廣東省深圳市華強職業(yè)技術(shù)學(xué)校

廣東省惠州市博羅中學(xué)(516100)易 敏

1 常見的角度最值問題

例1點A 與點B的坐標分別是(1,0),(5,0),點P是在該直角坐標系內(nèi)的一個動點.當點P 在y軸上移動時,∠APB是否有最大值？若有,求點P的坐標,并說明此時∠APB最大的理由;若沒有,也請說明理由.

圖1

如圖1,過點A作AC⊥ PB,垂足為C,設(shè)P(0,y),則OP = y,因為∠CBA = ∠OBP,∠BCA = ∠BOP,所以ΔBCA ∽ΔBOP,所以在RtΔACP中,

該題是中學(xué)常見的角度最值問題,我們可以發(fā)現(xiàn)幾何中角度的最值問題往往不是直接用角度進行描述的,通常要利用三角函數(shù)進行轉(zhuǎn)化.通過三角函數(shù)的解析式分析,求出三角函數(shù)的最值,再利用角度與三角函數(shù)的關(guān)系,從而達到求解角度最值的目的,這種方法我們稱為三角函數(shù)解析法.三角函數(shù)解析法的優(yōu)點是方向很明確,分析所求角的三角函數(shù)解析式的最值,利用三角函數(shù)的單調(diào)性,從而分析出角的最值.但其難點和關(guān)鍵就在于三角函數(shù)解析式的求解和分析,當三角函數(shù)解析式較為復(fù)雜時,就難以判斷三角函數(shù)的最值了.

另法探析既然三角函數(shù)解析式的求解和分析是一個難點,那么我們是否可以繞開求解三角函數(shù)解析式？那角度的描述還有什么途徑呢？在平面幾何中,我們還學(xué)習(xí)過相關(guān)角.只要我們找到相關(guān)角以及確定的相關(guān)關(guān)系,那么求解相關(guān)角的最值,進而就能夠分析出所求角的最值了.問題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為求解相關(guān)角了,而不用三角函數(shù)解析法又如何描述相關(guān)角的最值呢？下面我們先了解兩個結(jié)論.

結(jié)論1等腰三角形底邊長不變,底邊上的高越長,頂角越小.反之,頂角越大.

圖2

結(jié)論2不共線的三點確定一個圓.

如圖 3,設(shè)P(0,y)(y /= 0),過A,B,P三點做一個圓,圓心為O 易知圓心O 在線段AB的中垂線上,可設(shè)O(3,n),AP中點由可得點O的坐標為

圖3

在圓O中,2∠P = ∠AOB,在等腰三角形OAB中,點O是隨點P的變化而變化的,則底邊上的高當且僅當即時,h最小,頂角∠AOB最大,∠P也最大.故當P點的坐標為時,∠P最大.

利用不共線的三點確定一個圓的結(jié)論,成功將點P的運動轉(zhuǎn)化為圓心O的運動,這一轉(zhuǎn)化的前提是另外兩點A,B是定點,而角度的最值問題常常就是符合這樣條件的,這是該方法的巧妙之處.在動圓O上,動角∠P正好與動角∠AOB有相關(guān)關(guān)系2∠P=∠AOB,這是構(gòu)造三點圓最巧妙的地方.先判斷∠AOB的最值,利用2∠P=∠AOB,即可得到∠P的最值.而∠AOB在等腰三角形AOB上,這又是構(gòu)造三點圓又一巧妙之處.利用結(jié)論1,將∠AOB的最值判斷轉(zhuǎn)化為等腰三角形底邊高h的最值判斷,就成功的繞開三角函數(shù)解析式的復(fù)雜求解和分析了.而高h的求解即是圓心O的縱坐標的絕對值,這是比較容易計算和分析.總的來說,這種方法思維十分巧妙,但思路確是值得探究的,利用構(gòu)造三點圓,將已知動點轉(zhuǎn)為相關(guān)動點,將已知動角轉(zhuǎn)化為相關(guān)動角,從而更加簡化了三角函數(shù)解析法的計算和分析.當然這種方法不僅僅適用于這個題,我們再來看看點P的圓錐曲線上運動的情況.

2 圓錐曲線上的角度最值問題

例2如圖4,已知點P是橢圓上一動點,A、B分別為左、右頂點,求證點P在什么位置時,∠APB最大.

圖4

設(shè)點P(x,y),A(-a,0),B(a,0)則kP A=所以

由對稱性不妨設(shè)點P在第一象限及C點,則有kP B ＜0,故tan ∠APB=當且僅當時,等號成立,即時,tan ∠APB取最大,即∠APB最大,也就是點P在頂點C處,∠APB取得最大值,同樣點P在橢圓下頂點處時,∠APB也取得最大值.

