FΩ ?Ω，知算子F在Ω中是一致有界的。因此由Azela-Ascoli 定理知算子F在Ω 中是全連續(xù)的。從而由引理4 知算子F在PC[J,E]中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

定理2如果條件(H2)和滿(mǎn)足，則分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程(1)在PC[J,E]中至少存在一個(gè)解。

證明與定理1 相似，將式(4)中r滿(mǎn)足條件修改為即可。

定理3如果條件(H3)和A32<1 滿(mǎn)足，則分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程(1)在PC[J,E]中至少存在一個(gè)解。

證明與定理1 相似，將式(5)中r滿(mǎn)足條件修改為即可。

3 例題

例1考慮下列分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程

這里α=0.5,0<λ<1,a11(t),a12(t)為非負(fù)可積函數(shù)，故由定理1可知分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程至少有一解。

4 小結(jié)

本文利用Leary-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理，結(jié)合一些非線性增長(zhǎng)條件和分?jǐn)?shù)階積分不等式，獲得了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程Cauchy 問(wèn)題解的存在性。改進(jìn)了已有文獻(xiàn)僅考慮線性增長(zhǎng)條件的結(jié)果，如[8,14]。同時(shí)也注意到，若問(wèn)題（1）中的分?jǐn)?shù)階為高階或非線性項(xiàng)函數(shù)中含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，本問(wèn)題將更具一般性，應(yīng)用范圍也將更廣泛。