盧萍 邵光華

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)必須回歸到學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)上，尤其是數(shù)學(xué)解題教學(xué)，更應(yīng)該注重學(xué)生解題思維活動(dòng)的展示與引導(dǎo)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)“為思維而教”。通過《圓和圓的位置關(guān)系》習(xí)題課中一道題目的教學(xué)改進(jìn)，得到關(guān)于面向?qū)W生思維活動(dòng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)的啟示：由教師解釋轉(zhuǎn)向?qū)W生自我解釋，由套用解題模式轉(zhuǎn)向訓(xùn)練思維的開放性，由方法積累轉(zhuǎn)向活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累。

關(guān)鍵詞：思維活動(dòng)數(shù)學(xué)解題教學(xué)學(xué)生主體

一、問題提出

一節(jié)高二的《圓和圓的位置關(guān)系》習(xí)題課上，授課教師在40分鐘內(nèi)以講授為主分析了5道題目。雖然所選題目經(jīng)典，但是因?yàn)檎n堂教學(xué)內(nèi)容多、任務(wù)重，教師希望時(shí)間都花在“刀刃”上，所以遇到一些煩瑣的運(yùn)算，都將過程一帶而過。比如，處理以下題目時(shí)，教師簡單分析題目后，給出了兩種解題思路。

已知圓C：x2+y2-6x-6y+2=0，A、B為直線l：y=-x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB=4，圓C上存在點(diǎn)P，使PA2+PB2=10，則線段AB中點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍是。

圓C的方程即（x-3）2+（y-3）2=16，因此，圓心C（3，3），半徑r=4。作出圖1，由AB=4，PA2+PB2=10 ，M為AB中點(diǎn)，不難想到平行四邊形的對角線性質(zhì)（也是三角形的中線性質(zhì)）：4PM2+AB2=2PA2+2PB2，得PM2=1，即PM=1。

思路1：利用三角形的三邊關(guān)系可得CP-PM≤CM≤CP+PM。設(shè)M（a，-a），則3≤（a-3）2+（-a-3）2≤5，解得-142≤a≤142。

思路2：因?yàn)镃O⊥l于O且CO=32，考慮最大值CM=5，此時(shí)OM=CM2-CO2=7。作MG⊥x軸于G，因?yàn)椤螹OG=45°，所以O(shè)G=22OM=142。結(jié)合對稱性，有-142≤a≤142。

課后，我們對學(xué)生做了訪談。大部分學(xué)生都認(rèn)為，課堂進(jìn)度太快。針對上述題目的處理，有學(xué)生說，平行四邊形的對角線性質(zhì)一時(shí)想不起來了;有學(xué)生說，思路2完全聽懵了;有學(xué)生說，聽老師講時(shí)似乎懂了，可是自己做題時(shí)完全想不到……

顯然，以教師講授為主的追求課堂容量的解題教學(xué)，并沒有達(dá)到理想的效果， 迫切需要轉(zhuǎn)型。本文試做初步的思考和探索。

二、學(xué)理思考

學(xué)習(xí)的本質(zhì)包括內(nèi)容、動(dòng)機(jī)和互動(dòng)三個(gè)維度。以教師講授為主的教學(xué)過度重視了內(nèi)容輸出，而忽視了學(xué)生的主觀能動(dòng)性和教學(xué)的互動(dòng)作用。教學(xué)變革（轉(zhuǎn)型）需要堅(jiān)持以學(xué)生為中心，確保學(xué)生的主體性和社會(huì)化，激發(fā)學(xué)生從被動(dòng)到主動(dòng)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從淺層到深層的學(xué)習(xí)進(jìn)階。為此，要提供學(xué)生內(nèi)化和外化的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，內(nèi)化是給予更多的思考，外化是給予更多的表達(dá)。

學(xué)科思維就是學(xué)科專家發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）和應(yīng)用學(xué)科知識(shí)的思維方式。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該通過知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”，讓學(xué)生經(jīng)歷像數(shù)學(xué)家一樣的思考過程。其實(shí)，早在20世紀(jì)中期，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾就指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)?！睌?shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷并暴露數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的發(fā)生、發(fā)展過程，這樣，學(xué)生才能真正感悟數(shù)學(xué)思想方法，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。誠如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出的：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)?！薄皵?shù)學(xué)教育（要）提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界?！薄皩W(xué)業(yè)水平考試與高考命題，應(yīng)重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)?！彼?，數(shù)學(xué)教學(xué)必須回歸（轉(zhuǎn)型）到學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)上，尤其是數(shù)學(xué)解題教學(xué)，更應(yīng)該注重學(xué)生解題思維活動(dòng)的展示與引導(dǎo)。

