杜 潔，高 珊，金欣雪

（阜陽師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽阜陽236037）

關(guān)鍵字：ARIMAX 模型；預測；時間序列分析

GDP 是衡量國家經(jīng)濟的指標之一[1]。自改革開放以來，我國的GDP 有逐年增長的變化趨勢。1978-2018 年，我國GDP 年增長率平均為9.52%，1984 年達到15.14%的高峰。2018 年我國的GDP總量更是達到了13.01 萬億美元，繼續(xù)穩(wěn)居世界第二大經(jīng)濟體[2]。

中國的GDP 增速控制在合理的范圍內(nèi)，2019年中國經(jīng)濟開局良好，穩(wěn)中有進。中國經(jīng)濟的穩(wěn)定快速發(fā)展，為世界經(jīng)濟的復蘇貢獻了中國智慧和中國力量。因此，分析并預測我國GDP 的未來變化趨勢，在這個“非常時刻”，對中國經(jīng)濟乃至世界經(jīng)濟都具有十分重要的現(xiàn)實意義。

許多學者建立了對GDP 進行研究和預測的模型，包括多元線性回歸模型[3-4]，ARIMA（autoregressive integrated moving average model）模型等[5-6]。Hsin 等[7]利用納什非線性灰色伯努利模型對金磚四國的GDP 進行了預測，證明模型是可行有效的。Schumacher 等[8]利用大因子模型對德國GDP 月、季數(shù)據(jù)進行了準確地實時預測。王紅超等[9]運用指數(shù)平滑法和回歸分析相結(jié)合的方法預測了2017 年我國GDP，得到滿意結(jié)果。王鑫等[10]利用干預模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡集成模型對我國的GDP 進行預測，發(fā)現(xiàn)預測誤差較小。

眾多預測模型中，多元線性回歸模型沒有考慮殘差分布，ARIMA 等預測模型固然可以對GDP 進行研究，卻沒有考慮其它變量對它的影響?，F(xiàn)實中，全社會固定資產(chǎn)投資總額會對GDP產(chǎn)生一定的影響。如果考慮此因素對GDP 的影響，則可以提高模型的預測精度。基于此，本文建立全社會固定資產(chǎn)投資總額為輸入序列，GDP 為輸出序列的ARIMAX（ARIMA with external input）模型，對GDP 進行預測。

1 ARIMAX 模型簡介

ARIMA 模型是對單變量進行分析和預測的經(jīng)典模型，如果不考慮其他變量對目標變量的影響，ARIMA 模型往往得不到滿意的結(jié)果。如果將其它序列也納入研究范圍，就涉及多元時間序列分析，其最典型的模型形式為ARIMAX，即動態(tài)回歸模型。對多元時間序列的分析始于1976 年，多元時間序列分析要求各變量是平穩(wěn)的，否則容易出現(xiàn)虛假回歸的情況[11]。當變量不平穩(wěn)時，1987 年恩格爾和格蘭杰給出了協(xié)整的定義，即雖然變量不平穩(wěn)，但是回歸的殘差平穩(wěn)，那么變量間就是協(xié)整的，此時不存在虛假回歸的問題。于是多元時間序列分析的方法開始盛行[12]。

2 ARIMAX 模型的建模步驟

（1）首先，對輸出變量序列{yt}和第i個輸入變量序列{xit}進行單位根檢驗；

（2）若{xit}非平穩(wěn)，則建立ARIMA 模型擬合序列{xit}，得到白噪聲{εxit}

（3）對{yt}實施同樣的變換，得到{εyit}:

其中：D為對yt進行的差分階數(shù)。

（4）研究{εxit} 與{εyit} 的互相關(guān)系數(shù)，確定ARIMAX 模型形式[13]，

其中：μ為常數(shù)；Θ(B)=θ0-θ1B-θ2B2-…-θqBq為殘差序列{εt} 的q階移動平均系數(shù)多項式；Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp為殘差序列{εt}的p階自回歸系數(shù)多項式；li為B的指數(shù)；{at}為零均值白噪聲序列。

3 應用ARIMAX 模型的我國GDP 預測

3.1 觀測值的選取

從《中國統(tǒng)計年鑒》（2018）獲取1980 到2018年我國GDP 和全社會固定資產(chǎn)投資總額（x）數(shù)據(jù)，見表1。

表1 1980-2018 年我國GDP 和全社會固定資產(chǎn)投資總額（x）（部分）

3.2 ARIMAX 模型的建立

3.2.1 檢驗x和GDP 及其對數(shù)和對數(shù)1 階差分的平穩(wěn)性

為滿足方差齊性的要求，本文對GDP 和x進行對數(shù)化處理[14]，得到ln GDP 和lnx，對ln GDP和lnx分別做一階差分，得到?ln GDP 和?lnx。運用SAS9.4，分別畫出x和GDP，ln GDP 和lnx以及?ln GDP 和?lnx（dif ln GDP 和dif lnx）的時序圖見圖1。

