宋恒欣 喻平

摘要：心理學(xué)對邏輯推理中演繹推理、歸納推理和類比推理的能力發(fā)展和影響因素等做了一系列的研究。將這些研究的成果應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，可以提出三條教學(xué)策略：關(guān)注年齡階段，開展分級訓(xùn)練;結(jié)合知識經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)推理場景;梳理推理內(nèi)容，把握培養(yǎng)時機(jī)。

關(guān)鍵詞：邏輯推理演繹歸納類比小學(xué)數(shù)學(xué)

按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的定義，“邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹”。本文簡要介紹心理學(xué)關(guān)于邏輯推理的一些研究，并討論如何將這些研究的成果應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、心理學(xué)關(guān)于邏輯推理的一些研究

（一）演繹推理的研究

1.演繹推理能力的發(fā)展。

方富熹等將270名被試按照9、12、15歲分為三組，同時考察了不同學(xué)校類型、家長文化程度以及學(xué)生智能發(fā)展水平對假言演繹推理能力發(fā)展的影響。他們使用了三套內(nèi)容與生活有關(guān)的試題，采用口頭報告的形式，即由主試說出假言判斷的前提，讓被試在無誤地復(fù)述之后，就主試提出的問題進(jìn)行推導(dǎo)并闡述理由。研究結(jié)果顯示，兒童充分條件假言演繹推理能力從9歲開始發(fā)展并隨著年齡的增長而提高，9歲為開始發(fā)展水平，12歲為過渡階段，15歲為成熟水平。該研究還指出，被試的家庭教育背景、學(xué)校教育條件等外部條件以及智能水平、學(xué)習(xí)能力等內(nèi)部因素都影響著其假言推理演繹能力的發(fā)展。

李丹等選用能夠反映事物之間蘊(yùn)含關(guān)系并且與生活聯(lián)系較多的命題來考察兒童的演繹推理能力，選取了從小學(xué)三年級到初中三年級七個年級的495名被試，讓他們完成20道假言演繹推理的選擇題。研究結(jié)果顯示，小學(xué)三年級到初中三年級學(xué)生的假言演繹推理能力隨著年齡的增長而增長，并且初中一年級左右是一個快速增長的關(guān)鍵期。在實驗中，他們選取了兩所教學(xué)水平不同的學(xué)校做對照，經(jīng)過測試發(fā)現(xiàn)，高教學(xué)水平的學(xué)校學(xué)生的推理能力發(fā)展領(lǐng)先低教學(xué)水平的學(xué)校一個年級;通過對教師的訪談發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)中注意培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力有助于其推理能力的發(fā)展。

選言推理是其中一個前提為選言判斷，另一個前提對這個選言判斷的一部分選言肢進(jìn)行肯定或否定的演繹推理。選言推理可分為不相容選言推理和相容選言推理。不相容選言推理以不相容選言判斷作為大前提。其推理規(guī)則是：肯定一個選言肢，可以否定其余的選言肢;否定一個選言肢，對于選言大前提含兩個選言肢的選言推理可以肯定另一個選言肢，對于選言大前提含三個選言肢的選言推理則不能肯定另外兩個選言肢中的任何一個。相容選言推理以相容選言判斷作為大前提。其推理規(guī)則是：肯定一個選言肢，不能否定其余的選言肢;否定一個選言肢，對于選言大前提含兩個選言肢的選言推理可以肯定另一個選言肢，對于選言大前提含三個選言肢的選言推理則不能肯定另外兩個選言肢中的任何一個。吳榮先選擇從小學(xué)三年級到初中三年級，每個年級對應(yīng)于一個年齡組，從9.5歲到15.5歲（每個年齡組的范圍為±3個月）共七個年齡組的學(xué)生為被試，考察了不同年齡段學(xué)生選言推理能力的發(fā)展情況。研究結(jié)果顯示，學(xué)生的選言推理能力隨著年級的增加而不斷發(fā)展，而相容選言推理能力和不相容選言推理能力的發(fā)展是不平衡的：在小學(xué)四年級就基本掌握不相容選言推理，而到初中三年級才基本掌握相容選言推理。