面向?qū)W生思維活動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的開展，還要關(guān)注數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的深入，以更好地訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這樣的思維活動(dòng)不是對知識(shí)的簡單識(shí)記、模仿，而是在理解的基礎(chǔ)上對問題的分析、綜合、評價(jià)。

三、實(shí)踐探索

基于上述學(xué)理分析，我們對前述解題教學(xué)內(nèi)容（題目）做了新的處理，嘗試通過數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的開展和深入引領(lǐng)學(xué)生思維的進(jìn)階。

上課時(shí)先呈現(xiàn)題目，然后請學(xué)生自行思考并嘗試解決。不到5分鐘的時(shí)間，學(xué)生草稿本上涌現(xiàn)出的解題思路令人欣喜。10分鐘后，邀請采用不同解題思路的四位學(xué)生分享自己的想法。

（一）第一種思路的展示與引導(dǎo)

師×××，你是怎么考慮這個(gè)問題的？

生我先看到題目的目標(biāo)是求中點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍，于是設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo);再看到條件PA2+PB2=10，想找到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，于是也設(shè)出點(diǎn)P。

師所以你采用了設(shè)點(diǎn)參的方法，分別設(shè)出了M（a，-a）和P（x，y）。

生對，設(shè)出中點(diǎn)M后，就可以用點(diǎn)M的坐標(biāo)來表示點(diǎn)A和B：A（a-2，-a+2），B（a+2，-a-2）。這樣的話，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式就可以得到PA2=（x-a+2）2+（y+a-2）2，PB2=（x-a-2）2+（y+a+2）2。

師很好！于是，就可以將式子代入條件平方和為定值中進(jìn)行化簡，化簡得到了什么？

生是的，根據(jù)PA2+PB2=10，代入化簡可以得到x2-2ax+y2+2ay=1-2a2?？粗駡A的一般方程，于是標(biāo)準(zhǔn)化，就得到（x-a）2+（y+a）2=1。

師非常好！接下去怎么辦？

生可以發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M（a，-a）為圓心、1為半徑的圓。同時(shí)，根據(jù)已知條件，點(diǎn)P在已知圓C上。所以，問題可轉(zhuǎn)化為定圓C和動(dòng)圓M有交點(diǎn)。于是，利用圓心距R-r≤MC≤R+r求解。即9≤（3-a）2+（3+a）2≤25，得-142≤a≤142。

師很漂亮！成功地把問題轉(zhuǎn)化為兩圓位置關(guān)系的判斷，從而建立不等式求參數(shù)范圍。梳理一下這位同學(xué)分析問題的過程，我們可以看到，第一個(gè)著眼點(diǎn)在于要求的目標(biāo)是什么——點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍。于是選擇設(shè)點(diǎn)參的方法，利用點(diǎn)在已知直線l上，只引入一個(gè)參數(shù)a。由此結(jié)合中點(diǎn)關(guān)系，可以用a表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。第二個(gè)著眼點(diǎn)在于題目條件的等價(jià)轉(zhuǎn)換，將幾何條件長度關(guān)系“翻譯”成代數(shù)條件坐標(biāo)關(guān)系，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，從而順利將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓位置關(guān)系的判斷。這里，值得一提的是，作圖可以發(fā)現(xiàn)直線l與圓C相離，則點(diǎn)M在圓C外，所以MC>R>R-r，所以只需利用MC≤R+r求解即可。

（二）第二種思路的展示與引導(dǎo)

師同樣是判斷動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，×××用了不同的方法，下面請他分享他的想法。

生假設(shè)A（-2，0）、B（2，0），并設(shè)P（x，y），也是直接將已知的長度關(guān)系“翻譯”為坐標(biāo)關(guān)系，即利用兩點(diǎn)間距離公式得到（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=10，化簡得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓x2+y2=1。所以，點(diǎn)P既在已知圓C上，又在所求得的這個(gè)圓上。

師好的。大家有沒有注意到，他重新建立了平面直角坐標(biāo)系，從而得到了非常簡潔的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？那么，根據(jù)他目前的分析，問題是否已經(jīng)順利地轉(zhuǎn)化為圓C和所求得的這個(gè)圓有交點(diǎn)了呢？