該解法就是常用的三角函數(shù)解析法,其亮點在于將直線的斜率作為變量描述所求角的三角函數(shù),也是該解法的精辟之處.雖說比直接用點P的坐標作為變量更加簡便,但其計算量并不會因此而減少多少,利用此解法還是逃不過三角函數(shù)解析式的求解和分析.

經(jīng)計算得出該教材整套AWL覆蓋率為4.63%，介于1.4%和10%之間，即該《新視野》既不屬于通用英語也不屬于學(xué)術(shù)英語，更偏向于通用英語。由圖5知，《新視野》四冊書的AWL覆蓋率變化范圍由3.67%到5.41%，介于通用英語和學(xué)術(shù)英語文本之間。但整體在平均AWL覆蓋率4.63%上下波動。同時，圖5表明，四冊書的AWL覆蓋率變化值波動幅度顯著，《新視野》教材的AWL覆蓋率并未呈現(xiàn)出由低到高、循序漸進的理想狀態(tài)。因此，可做出相對調(diào)整，如第一冊與第三冊可調(diào)換位置，第二冊與第四冊調(diào)換位置。

不妨設(shè)點P在第一象限及C點,由A,B,P不共線可知,存在圓O′過A,B,P三點,且圓心O′在y軸負半軸上,在圓O′中,有∠APB=先求圓心O′的坐標,設(shè)P(x,y),B(a,0),中點由可得,由則y越大,越小,等腰三角形O′AB的高O′O越長,∠AO′B越小,∠APB越大,則當y=b,即點P在C點處,∠APB取最大,同樣點P在橢圓下頂點處時,∠APB也取得最大值.

圖5

該種解法同樣是構(gòu)造三點圓,分析相關(guān)點、角的最值進而得出所求角的最值,該種方法比起三角函數(shù)解析法在計算方面要簡便很多,而且這道題利用這個思路可以分析,動點P從B移動到C的過程中,圓心O′在y軸負半軸越來越遠離原點O,∠AO′B越小,則∠APB越大.所以單從思路分析來看,這種方法更容易得出結(jié)論,可以直接判斷出∠APB取最大值時,點P的位置.

3 研究結(jié)果

從例1和例2的分析求解過程,可以發(fā)現(xiàn)它們都是定線段所對動角的最值問題,這一類問題可以利用構(gòu)造圓去解決,而這種獨特方法的精髓之處是:

(1)思路:動點影響變量(長度、角度、面積等)的最值問題,抓住動點的特點,找出其相關(guān)點,分析相關(guān)點的動態(tài)對所求變量的影響;

(2)技巧:構(gòu)造不共線三點圓,從而將原動點轉(zhuǎn)化為圓心的分析.

利用這種思路和技巧,可以解決定線段所對動角的最值問題.反之,通過研究可以發(fā)掘出類似的定線段所對動角的最值問題,豐富幾何中角度最值問題.比如下面兩個變式,以圓錐曲線為載體的角度最值問題,可以通過三角函數(shù)解析法去求解,也可利用構(gòu)造圓去求解,而且還涉及到不等式,正是能夠綜合考查高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析解題能力.

變式1在O為原點的平面直角坐標系中,拋物線C:y2=8x的焦點為F,點P是該拋物線上的一個動點,問:∠OPF是否有最大值？若有,求點P的坐標;若沒有,請說明理由.

變式2在O為原點的平面直角坐標系中,點到直線l:x=4的距離和它到定點F(1,0)的距離的比是常數(shù)4,點P是直線l上的動點.

(1)求M的軌跡方程;

(2)∠OPF是否有最大值？若有,求點P的坐標; 若沒有,請說明理由.

4 研究發(fā)展與改進方向

本次研究僅是對平面幾何的角度最值問題簡單分析,并從中得到一種新的方法去解決角度最值問題,當然這種方法適用性確實有所局限,但是方法中的思想和思維方式,是解決其他動點問題應(yīng)當借鑒的.動點問題涉及不止角度最值問題,還有長度,面積等相關(guān)問題,在今后的的研究中,希望有機會能利用文中的想法和思維去解決解析幾何特別是圓錐曲線的動點問題.除了平面幾何,在立體幾何方面,同樣也有相關(guān)的動點問題,希望熱愛數(shù)學(xué)的研究者能夠利用這個思維方式去解決更多問題.同樣,除了構(gòu)造三點圓,線段中點等將原動點轉(zhuǎn)化為相關(guān)點分析的方法之外,希望能夠找到更多更有實用價值的方法,以豐富幾何動點問題的解法.