圖形推理是指借助圖形來推理的過程。林崇德等探討了小學(xué)生圖形推理策略的差異，將145名小學(xué)生按照數(shù)學(xué)能力分為三個對照組，并將從CRT瑞文智力測驗中選出的14道題根據(jù)圖形關(guān)系分類，對學(xué)生進(jìn)行測試。他們將兒童的推理策略分為6類：（1）分析策略，指能夠正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律并用以解決問題;（2）不完全分析策略，指能夠發(fā)現(xiàn)部分規(guī)律并用于解決問題;（3）知覺分析策略，指不能明顯抽象出規(guī)律，但能發(fā)現(xiàn)一些變化，并根據(jù)這些變化做出選擇;（4）知覺匹配策略，指傾向于選擇相似或完全不同的圖形作為答案;（5）自主想象策略，即憑借個人喜好進(jìn)行選擇;（6）格式塔策略，即把缺損圖形補(bǔ)充完整的策略。研究結(jié)果顯示，不同年齡的兒童在推理策略選擇上有著不同的特點：總的來看，在小學(xué)階段，知覺分析策略占主導(dǎo)地位，且分析策略的使用隨年齡的增長而上升;二年級開始，學(xué)生的圖形推理能力有較大飛躍，到了五、六年級，學(xué)生能夠不受題目形式的影響，從本質(zhì)上把握邏輯規(guī)則。

2.影響演繹推理的因素。

方富熹等為探查12歲兒童充分條件假言演繹推理能力的差異，選擇12歲的“普通兒童”與“數(shù)學(xué)成績優(yōu)異兒童”各20人，分別采用與生活經(jīng)驗聯(lián)系密切、與生活經(jīng)驗相悖和比較抽象的三套試題進(jìn)行個別測試。測試結(jié)果顯示，12歲的兒童普遍具有充分條件假言演繹推理的能力，但是他們的推理過程容易受到材料內(nèi)容性質(zhì)和自身生活經(jīng)驗的影響;同時，“數(shù)學(xué)成績優(yōu)異兒童”的假言演繹推理能力更強(qiáng)，說明兒童假言演繹推理能力與其智能水平有關(guān)。

李國榕等根據(jù)直言三段論推理的四種格（全稱肯定、全稱否定、特稱肯定和特稱否定）、“四概念錯誤”（把兩個不同概念當(dāng)作同一概念使用，導(dǎo)致在三段論中出現(xiàn)四個概念）和“特稱前提推出錯誤結(jié)論”等三個類型，編制了含20道推理題的問卷，對在升學(xué)率分別為低、中、高的三所普通中學(xué)的學(xué)生進(jìn)行測試。測試結(jié)果顯示，中學(xué)生直言三段論推理是否正確和推理的格密切相關(guān)，其中全稱肯定型的成績最好;并且，學(xué)習(xí)成績的高低也影響著推理能力的發(fā)展。

沃建中等研究了小學(xué)生在圖形推理中策略選擇的問題。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在解決簡單的問題時，不同水平的學(xué)生在策略選擇上無明顯差異，大部分學(xué)生都采用分析策略，都能找到規(guī)律完成題目;然而隨著難度的增加，不同水平的學(xué)生在策略選擇上出現(xiàn)了差異，高水平的學(xué)生多使用分析策略和知覺分析策略，中等水平的學(xué)生多使用知覺分析策略，而低水平的學(xué)生多使用知覺匹配策略。結(jié)合訪談還發(fā)現(xiàn)，低水平學(xué)生的問題表征方式造成他們不能正確進(jìn)行圖形推理，也影響了他們推理策略的選擇使用。