（有些學(xué)生覺得是，有些學(xué)生覺得不是，有些學(xué)生保持沉默。）

生老師，這兩個(gè)圓的方程不是在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中求解得到的，不能用兩圓的位置關(guān)系判斷。

師這位同學(xué)說得很好！那么，要繼續(xù)求解這個(gè)問題，該如何轉(zhuǎn)化呢？請×××繼續(xù)為大家分享。

生我是這么看待這個(gè)問題的：在建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，我們總是選擇恰當(dāng)?shù)慕ㄏ捣绞?坐標(biāo)系只是參照系，主要作用是確定相對位置，于是，幾何圖形在不同的坐標(biāo)系中相對位置不同，相應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式不同，但形狀還是相同的。

師所以，你認(rèn)為，在新建坐標(biāo)系中化簡判斷出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，那么，在跟已知圓相同的坐標(biāo)系中化簡判斷出的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡也是圓，對嗎？

生是的，圓的大小是不會(huì)變的，即半徑為1不會(huì)變，但是圓心位置會(huì)變。

師那圓心的位置如何變化呢？

生在新建立的坐標(biāo)系中，線段AB的中點(diǎn)M就是原點(diǎn)O，所以圓O：x2+y2=1也就是以M為圓心、1為半徑的圓。又根據(jù)已知條件，A、B為直線l：y=-x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)圓M的圓心M在直線l上運(yùn)動(dòng)。

師非常棒！對平面直角坐標(biāo)系的作用理解得非常到位，對圓的位置和大小分析得也非常透徹！那么，接下去如何求解呢？

生這樣一來，就可以在已知圓C的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圓心M的坐標(biāo)為（a，-a），得動(dòng)圓M的方程為（x-a）2+（x+a）2=1。于是，點(diǎn)P既在已知圓C上，又在動(dòng)圓M上，即兩圓有交點(diǎn)，利用圓心距計(jì)算即可。

師×××對知識(shí)的理解、問題的轉(zhuǎn)化、方法的掌握都非常好！同學(xué)們千萬不要忽略對數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，因?yàn)閷χR(shí)的理解是能夠成功地轉(zhuǎn)化問題直到認(rèn)識(shí)它的本質(zhì)進(jìn)而順利求解的根本。

（三）第三種思路的展示與引導(dǎo)

師同樣是關(guān)注到已知條件PA2+PB2=10，×××并沒有通過建立坐標(biāo)系來判斷動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。那么，她是如何做的呢？請×××為大家分享。

生我看到點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，那么在△PAB中，PM是AB邊上的中線，而AB=4，聯(lián)想到向量的運(yùn)算AB=PB-PA以及2PM=PB+PA。

師你能根據(jù)三角形及中點(diǎn)聯(lián)想到向量工具，給你“點(diǎn)贊”！

生我看到PA2+PB2=10，就想把向量和、差的式子兩邊平方，得到了AB2=（PB-PA）2=PB2+PA2-2PB·PA16=10-2PB·PA，4PM2=PB2+PA2+2PB·PAPM2=1，即PM=1。

師漂亮！根據(jù)邊長平方和的式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造向量和、差式子的平方，這樣的解題經(jīng)驗(yàn)分析很寶貴！于是，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生動(dòng)點(diǎn)P到動(dòng)點(diǎn)M的距離為定值1，同樣確定了點(diǎn)P既在已知圓C上，又在半徑為1的動(dòng)圓M上。接下去的計(jì)算方法和前面兩位同學(xué)一樣。

師感謝分享！她對向量運(yùn)算的理解很到位，對向量解題經(jīng)驗(yàn)的積累很豐富，這才出現(xiàn)了同樣的問題，用不同知識(shí)理解、不同方法解決，得到同樣的效果。其實(shí)，如果大家記得平行四邊形的對角線性質(zhì)，即對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的2倍，則可以更快地得到PM=1。當(dāng)然，從這里可以看出，平行四邊形的對角線性質(zhì)可以用向量方法推導(dǎo)出來。

（四）第四種思路的展示與引導(dǎo)

師剛才這位同學(xué)看到了向量的三角形法則，那么，對于這個(gè)三角形還能觀察到什么？來聽聽×××的想法。

生看到△PAB以及中線PM，我覺得可以運(yùn)用解三角形的知識(shí)和方法。當(dāng)三角形中多了一條輔助線（中線、高線、角平分線等）時(shí)，可以多次解三角形。

