王世芳，吳 濤，夏 坤

(1.湖北第二師范學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院， 武漢 430205;2.光學(xué)信息與模式識(shí)別湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 武漢工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 武漢 430205)

流體在多孔介質(zhì)球向滲流問題廣泛存在于諸如油氣藏工程、地下水資源的合理利用、地?zé)岬拈_發(fā)與利用、生物體組織與器官等實(shí)際應(yīng)用工程領(lǐng)域，越來越多地引起了廣大科研工作者的關(guān)注.滲透率是表征流體在多孔介質(zhì)中輸運(yùn)特性的重要參數(shù)之一，該參數(shù)對(duì)于油田、地下水資源等工程應(yīng)用領(lǐng)域有重大的研究意義.目前有諸多文獻(xiàn)利用分形理論的方法研究了流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)特性，取得了一定的研究進(jìn)展[1-6].員美娟[7]基于毛細(xì)管模型，研究了牛頓流體在分形多孔介質(zhì)中的平面徑向流和平面平行流，分別得出了平面徑向流和平面平行流的流量、流速及滲透率的表達(dá)式.張斌等人[8]基于平行毛細(xì)管模型研究了冪律流體在多孔介質(zhì)中平面平行流的流動(dòng)特性，提出了冪律流體平面平行流的滲透率模型.徐鵬等人[9]利用蒙特卡羅數(shù)值模擬的方法研究了牛頓流體在多孔介質(zhì)中流向井中心的徑向流滲透率模型，并通過與滲透率解析模型比較從而驗(yàn)證數(shù)值模型的正確性.截止目前，雖然人們對(duì)流體在多孔介質(zhì)輸運(yùn)特性的研究取得了較大進(jìn)展，但是上述文獻(xiàn)主要研究的是各種流體在多孔介質(zhì)中的平面平行流和平面徑向流時(shí)的流動(dòng)特性，對(duì)于流體在多孔介質(zhì)中球向滲流的研究卻不多.苗同軍等人[10]利用分形理論研究了考慮毛細(xì)壓強(qiáng)效應(yīng)影響后多孔介質(zhì)球向滲流的相對(duì)滲透率，得到相對(duì)滲透率是飽和度、濕相與非濕相分形維數(shù)、多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)和毛細(xì)壓強(qiáng)的函數(shù).然而，苗同軍的模型認(rèn)為多孔介質(zhì)是由一束平行的圓形毛細(xì)管組成，沒有考慮毛細(xì)管的截面形狀.在自然界中大部分多孔介質(zhì)孔隙形狀多樣化，存在著圓形毛細(xì)管、矩形毛細(xì)管、三角形毛細(xì)管甚至非規(guī)則形狀的毛細(xì)管.本文主要工作是基于分形理論，提出牛頓流體在由任意形狀毛細(xì)管組成的多孔介質(zhì)中球向滲流的滲透率分形模型.

1 多孔介質(zhì)球向滲流的滲透率的分形模型的提出

三維多孔介質(zhì)的球向滲流廣泛存在于油氣藏儲(chǔ)集層，當(dāng)油氣藏儲(chǔ)集層只打開很小一部分層段時(shí)，流動(dòng)區(qū)域存在沿球面徑向流動(dòng)情況，即流體從外向井筒中心流動(dòng)，如圖1所示.其中r為儲(chǔ)層中的某點(diǎn)到井中心的徑向距離，r0為井筒半徑.

圖1 多孔介質(zhì)的球向滲流示意圖[10]Fig.1 The sketch of spherical seepage in porous media[10]

假設(shè)多孔介質(zhì)孔隙分布服從分形分布特征，孔隙的累積數(shù)與其大小的分布滿足以下的標(biāo)度關(guān)系[1-2]：

(1)

其中,λ為孔隙半徑，λmax為最大孔隙半徑，Df為孔隙分形維數(shù)；一般來說，在二維中0

對(duì)(1)式兩邊微分，得到λ到λ+dλ區(qū)間的孔隙數(shù)目：

(2)

當(dāng)-dN>0時(shí)，則表明孔隙毛細(xì)管數(shù)目隨孔隙尺寸的增大而減少.