（二）歸納與類比推理的研究

1.歸納與類比推理能力的發(fā)展。

林崇德把運(yùn)算中的歸納推理分為四個水平：（1）直接歸納推理（如由6+0=6，8+0=8，…歸納出“任何數(shù)加零等于原來的數(shù)”）;（2）簡單文字運(yùn)算中直接歸納推理（如由x=y，x+a=y+a，x+b=y+b，…歸納出“等式兩邊加上一個相同的數(shù)，仍然相等”）;（3）算術(shù)運(yùn)算中間接歸納推理（如通過多個步驟的分?jǐn)?shù)運(yùn)算歸納出分?jǐn)?shù)的性質(zhì)）;（4）初步代數(shù)式的間接歸納推理（如通過多次對兩個變量的運(yùn)算歸納出兩者的函數(shù)關(guān)系）。他的研究表明，小學(xué)階段隨著年齡的增長，學(xué)生的歸納推理能力逐步提升，在五年級基本達(dá)到“算術(shù)運(yùn)算中間接歸納推理”的水平。

倪斯杰等對小學(xué)二年級學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力的研究顯示，該年齡段的學(xué)生基本不具備所考察的歸納推理能力，具體包括通過歸納理解新概念、從多步算式中找規(guī)律、從圖形變換中找一般規(guī)律等。而Csapó對三、五、七、九、十一五個年級2400多名學(xué)生歸納推理能力的研究表明，三年級學(xué)生已經(jīng)具備了一定的歸納推理能力;低年級學(xué)生得分的標(biāo)準(zhǔn)差較大，原因是少數(shù)學(xué)生在早期就具備較強(qiáng)的能力;五至七年級是歸納推理能力發(fā)展最迅速的時期，九年級后發(fā)展明顯變緩。

類比推理能力的發(fā)展研究關(guān)注的一個問題是類比推理能力何時出現(xiàn)。傳統(tǒng)代表如皮亞杰認(rèn)為，類比推理能力的發(fā)展與從具體運(yùn)算到形式運(yùn)算能力的發(fā)展一致，兒童要到11—12歲才能真正地完成。后來的許多研究發(fā)現(xiàn)，類比推理能力的發(fā)展明顯早于皮亞杰所說的形式運(yùn)算階段。大多數(shù)研究者都認(rèn)為，類比推理能力在前運(yùn)算階段便得到了有效的發(fā)展，在較熟悉的事物中，3—4歲的兒童就能成功地完成類比推理作業(yè)。

費(fèi)廣洪等隨機(jī)抽取了180名3—11歲的兒童，整合多種類比推理材料，采用關(guān)系圖形、幾何圖形、詞語、數(shù)字、故事等五種材料，考察兒童類比推理能力發(fā)展的年齡特點。研究發(fā)現(xiàn)，兒童的類比推理能力發(fā)展有階段性的特點，4—5歲開始能夠進(jìn)行類比推理，并且隨著年齡的增長，類比推理能力不斷上升。

2.影響歸納與類比推理的因素。

已有研究發(fā)現(xiàn)，對事物之間相似性的認(rèn)知是歸納推理的基礎(chǔ)。相似性研究中的一個關(guān)鍵問題是知覺相似和概念相似之間是如何相互作用的。知覺相似觀認(rèn)為兩個物體之間的相似性主要是基于表面的物理特征，概念相似觀認(rèn)為相似性主要取決于物體之間共同的關(guān)系。孫紅梅等對這個問題做了進(jìn)一步的研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，一年級學(xué)生和三年級學(xué)生在基于知識和基于外觀的推理之間不存在顯著性差異;而五年級學(xué)生和大學(xué)生基于知識的推理次數(shù)顯著高于基于外觀的推理次數(shù)，同時五年級學(xué)生和大學(xué)生在基于知識的推理上沒有顯著差異。這一研究結(jié)果暗示，五年級學(xué)生在歸納推理時與成人的表現(xiàn)相一致，主要基于概念相似;一年級學(xué)生和三年級學(xué)生在基于概念的歸納推理方面還處于過渡期。