由圖1(a)和(b)，由于時序圖都存在上升的趨勢，容易得到GDP 和x以及l(fā)n GDP 和lnx都是非平穩(wěn)的。由圖1(c)可以看到時序圖沒有明顯的趨勢或者周期性變化?？梢哉J為?ln GDP 和?lnx都是平穩(wěn)的[15-16]。

為了精確檢驗?ln GDP 和?lnx的平穩(wěn)性，對?ln GDP 和?lnx做ADF 檢驗。結(jié)果見表2～3。

圖1 時序圖

表2 序列?ln GDP 的單位根檢驗結(jié)果

表3 序列?ln x 的單位根檢驗結(jié)果

由表2 可以得到，?ln GDP 具有常數(shù)均值，且為平穩(wěn)序列，該序列具有1 階自相關(guān)。由表3 結(jié)果可以得到，?lnx具有常數(shù)均值，且為平穩(wěn)序列，該序列具有2 階自相關(guān)[17-19]。

3.2.2 對?lnx建立ARMA 模型

首先，?lnx的白噪聲檢驗通過，即?lnx在0.01 的顯著性水平下是非白噪聲，?lnx有信息可供提取，可以建立ARMA（autoregressive moving average model）模型。

其次，由AIC 及SBC 準則，最終得到疏系數(shù)模型AR(1,4)為條件最優(yōu)模型[20]，并得到殘差{εi1}為白噪聲，因此模型顯著。常數(shù)μ及φ1,φ4的估計及{εi1}的白噪聲檢驗結(jié)果分別如表4 和5。

表4 對?ln x 建立ARMA 模型參數(shù)估計結(jié)果

表5 ?ln x 建立ARMA 模型殘差白噪聲檢驗結(jié)果

擬合模型為

其中，{εt1}為白噪聲序列。

對?ln GDP 實施同樣的變換，即

得到{εt2}。

3.2.3 建立ARIMAX 模型

考察{εt1} 和{εt2}之間的互相關(guān)系數(shù)。顯示?ln GDP 和?lnx在延遲0 階時最相關(guān)。因此將?ln GDP 和?lnx滯后0 期建模[21]。

圖2 {εt1}和{εt2}之間的互相關(guān)系數(shù)圖

經(jīng)試算，對?ln GDP 和?lnx建立的模型為

參數(shù)估計結(jié)果如表6 所示。ARIMAX 模型為：

模型參數(shù)顯著。

表6 ARIMAX 模型參數(shù)估計結(jié)果

at的白噪聲檢驗無法拒絕原假設[22]，即模型已經(jīng)充分提取了序列的信息。且互相關(guān)檢驗結(jié)果顯示at和ln x 的互相關(guān)函數(shù)在顯著性水平為0.01時為0[23]，說明模型有效。

4 ARIMAX 模型預測

利用ARIMAX 模型對ln GDP 進行向前2期，向后5 期預測結(jié)果如表7。換算成GDP 預測結(jié)果如表8。

表7 ARIMAX 模型預測結(jié)果

表8 取指GDP 預測結(jié)果

由2017 和2018 年的預測結(jié)果可見，GDP 預測相對誤差均不超過5%，預測較為準確[24]。

5 預測結(jié)果比較

如果不考慮全社會固定資產(chǎn)投資總額對GDP的影響，選取ARIMA 模型對1980-2018 年GDP進行建模，并預測未來我國2019-2021 年的GDP的值，擬合的AR(5)模型為：

預測結(jié)果見表9

表9 ARIMA 模型預測結(jié)果

可見，ARIMAX 模型的預測MAPE（mean absolute percentage error）為1.995，ARIMA 模型的預測MAPE 為2.885。因此，ARIMAX 模型比ARIMA 模型預測更為準確。

6 圖形擬合

為了更形象地觀看擬合效果，畫出擬合效果圖如圖3。圖3(a)為ln GDP 的擬合圖。星號代表實際值，中間虛線和兩邊實線分別代表擬合曲線和95%置信曲線。圖3(b)為GDP 的擬合圖，可見兩圖擬合效果都很好。

圖3 ARIMAX 模型擬合效果圖

7 小結(jié)

因為GDP 和許多因素相關(guān)，考慮到全社會固定資產(chǎn)投資總額和GDP 有較大的關(guān)聯(lián)，因此把全社會固定資產(chǎn)投資總額作為變量引入到GDP 的預測模型當中，建立了ARIMAX 模型。結(jié)果顯示，2017 年和2018 年的預測相對誤差分別為0.07%和3.92%，均不超過5%，預測較為精確。將兩者的預測結(jié)果計算MAPE 發(fā)現(xiàn)，ARIMAX 模型的預測結(jié)果較ARIMA 模型的預測結(jié)果更為精確。這也說明了全社會固定資產(chǎn)投資總額對我國GDP 具有一定的影響，將它加入預測模型中是合理的。