廣東省恩平市年樂夫人學(xué)校

1 原題呈現(xiàn)

題目如圖,拋物線y=ax2+bx+x與x軸的交點為A(-6,0),與y軸的交點為C(0,3),且經(jīng)過點G(-2,3).

(1)求拋物線的表達式;

(2)點P是線段OA上一動點,過點P作平行于y軸的直線與AC交于點Q,設(shè)ΔCPQ的面積為S,求S的最大值;

圖1

(3)若點B是拋物線與x軸的另一交點,點D、M在線段AB上,點N在線段AC上,∠DCB=∠CDB,CD是MN的垂直平分線,求點M的坐標(biāo).

2 題目分析

本題考查的知識主要有,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的基本性質(zhì)和綜合應(yīng)用,三角形中位線、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)等知識點.在(2)中設(shè)出P點坐標(biāo),用代數(shù)式表示出PQ的長,然后引導(dǎo)學(xué)生求ΔCPQ的面積,實際上就是求S梯形QP OC與SΔP OC的差.同時注意函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.在(3)中推算出DM=DN=12BC是解題的突破口.

3 題目解答

(1)把A、C、G三點坐標(biāo)代入拋物線解析式,可得

點評本題考查知識點較多,綜合性質(zhì)很強.在解題時,先利用待定系數(shù)法,把A、C、G三點坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式.

(2)因為C(0,3),所以,可設(shè)直線AC解析式為y=kx+3.把A點坐標(biāo)代入,可得0=-6k+3,解得所以直線AC解析式為

點評在(2)中設(shè)出P點坐標(biāo),用代數(shù)式表示出PQ的長,然后引導(dǎo)學(xué)生求ΔCPQ的面積,實際上就是求S梯形QP OC 與SΔPOC的差.再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值.

點評第(3)問由條件可求得可求得點D為AB的中點及坐標(biāo)有∠DCB = ∠CDB和CD是MN的垂直平分線,可證明DN//BC 得出DN為ΔABC的中位線,所以從而得點M的坐標(biāo).

4 變式訓(xùn)練

變式訓(xùn)練1在(2)的條件下,延長直線PQ 交拋物線于點M,線段MQ 會不會存在最大值,若存在,請把它求出來;若不存在,請說明理由.

解析設(shè)出P點坐標(biāo),表示出MQ的長.yMQ=根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),得出線段MQ的最大值45.

變式訓(xùn)練2若點A,C的坐標(biāo)改為A(-3,0),與y軸的交點為在(2)的條件下,當(dāng)ΔCPQ為等腰三角形時,求點P的坐標(biāo).

解析因為所 以∠ACO = 60°,因為PQ 平行于y軸,所以∠CQP = 120°.若ΔCPQ為等腰三角形,則PQ = CO,因為∠QPC = ∠QCP,∠QPC = ∠PCO,所以∠QCP = ∠PCO = 30°,所以PO =1,所以點P的坐標(biāo)就求出來了.

變式訓(xùn)練3在線段OA 上是否存在點P,使∠PCB為直角? 若存在,請求出來;若不存在,請說明理由.

解若∠PCB為直角,則∠PCO = ∠CBO.因為∠AOC = ∠COB = 90°,所以ΔPOC ∽= ΔCOB,所以所以所以

5 教學(xué)反思

變式訓(xùn)練指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,對概念、性質(zhì)、定理、公式以及問題從不同角度、不同情形、不同背景做出有效變化,使其條件或結(jié)論的形式發(fā)生變化而本質(zhì)特征卻不變,從而達到舉一反三、融會貫通的目的.教師要注重引導(dǎo)學(xué)生通過一題多解、一題多變、多題歸一等變式訓(xùn)練,鞏固和深化學(xué)生對所學(xué)知識的理解,增強學(xué)生思維的靈活性、變通性、選擇性和獨創(chuàng)性,幫助學(xué)生從題海中跳出來,切實提高課堂教學(xué)效果.

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,基礎(chǔ)知識和基本技能是“經(jīng)”,策略是建立在良好雙基之上的“緯”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,注意典型問題的變式訓(xùn)練,把學(xué)生的思維逐步引向深入,然后注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和解題策略的指導(dǎo),才能切實提高中考復(fù)習(xí)效率.