促使兒童類比推理能力發(fā)展的潛在因素是什么？研究者們的看法大致有三類：（1）能力的限制。例如，兒童類比推理能力的發(fā)展主要受諸如記憶容量、信息加工能力等認(rèn)知能力的限制。（2）知識經(jīng)驗的限制。例如，兒童在類比推理中存在顯著的年齡差異，而造成這種差異的原因是知識經(jīng)驗的積累。如果給兒童熟悉的類比任務(wù)，讓他們運(yùn)用熟悉的知識進(jìn)行推理，那么，他們將表現(xiàn)出類比推理能力。（3）既有能力的影響，也有知識經(jīng)驗的影響。

王樹芳等以任務(wù)難度和反饋學(xué)習(xí)為自變量，對兒童類比推理做了實驗研究。反饋學(xué)習(xí)是指兒童完成一個類比推理任務(wù)后就反饋是對還是錯：如果對了，就讓兒童說出類比的關(guān)系，從而確保他們是理解類比關(guān)系的;如果錯了，就解釋源圖的事物，讓兒童自行明白源圖事物之間的關(guān)系;如果經(jīng)過三次解釋，兒童還是不明白這種關(guān)系，就直接說明。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，開展反饋學(xué)習(xí)以降低任務(wù)難度時，7—8歲兒童能完成更高年齡段兒童才能完成的任務(wù);但是，增加任務(wù)難度時，11歲以上兒童也表現(xiàn)出類比推理能力的弱化。結(jié)果提示，兒童能否在類比推理任務(wù)中表現(xiàn)出相應(yīng)的能力可能取決于任務(wù)難度，而反饋學(xué)習(xí)可促進(jìn)一定年齡段內(nèi)兒童的類比推理能力發(fā)展。

（三）邏輯推理能力培養(yǎng)的研究

胡衛(wèi)平等開發(fā)了面向所有學(xué)科的“學(xué)思維”活動課程，每個活動都包括四個環(huán)節(jié)：第一，活動導(dǎo)入，即創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生認(rèn)知沖突、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的環(huán)節(jié);第二，活動過程，即按照活動的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，組織學(xué)生觀察、思考、討論、實驗的環(huán)節(jié);第三，活動心得，即引導(dǎo)學(xué)生回顧整個活動，總結(jié)心得、引起反思的環(huán)節(jié);第四，活動拓展，即向生活和其他學(xué)科領(lǐng)域拓展思維方法的環(huán)節(jié)。通過實驗發(fā)現(xiàn)，實驗組學(xué)生思維能力的總體水平以及發(fā)展速度顯著快于控制組學(xué)生;實驗組學(xué)生在歸納推理、演繹推理、空間認(rèn)知、類比推理和抽象概括能力上顯著高于控制組學(xué)生，且除了抽象概括能力，其他四項能力的發(fā)展速度顯著快于控制組學(xué)生。

陳德煜等對小學(xué)三年級學(xué)生開展了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的實驗研究。數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練是指用一定時間有意識地安排邏輯思維方法，結(jié)合教材內(nèi)容編寫訓(xùn)練題，給學(xué)生學(xué)習(xí)與練習(xí)。分為7個單元：（1）概念理解與數(shù)量關(guān)系;（2）概念的聯(lián)系與判斷;（3）比較、抽象、概括和推理;（4）分析和綜合;（5）認(rèn)清條件，分析和解決問題;（6）一題多變、一題多解，訓(xùn)練思維的靈活性;（7）解決難題。實驗表明，實驗班學(xué)生的邏輯思維能力得到了明顯的提升。

