廣東省珠海市第三中學(xué)

題目1(高中數(shù)學(xué)選修4-4《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》(人教A版)第34頁習(xí)題2)如圖1,已知橢圓上任意一點(diǎn)M(除短軸端點(diǎn)外)與短軸兩端點(diǎn)B1,B2的連線分別與x軸交于P,Q 兩點(diǎn),O為橢圓的中心,求證:|OP|·|OQ|為定值.

圖1

解法一(利用參數(shù)方程求證)設(shè)M(a cos α,b sin α)為橢圓上一點(diǎn)(除短軸端點(diǎn)外),由kB1M= kMP得:同理,由kB2M= kMQk可 得所 以,

解法二(直接用普通方程代換)設(shè)M(x0,y0)為橢圓上除短軸端點(diǎn)外的一點(diǎn),由kB1M= kMP,得:從而同理可得:而a2b2.所以有:

問題解決了,但此類問題應(yīng)該是一般性的結(jié)論,是否還存在類似的結(jié)論呢?可以引導(dǎo)學(xué)生思考以下幾個(gè)問題.

思考1如果將條件“短軸的兩端點(diǎn)”改為“長軸的兩端點(diǎn)”(其他條件不變),那么|OP|·|OQ|是不是也是定值呢？不難推出:|OP|·|OQ|=b2也是一個(gè)定值.

思考2如果將“短軸的兩端點(diǎn)”改為“橢圓上關(guān)于長軸對(duì)稱的兩點(diǎn)即垂直于x軸的線段的兩個(gè)端點(diǎn)”,這個(gè)乘積還是定值嗎?

題目2設(shè)A,B是(異于短軸的端點(diǎn))橢圓1 (a ＞b ＞0)上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),MA,MB分別與x軸交于P,Q 兩點(diǎn),求證|OP|·|OQ|=a2.

證明設(shè)A(x1,y1),B(x1,-y1),M(x0,y0),則直線MA的方程為:令y = 0 則有同理可得:于是有:

練習(xí)設(shè)B1,B2分別是橢圓的上下兩個(gè)頂點(diǎn),P是橢圓上異于B1,B2的動(dòng)點(diǎn),直線PB1,PB2分別交x軸于M,N兩點(diǎn),則|OM|·|ON|=____(答案:25)

思考3如果將“短軸的兩端點(diǎn)”改為“橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱的兩點(diǎn)即垂直于y軸的線段的兩個(gè)端點(diǎn)”,這個(gè)乘積還是定值嗎?可以推出不是定值.

思考4如果將條件“短軸的兩端點(diǎn)”改為“一個(gè)是長軸的端點(diǎn),一個(gè)是短軸的端點(diǎn)”P,Q分別是兩直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn),那么|OP|·|OQ|是不是也是定值呢?

容易證明:|OP|·|OQ|不是定值.但是由一道高考題可以聯(lián)想到其他變式結(jié)論.

圖2

題目3(2016年高考北京理科卷):如圖2,已知橢圓C1 (a ＞b ＞0)的離心率為A(a,0),B(0,b),O(0,0),ΔOAB的面積為1.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:|AN|·|BM|為定值.

方法一(1)易求得橢圓方程為

(2)(常規(guī)方程法)設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x,y),則4,直線PA方程:令x= 0 得所以|BM|=直 線PB:令y= 0,得所以則

方法二(參數(shù)方程法)

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(2 cosθ,sinθ),則直線PA方程為:令x= 0 得yM=故有:直線PB;y=令y= 0,得:則有|AN|=因此

故|AN|·|AM|為定值.

變式結(jié)論(將高考題中橢圓方程改為一般方程)可設(shè)橢圓方程為為橢圓上任意一點(diǎn),則有b2x2+a2y2=a2b2.直線PA方程:令x= 0 得:直線PB方程:令y=0 得:

思考5如果將“短軸的兩端點(diǎn)”改為“兩個(gè)焦點(diǎn)”,那么|OP|·|OQ|是不是也是定值呢?

經(jīng)過推導(dǎo),可得:(非定值)

思考6如果將橢圓改為雙曲線,以上結(jié)論又如何呢?

通過這一系列的思考,不難看出:有些是有用的結(jié)論,有些則不能推出一般性的結(jié)論.但是數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)是在不斷思考、不斷探索中培養(yǎng)起來的.掌握推理形式和規(guī)則,學(xué)會(huì)提出問題,歸納、類比,學(xué)會(huì)從特殊到一般的推理,正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的充分體現(xiàn).

在中學(xué)教學(xué)中,我們總是想找到一個(gè)“通用公式”來解決所有相關(guān)問題,事實(shí)上這是做不到的.但凡事都是有規(guī)律可循的,只要我們努力去尋找,努力去發(fā)現(xiàn).在日常教學(xué)中,可以從數(shù)學(xué)教材中,從習(xí)題中引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題,去解決問題,去尋找規(guī)律性的東西,從而學(xué)會(huì)思維的發(fā)散性,并從中得到成功的樂趣.