師好的，先不考慮點(diǎn)P和點(diǎn)M是動(dòng)點(diǎn)，就只關(guān)注△PAB及中線PM，然后呢？

生因?yàn)镻A2+PB2=10即三角形兩邊的平方和為定值，我聯(lián)想到的是余弦定理。又因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，所以AM=BM=2。于是利用∠AMP與∠BMP互為補(bǔ)角，解兩次三角形。即：在△AMP中，cos∠AMP=PM2+AM2-PA22PM·AM;在△BMP中，cos∠BMP=PM2+BM2-PB22PM·BM，因?yàn)閏os∠AMP=-cos∠BMP，所以2PM2+8-（PA2+PB2）4PM=0，所以PM=1。

師非常好！利用解三角形也成功地得到了PM=1。那么，接下去也是轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系嗎？

生差不多吧，我運(yùn)用的是三角形兩邊之和大于第三邊，就是當(dāng)點(diǎn)P在已知圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在△CMP中，有CM≤CP+PM=5。設(shè)M（a，-a），則有（3-a）2+（3+a）2≤5。

師感謝×××！非常好地運(yùn)用平面幾何知識(shí)輕松求解了這道解析幾何題。“解析幾何，幾何先行”，尤其在圓的知識(shí)模塊中，充分利用幾何性質(zhì)可以省去很多代數(shù)運(yùn)算。同樣地，從這里可以看出，平行四邊形的對角線性質(zhì)可以用解三角形的方法推導(dǎo)出來。而且，這里因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C外，所以也不需要用到三角形兩邊之差小于第三邊，即MC≥CP-PM=3。

（五）回顧總結(jié)

師問題是數(shù)學(xué)的心臟，解決問題是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)的本質(zhì)，而分析問題是解決問題的前提。以上四位同學(xué)看到PA2+PB2=10后，在腦海里搜索知識(shí)或解題經(jīng)驗(yàn)所建立的聯(lián)系是不一樣的：既可以通過設(shè)點(diǎn)或“再建系”求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，也可以通過向量運(yùn)算或余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化。工具和方法不同，但問題的本質(zhì)是相同的。從不同的角度分析問題，會(huì)有不同的觀點(diǎn)和不同的解決措施，有些煩瑣一些，有些簡便一些。我們平時(shí)要注重分析問題經(jīng)驗(yàn)的積累，不能簡單地套用解題模式，而要多運(yùn)用反問、追問和釋疑，提煉出最優(yōu)的方法。

四、教學(xué)啟示

上述面向?qū)W生思維活動(dòng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，通過學(xué)生思維活動(dòng)的展示與交流以及教師的引導(dǎo)，充分暴露學(xué)生思考的視角和路徑——從哪兒想、怎么想，在提升學(xué)生思考的主動(dòng)性的基礎(chǔ)上，有效地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)了“為思維而教”。在這樣的課堂上，面對不同學(xué)生的思維活動(dòng)，有許多不確定的因素，教師必須有隨機(jī)應(yīng)變的教學(xué)機(jī)智和促使學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考的教學(xué)智慧，在參與者和引導(dǎo)者兩種角色間靈活轉(zhuǎn)換。

（一）由教師解釋轉(zhuǎn)向?qū)W生自我解釋

學(xué)習(xí)的本質(zhì)不是知識(shí)符號(hào)的表層認(rèn)識(shí)，而是知識(shí)邏輯形式和意義領(lǐng)域的內(nèi)在建構(gòu)。學(xué)生需要通過自己的思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)這樣的建構(gòu)，進(jìn)而提升思維品質(zhì)，追蹤數(shù)學(xué)本原。已有研究表明，自我解釋是學(xué)生用來幫助自己理解并以問題或判斷等各種形式呈現(xiàn)外部信息的加工過程，是一種由自我產(chǎn)生并指向自我建構(gòu)的心理活動(dòng)。自我解釋的訓(xùn)練可以幫助學(xué)生減少對無關(guān)刺激的注意分配，增強(qiáng)對目標(biāo)任務(wù)的選擇性注意能力。

數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師“一言堂”的分析與解釋，不能激發(fā)學(xué)生自主的思維活動(dòng)，很容易造成學(xué)生對問題的認(rèn)識(shí)模糊與淺顯，無法觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，更無法實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展和知識(shí)的構(gòu)建。而通過教學(xué)互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生對問題的自我分析與解釋，可以挖掘?qū)W生隱藏著的思維，幫助教師及時(shí)準(zhǔn)確地把握學(xué)情，問學(xué)生所想，教學(xué)生所需，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展（特別是反思能力的提升）和知識(shí)的構(gòu)建。