王瑾認(rèn)為，小學(xué)生的歸納推理能力訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)分為四個階段。（1）前歸納階段（一年級）：初步掌握觀察的方法，養(yǎng)成觀察的習(xí)慣;通過簡單的分析與比較活動，發(fā)現(xiàn)共同性與差異性，初步了解什么是規(guī)律，會做簡單的分類;積累觀察、分析、比較、分類的經(jīng)驗;具有歸納推理的潛意識。（2）歸納推理的初級階段（二、三年級）：學(xué)會根據(jù)適當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)分類;形成對規(guī)律的基本認(rèn)識，能提出一些簡單的猜想，會用自己的語言或數(shù)學(xué)語言加以表征;積累相關(guān)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。（3）歸納推理的完善階段（四、五年級）：深化枚舉歸納推理獲得一般結(jié)論（猜想）的活動，特別是，使用枚舉歸納推理于運(yùn)算法則、規(guī)律性公式的形成;通過錯誤猜想，懂得枚舉歸納所得的結(jié)論具有或然性，從而明確檢驗的必要性，并能用反例推翻錯誤猜想。（4）歸納推理的前演繹階段（六年級）：深化枚舉歸納推理，使用枚舉歸納推理于運(yùn)算法則、規(guī)律性公式的形成;結(jié)合數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)，逐漸增加演繹成分，而引進(jìn)計算推證和科學(xué)歸納推理，從而通過個別事例的分析，發(fā)現(xiàn)因果關(guān)系（必然聯(lián)系），獲得解釋一般結(jié)論的內(nèi)在根據(jù)，特別是，使用科學(xué)歸納推理于運(yùn)算法則、規(guī)律性公式的形成。

二、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

從以上研究可以看出，不同類型的邏輯推理有著不同的影響因素，同時存在年齡和認(rèn)知發(fā)展順序這樣共性的影響因素。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，圍繞培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的目標(biāo)，可以考慮采用如下一些策略：

（一）關(guān)注年齡階段，開展分級訓(xùn)練

如前所述，小學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展有年齡階段的規(guī)律。一、二年級屬于啟蒙階段，教師應(yīng)當(dāng)教學(xué)生觀察事物的方法，學(xué)會通過觀察對事物進(jìn)行分類，這是邏輯推理的起點。三年級是關(guān)鍵時期（是兒童從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的轉(zhuǎn)折點），從這時起，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合教材中的知識，有意識地對學(xué)生開展邏輯推理的訓(xùn)練，包括演繹推理、歸納推理和類比推理;并且隨著年級的升高，適當(dāng)加大訓(xùn)練材料的難度。

在邏輯推理的訓(xùn)練中，教師還要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平。歸納、類比等合情推理更容易為小學(xué)生所把握，而邏輯性更強(qiáng)的演繹推理更重要的發(fā)展階段是初中二年級。所以，小學(xué)生邏輯推理的訓(xùn)練，重點應(yīng)該放在合情推理上，沒有必要過分關(guān)注演繹推理（謹(jǐn)防揠苗助長）。當(dāng)然，也要注意演繹推理的滲透，讓小學(xué)生經(jīng)歷由探索猜測到合理證明的過程，感受由合情推理到演繹推理的過程，從而更加深入地理解知識的內(nèi)涵，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，并發(fā)展相應(yīng)的邏輯推理能力。

例1利用計算器計算15×15，25×25，…，95×95，并探索規(guī)律。

利用計算器計算出算式結(jié)果后，中年段的學(xué)生可以通過觀察積與乘數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律，如15×15=225=1×2×100+25，25×35=625=2×3×100+25，35×35=1225=3×4×100+25，…。而高年段的學(xué)生學(xué)過用字母表示數(shù)，可以嘗試采用演繹推理的思想證明上述規(guī)律：若用字母a表示一個正整數(shù)，則有（a×10+5）×（a×10+5）=100×a2+2a×10×5+25=a×（a+1）×100+25。這是一個由特殊到一般的過程，既包含了歸納推理，又包含了演繹推理，是一種訓(xùn)練邏輯推理的良好形式。