多孔介質(zhì)孔隙總面積為：

(3)

根據(jù)孔隙率的定義，一個(gè)代表性單元面積為：

(4)

由哈根-泊松方程可以得到牛頓流體通過水力直徑為Dh、橫截面為任意形狀單根毛細(xì)管的體積流量為[11]：

(5)

其中,c1是形狀因子.對(duì)于圓形毛細(xì)管c1=1；正方形截面的毛細(xì)管c1=1.43；三角形截面的毛細(xì)管c1=1.98.Dh為水力直徑，其大小由下式給出：

(6)

式中,A，C為流動(dòng)橫截面積和濕周長(zhǎng).對(duì)于橫截面積為非圓形毛細(xì)管，假設(shè)其等效毛細(xì)管直徑λ與水力直徑Dh成正比，于是將(5)式重新改寫，可則得到任意形狀毛細(xì)管的廣義Hagen-Poiseuille方程[11]：

(7)

式中，α為毛細(xì)管形狀因子，根據(jù)方程(7)，可以確定其值大?。簣A形橫截面的毛細(xì)管α=1；正方形橫截面的毛細(xì)管α=1.09；三角形橫截面的毛細(xì)管α=1.19.

由于流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的流線是彎彎曲曲的，所以實(shí)際毛細(xì)管長(zhǎng)度rt大于或等于其直線距離長(zhǎng)度r，它們之間滿足如下關(guān)系[1-3]：

rt=rDTλ1-DT.

(8)

DT是迂曲度分形維數(shù)，一般來說其值大于1.大量文獻(xiàn)表明多孔介質(zhì)中毛細(xì)管大小分布滿足分形標(biāo)度律，因此，通過橫截面面積為Ar=4πr2的球面多孔介質(zhì)的總流量可以通過下面積分式得到[10]：

(9)

將方程(7)和(8)代入(9)式中可得：

(10)

(11)

根據(jù)流體球面徑向流動(dòng)的達(dá)西定律：

(12)

聯(lián)立(11)式和(12)式，可以得到球面徑向滲透率的表達(dá)式：

(13)

(13)式表明牛頓流體在各向同性多孔介質(zhì)球向流動(dòng)時(shí)，其滲透率不僅與多孔介質(zhì)微結(jié)構(gòu)參數(shù)(A0，Df，λmax，DT，α)有關(guān)，還與徑向距離r有關(guān)，徑向距離越大，滲透率越小.這是因?yàn)殡S著徑向距離增大，毛細(xì)管占多孔介質(zhì)橫截面的比例越少，導(dǎo)致流動(dòng)阻力越來越大，最終導(dǎo)致滲透率越來越小.滲透率解析模型(13)式不含任何經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，每個(gè)參數(shù)都有具體的物理意義，能夠揭示影響牛頓流體球向滲透率的物理機(jī)理，物理意義清晰明確.

當(dāng)r→r0時(shí)，(13)式可以改寫成：

(14)

(14)式表示在井筒壁處多孔介質(zhì)的球向滲透率.為了得到無量綱化球向滲透率表達(dá)式，將(13)式與(14)式相除，得到無量綱滲透率：

(15)

2 結(jié)果分析與討論

通過對(duì)式(13)的分析，可以發(fā)現(xiàn)球向滲透率是關(guān)于α，Df，DT,λmax，A0以及徑向距離r的函數(shù)，其中A0為代表性單元橫截面積的大小，與所選取的多孔介質(zhì)樣品的大小無關(guān)，其大小由(4)給出.而孔隙面積分形維數(shù)可以由下式確定[1-4]：

(16)

最大孔隙直徑為[12]：

(17)

為了驗(yàn)證本文所提出的球向滲透率模型的正確性，將無量綱滲透率模型(15)式與文獻(xiàn)中已有模型作比較.Chang和Yortsos[13]給出了徑向流動(dòng)無量綱滲流模型：

(18)

其中,Df代表分形維數(shù)，θ為分形網(wǎng)絡(luò)的譜指數(shù)，反映了多孔介質(zhì)的反常傳導(dǎo)性，其值越大，網(wǎng)絡(luò)的連通性越差，θ的大小一般可以通過蒙特卡洛模擬等數(shù)值模擬方法來確定；DE為歐氏空間維數(shù)，這里DE=3.

