王艷萍，林 勇

（宿州學院數學與統(tǒng)計學院，安徽宿州234000）

許多學者早已研究了各個環(huán)上的循環(huán)碼、常循環(huán)碼、斜循環(huán)碼、負循環(huán)碼等等，而其中循環(huán)碼是代數編碼與密碼中最重要的一類碼。自1994年，Hammons 等人通過研究二元線性碼[1]以來，近些年，許多學者將研究重點轉移到有限環(huán)上。文獻[2-14]通過分析斜多項式環(huán)、構造自同構，然后來討論其環(huán)上斜循環(huán)碼的性質。文獻[15-19]分別研究了不同環(huán)上的斜常循環(huán)碼，進而得到相關性質和結論。本文首先給出了環(huán)R+vR(v2=1)上的一個Gray 映射，研究該環(huán)上線性碼的性質；其次，研究了該環(huán)上的斜常循環(huán)碼，得到該環(huán)上碼的充要條件；最后，在特殊條件的限制下，研究了該環(huán)上對偶碼的性質。

1 基本知識

本文令?=R+vR，其中v2=1。此時，

令e1=2-1(1+v)，e2=2-1(1+v)，易證e1,e2為環(huán)? 中相互正交的冪等元，且

任意兩個元素X=(x1,…,xn) ，Y=(y1,…,yn)∈?n，定義其內積為

如果C是? 上長為n的碼，則其對偶碼可表示為：C⊥={x∈?n,

引理1[20]如果C是環(huán)?n上長度為n的線性碼，可以定義：

則可知：C1,C2為R上長為n的線性碼；且線性碼C可唯一表示：C=e1C1⊕e2C2。

定義1若對?c=(c0,c1,…,cn-1)∈C滿足：

注若λ=1，稱碼C是斜循環(huán)碼；若λ=-1，稱碼C是斜負循環(huán)碼。

2 環(huán)? 上的Gray 映射

定義環(huán)? 到R2的一個Gray 映射φ：對?c=e1x+e2y∈? ，使得φ(c)=(x,y) ，其中x,y∈R。并將其擴展到?n上，即?n到R2n上Gray 映射Φ：

對?c=(c0,c1,…,cn)∈? ，使得Φ(c)=(x0,x1,…,xn-1,y0,y1,…,yn-1) ，其中c1=e1xi+e2yi且xi,yi∈R,i=0,1,…,n-1。

?c∈C，其Gray 重量是WG(c)=WH(x,y)，且Φ是一個保持距離不變的映射，此時的映射為雙射。

定理1設C=e1C1⊕e2C2是環(huán)? 上長為n的線性碼，則

證明（1）類似引理1 定義集合：

即證Φ(C⊥)=Φ(C)⊥。 運用（1）的方法可證

3 環(huán)? 上的斜常循環(huán)碼

引理2設是定義1 中的，則可得三個等價的條件：

（3）xn-v是的中心。

證明（1）?（2）

對?ax∈?，有

（2）?（3）

即證xn-v是的中心。

（3）?（1）由定義可知，顯然成立。

注（1）以下結論均在

（2）若θ為環(huán)R上的一個自同構，假設?上的自同構成立，則可推出

定理2設線性碼C=e1C1⊕e2C2，則C是常循環(huán)碼?C1為環(huán)? 上的斜循環(huán)碼，而此時C2為環(huán)? 上的斜負循環(huán)碼。

證明對?r=(r0,r1,…,rn-1)∈C，

設a=(a0,a1,…,an-1),b=(b0,b1,…,bn-1)，則可得

a∈C1,b∈C2；又

得ρθ,v(r)=e1ρθ,1(a)+e2ρθ,-1(b)，所以，即證結論成立。

定理3假定C=e1C1⊕e2C2為環(huán)常循環(huán)碼，其中C1=

證明（1）先證C=

設g(x)=e1g1(x)+e2g2(x)，顯然

e2g2(x)=e2g(x)，推出C?

（2）再證g(x)右整除xn-v。

因為g1(x)右整除xn-1，g2(x)右整除xn+1，即存在f1(x),f2(x)滿足

又ve1=e1,ve2=-e2，則

即證。

即證。

4 對偶碼

定理4設為上述規(guī)定的，C是環(huán)? 上的線性碼，則可得C為常循環(huán)碼?C⊥為常循環(huán)碼。

證明“?”若C為常循環(huán)碼，由其定義可知：對?u=(u0,u1,…,un-1)∈C有

則對?t=(t0,t1,…,tn-1)∈C⊥有，即

“?”同理可證結論成立。

引理3設

則有以下結論相互等價：

（1）a(x)的系數向量和xi(xn-1φ(b(x)))的系數向量正交；

（2）(a1,a2,…,an-1)與及其常循環(huán)碼移位正交；

注該引理（3）證明方法可參照文獻[18]類似證明。

定理5設C為環(huán)? 上長為偶數n的常循環(huán)碼，C=

（1）xdeg(h(x))φ(h(x))是xn-v的右因子；

（2）C⊥=

證明（1）由上述定義可知，，所以

即證。

即證

5 小結

文章首先給出了環(huán)R+vR(v2=1) 的Gray 映射，研究了環(huán)上線性碼的性質；其次通過構造該環(huán)上的自同構，研究了該環(huán)上的斜常循環(huán)碼一些性質；最后研究了在偶長度且自同構階數為2 的限制條件下對偶碼的性質。