例2（1）將下面的數(shù)分類：3，5，13，23，25，35，45，53。

（2）圖1中的4個圖形有沒有規(guī)律？如果你認(rèn)為有規(guī)律，請說出規(guī)律?？凑l發(fā)現(xiàn)的多。

（3）小紅計算了3個長方形的面積和周長，結(jié)果如表1所示。她發(fā)現(xiàn)：面積越大，周長就越長。你認(rèn)為她的結(jié)論對嗎？

第1題適合一年級的學(xué)生，引導(dǎo)他們通過簡單的分析與比較，發(fā)現(xiàn)共同性與差異性，初步了解什么是規(guī)律，會做簡單的分類。具體來說，可以按位數(shù)的多少、個位數(shù)是什么、十位數(shù)是什么及所含數(shù)字有哪些等標(biāo)準(zhǔn)（角度）來分類。

第2題適合二、三年級的學(xué)生，引導(dǎo)他們形成對規(guī)律的基本認(rèn)識，提出一些簡單的猜想，用自己的語言或數(shù)學(xué)語言加以表征。具體來說，這里的基本規(guī)律是各個圖形都由四個小正方形組成，都是三個黑的、一個白的，白正方形的位置依次繞中心順時針旋轉(zhuǎn)90°。

第3題適合四、五年級的學(xué)生，引導(dǎo)他們通過錯誤猜想，懂得枚舉歸納所得的結(jié)論具有或然性，從而明確檢驗的必要性，并用反例推翻錯誤猜想。具體來說，這里的結(jié)論是錯的，可以舉出反例：增加一個長方形，它的長、寬分別是8 cm、2 cm，面積是16 cm2，周長是20 cm，那么，表中第2個長方形面積比它的大，但是周長比它的小。

第4題適合六年級的學(xué)生，引導(dǎo)他們結(jié)合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)，增加演繹成分，引進(jìn)計算推證和科學(xué)歸納推理，從而通過個別事例的分析，發(fā)現(xiàn)因果關(guān)系，獲得解釋一般結(jié)論的內(nèi)在根據(jù)。具體來說，這里的一般規(guī)律是相鄰整數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的積，其演繹推理的原因是相鄰整數(shù)是互質(zhì)的，其歸納推理的根據(jù)是3與4互質(zhì)、4與5互質(zhì)、6與7互質(zhì)。

（二）結(jié)合知識經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)推理場景

在邏輯推理的訓(xùn)練中，教師沒必要刻意給學(xué)生介紹邏輯知識，因為這些知識對學(xué)生來說顯得比較抽象。實際上，學(xué)生可以通過多樣化的實例潛移默化地掌握邏輯規(guī)則。

在小學(xué)階段，學(xué)生的邏輯推理受到已有知識和經(jīng)驗的影響。如果推理內(nèi)容超出了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和生活經(jīng)驗范圍，那么，推理或者無法開展，或者產(chǎn)生錯誤。因此，對學(xué)生邏輯推理的訓(xùn)練既要注重在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中滲透，又要穿插一些與日常生活經(jīng)驗結(jié)合的實例。

例3（1）（可多選）下列說法正確的是（）

A.所有的等邊三角形都是等腰三角形

B.所有的等邊三角形都不是等腰三角形

C.有些等邊三角形是等腰三角形

D.有些等邊三角形不是等腰三角形

（2）犯罪行為不是合法行為，故意殺人是犯罪行為。由此可以推出（）

A.故意殺人不是合法行為

B.不合法行為是犯罪行為

C.不是犯罪行為一定合法

D.有的犯罪行為是合法行為

（3）所有的S都是P，有些M不是P。由此可以推出（）

A.所有的M都是S

B.所有的M都不是S

C.有些M是S

D.有些M不是S

這里，第1題與數(shù)學(xué)知識相關(guān)，考查學(xué)生對直言三段論推理的四種格判斷形式的掌握情況。第2題與數(shù)學(xué)知識無關(guān)，考查學(xué)生對日常生活中的直言三段論推理的理解。通過這類題，還可以給學(xué)生講授一些法律知識，擴(kuò)展他們的知識面。第3題是純粹的邏輯問題，考查學(xué)生對直言三段論推理第二格的理解情況。