根據(jù)方程(13)作出了球向滲透率隨徑向距離r的變化趨勢(shì)，如圖2(a)和2(b)所示.這里需要說明一點(diǎn)的是，圖2(a)與圖2(b)分別采用正方形橫截面和三角形橫截面毛細(xì)管.從圖2(a)和圖2(b)可以看出，球向滲透率隨徑向距離的增加而逐漸減小，這與物理實(shí)際情況一致.另外，也可以發(fā)現(xiàn)：球向滲透率隨分形維數(shù)的增加而增加，即在同一徑向半徑r處，分形維數(shù)越大球向滲透率越大，這也是與實(shí)際情況相吻合.因?yàn)榉中尉S數(shù)越大，說明毛細(xì)管所占的份額越大，越有利于流體流動(dòng)，因此滲透率也就越大.

圖2 滲透率隨徑向距離的變化趨勢(shì)Fig.2 The radial permeability for spherical seepage in porous media versus the radial distance

圖3顯示了在井筒壁處半徑r0=0.1 m，距離井中心r=5 m處，牛頓流體在由不同橫截面毛細(xì)管組成的多孔介質(zhì)中滲流時(shí)，球向滲透率隨孔隙率的變化.從該圖中可以看出，球向滲透率隨孔隙率的增加而增加.從該圖可以看出，在相同的孔隙率下，由圓形毛細(xì)管構(gòu)成的多孔介質(zhì)球向滲透率最小，三角形毛細(xì)管構(gòu)成的多孔介質(zhì)球向滲透率最大，這個(gè)結(jié)論也可從(12)式得出.

圖3 球向有效滲透率隨孔隙率的變化Fig.3 The radial permeability for spherical seepage in porous media versus the porosity

圖4表明了球向滲透率與迂曲度分形維數(shù)之間的變化關(guān)系.從圖4中可以看出迂曲度分形維數(shù)越大，球向滲透率越小.這是因?yàn)橛厍确中尉S數(shù)越大，說明流體流動(dòng)路徑越彎曲，流體所受的流動(dòng)阻力越大，導(dǎo)致滲透率越小.

為了驗(yàn)證本模型的正確性，圖5顯示了無量綱球向滲透率模型(15)與已有無量綱球徑向滲透率式(18)隨徑向距離變化趨勢(shì).方程(15)中迂曲度分形維數(shù)DT=1.2，而Chang和Yortsos[13]給出了徑向流動(dòng)無量綱滲流模型中分形維數(shù)Df由方程(16)確定，θ譜指數(shù)設(shè)為1.784[14].從圖5中可以看出：無量綱球向滲透率隨徑向距離的增加先急劇減小然后緩慢減小最后逐漸趨近于0；本文提出的無量綱滲透率模型與文獻(xiàn)Chang和Yortsos的理論模型吻合的很好，驗(yàn)證了多孔介質(zhì)球向滲透率模型的正確性.

圖4 徑向滲透率在不同迂曲度分形維數(shù)下隨孔隙率的變化趨勢(shì)(參數(shù)如下：r0=0.1 m，r=5 m，α=1.09)Fig.4 The radial permeability for spherical seepage in porous media versus the porosity at different tortuosity fractal dimensions at r0=0.1 m,r=5 m and α=1.09.

圖5 無量綱滲透率模型與Chang和Yortsos模型的比較 (Φ=0.18)Fig.5 Comparison of the present radial permeability model for spherical seepage in porous media and Chang and Yortsos’s model at Φ=0.18

3 結(jié)論

本文根據(jù)分形理論和達(dá)西定律，推導(dǎo)了牛頓流體在多孔介質(zhì)球面徑向流動(dòng)時(shí)球向滲透率分形模型.研究結(jié)果表明，徑向滲透率是分形維數(shù)、 孔隙度、 毛細(xì)管最小及最大直徑、毛細(xì)管形狀因子的函數(shù)，該模型不含經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，并且每個(gè)參數(shù)都有明確的物理意義，揭示了影響球向滲透率的物理機(jī)制.通過分析表明球向滲透率隨孔隙面積分形維數(shù)和孔隙度的增加而增加；隨迂曲度分形維數(shù)的增加而減??；隨徑向距離r增加而減少的.這也與實(shí)際情況相符合.為了驗(yàn)證該模型的正確性，比較現(xiàn)有模型與已有文獻(xiàn)給出的模型，發(fā)現(xiàn)兩者吻合很好，驗(yàn)證了本文球向滲透率分形模型的正確性.