（二）由套用解題模式轉(zhuǎn)向訓(xùn)練思維的開放性

數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，很多教師習(xí)慣于讓學(xué)生記住并套用各種題型的解題模式。這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維僵化，在遇到變式問題時(shí)束手無策。因此，教師應(yīng)該有意打破僵化的套用，訓(xùn)練學(xué)生思維的開放性：創(chuàng)設(shè)更開放的問題情境，促進(jìn)預(yù)設(shè)外的生成，讓學(xué)生的思維在自己的軌道上發(fā)展、完善;同時(shí)，做好“幕后軍師”，指導(dǎo)學(xué)生克服困難，將個(gè)體化、碎片化的思維搭建成數(shù)學(xué)化、結(jié)構(gòu)化知識(shí)和方法的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

當(dāng)然，訓(xùn)練學(xué)生思維的開放性，要注意引導(dǎo)學(xué)生從個(gè)體思維的不定性逐步走向數(shù)學(xué)思維相對的確定性。這種確定性指向的是數(shù)學(xué)模式思維，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維形式、數(shù)學(xué)思維方法及特定數(shù)形關(guān)系相互統(tǒng)一、有機(jī)組合的認(rèn)知圖式的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)按一定搭配和序列組合而成的合理網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，決定著數(shù)學(xué)模式思維的“網(wǎng)幅”和發(fā)展水平;數(shù)學(xué)思維形式不僅指概念、判斷、表象、想象、假說等思維形式，也指運(yùn)用這些形式開展思維活動(dòng)所形成的抽象（邏輯）思維、具體（形象）思維、靈感（直覺）思維的過程思維形式;數(shù)學(xué)思維方法主要指分析、綜合、比較、類比、歸納、演繹、具體化和一般化等;特定數(shù)形關(guān)系指典型、特殊、凸顯的數(shù)和形的關(guān)系或關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)模式思維的基本類型包括“雙基”型模式、“思想”型模式和“實(shí)體”型模式，具有定式、選擇、同化和誘發(fā)等功能，直接影響解題的效果，包括解題速度、思路、途徑及過程的優(yōu)化等。比如，“少熟同思維模式”（LessFamiliarSame Thinking Model，簡稱LFSTM）是一種為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生提供方向的思維模式。教師可將LFSTM用于解題教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生等價(jià)輔助題目鏈，為解題提供方向。

（三）由方法積累轉(zhuǎn)向活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累

發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要以數(shù)學(xué)方法的形成作為關(guān)鍵，但歸根結(jié)底不是數(shù)學(xué)方法的簡單積累，而更多的是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得。

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要指學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中獲得的感性知識(shí)、情緒體驗(yàn)、思維方法和應(yīng)用意識(shí)的統(tǒng)一，其內(nèi)涵是感悟了歸納推理和演繹推理過程后積淀形成的數(shù)學(xué)思維模式。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中循序漸進(jìn)地獲得、發(fā)展、完善的，沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，就談不上經(jīng)驗(yàn)的積累;只體驗(yàn)一兩次數(shù)學(xué)活動(dòng)，也做不到一蹴而就。因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的核心教育價(jià)值在于其過程性：不能靠教師的傳授獲得，而只能靠學(xué)生的親身經(jīng)歷、體驗(yàn)積累。此外，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，自主構(gòu)建、反思內(nèi)化而形成的，可以變成固定的思維模式，自然地指導(dǎo)、控制學(xué)生未來的學(xué)習(xí)。因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有強(qiáng)烈的個(gè)人色彩和隱蔽特性，需要通過社會(huì)化的交流與反思，不斷明晰化、理性化、結(jié)構(gòu)化、策略化。

所以，數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生自主嘗試，允許學(xué)生的個(gè)性化思考。即使有困難，在自主嘗試中也能充分感受到困難之所在，從而在后續(xù)的教師啟發(fā)和師生交流中體悟化解困難的策略。而解法雖有巧笨之別，但都有其存在的價(jià)值：通過嘗試不同的解法，最終得到優(yōu)化的方案，學(xué)生的思維會(huì)被充分激活。此外，學(xué)生雖然經(jīng)歷、體驗(yàn)了解題過程，但未必有主動(dòng)積累解題經(jīng)驗(yàn)的意識(shí)。這時(shí)，教師需要適度引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生提煉、總結(jié)，從而形成相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)，并在新的問題解決中加以鞏固、遷移。如此，才有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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