特別地，對歸納推理的訓(xùn)練，可以采用特殊化策略，即給出一般性問題，讓學(xué)生在解答的過程中，先將其特殊化，再通過歸納推理解決一般情形。

教育研究與評論小學(xué)教育教學(xué)/2020年第12期前沿論壇例4（1）我們班一共有40位同學(xué)，如果每兩位同學(xué)握一次手，那么一共握多少次手？

（2）平面上10條直線最多能將平面分割成多少個區(qū)域？

對于第1題，直接思考40位同學(xué)的情況過于困難，可以引導(dǎo)學(xué)生思考3位同學(xué)共握幾次手，4位同學(xué)共握幾次手，5位同學(xué)共握幾次手……由簡單到復(fù)雜發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律，通過歸納解決問題。同樣地，對于第2題，直接思考10條直線的情況過于困難，可以引導(dǎo)學(xué)生思考1條直線最多分為1+1個區(qū)域，2條直線最多分為1+1+2個區(qū)域，3條直線最多分為1+1+2+3個區(qū)域，從而歸納出新增的第k+1條直線與原有的k條直線都相交，將平面多分割出k+1個區(qū)域，于是得到10條直線最多分為1+1+2+3+…+10=56個區(qū)域。

（三）梳理推理內(nèi)容，把握培養(yǎng)時機(jī)

推理是數(shù)學(xué)思維的一般特征（方法），在很多知識的探究以及問題的解決中都會用到。而數(shù)學(xué)教學(xué)一般是按照知識點展開的，即以知識點為主題的。因此，教師要對教材中邏輯推理相關(guān)的知識內(nèi)容加以梳理，做到心中有數(shù)，從而把握好訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理的有效時機(jī)。表2列出了小學(xué)數(shù)學(xué)教材中邏輯推理相關(guān)的知識內(nèi)容。表2

邏輯推理類型知識點應(yīng)用舉例不完全歸納找規(guī)律運(yùn)算定律除法分?jǐn)?shù)面積體積三角形找數(shù)列和圖形的規(guī)律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+（b+c）乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：abc=a（bc）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac商不變的規(guī)律分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)長方形面積公式的推導(dǎo)長方體體積公式的推導(dǎo)圓柱體積公式的推導(dǎo)圓錐體積公式的推導(dǎo)三角形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)類比推理整數(shù)讀寫法億以內(nèi)及億以上數(shù)的讀寫與萬以內(nèi)數(shù)的讀寫類比整數(shù)的運(yùn)算多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法類比多位數(shù)乘多位數(shù)與多位數(shù)乘一位數(shù)類比除數(shù)是多位數(shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法類比小數(shù)的運(yùn)算小數(shù)運(yùn)算與整數(shù)的運(yùn)算類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算分?jǐn)?shù)運(yùn)算與整數(shù)的運(yùn)算類比除法、分?jǐn)?shù)和比商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)之間的類比面積三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)與平行四邊形面積公式的推導(dǎo)類比線、面、體線、面、體之間的類比長度單位、面積單位、體積單位之間的類比演繹推理多邊形面積體積多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)正方形面積公式的推導(dǎo)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)三角形面積公式的推導(dǎo)梯形面積公式的推導(dǎo)圓面積公式的推導(dǎo)正方體體積公式的推導(dǎo)這里需要強(qiáng)調(diào)一點，現(xiàn)行教材把運(yùn)算律安排在四年級，有點晚了;運(yùn)算律應(yīng)當(dāng)從二年級開始就逐步引入，這對于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力有舉足輕重的作用。

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