孫艷君

【摘要】有過程歸納教學(xué)是基于理念、追求事實(shí)，是發(fā)現(xiàn)知識的教學(xué)，是通過不斷經(jīng)歷合情合理地推測、不斷經(jīng)歷知識原初產(chǎn)生的過程、不斷經(jīng)歷多種形式對話的過程、不斷經(jīng)歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結(jié)論，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生更為自然的思維模式.本文以“三角形的內(nèi)角和”一課為例，基于有過程歸納教學(xué)，得出歸納是基于聯(lián)想的思維形式，讓學(xué)生進(jìn)行有知識根據(jù)的合乎情理的想象.歸納推理的思維過程是動(dòng)態(tài)的，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結(jié)論.歸納推理的思維基礎(chǔ)是類，通過類來促進(jìn)學(xué)生形成由個(gè)別到一般的不完全歸納思維.

【關(guān)鍵詞】有過程歸納教學(xué);歸納;思維

一、有過程歸納教學(xué)的價(jià)值分析

于偉校長認(rèn)為“有過程歸納教學(xué)是強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過不斷經(jīng)歷合情合理的推測、探究、體驗(yàn)等操作、不斷經(jīng)歷知識原初產(chǎn)生的過程、不斷經(jīng)歷多種形式對話的過程、不斷經(jīng)歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結(jié)論的教學(xué).”因此有過程歸納教學(xué)是基于理念、追求事實(shí)，是發(fā)現(xiàn)知識的教學(xué)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生更為自然的思維模式.

“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)從學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，動(dòng)手操作是這個(gè)階段學(xué)生自己能夠想到的驗(yàn)證方法，直觀且易操作，操作可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和確定研究的方向.但由于誤差的存在，這一沖突自然凸顯出演繹推理的必要性，跳出了簡單的直觀感知層面，避開了“誤差尷尬”，充滿著理性色彩和濃濃的數(shù)學(xué)味兒.因此有過程歸納教學(xué)對“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)具有重要的價(jià)值.

二、學(xué)情調(diào)研與分析

在有過程的歸納教學(xué)中，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)要了解學(xué)生在上課之前有怎樣的生活概念，有過程歸納教學(xué)就要以學(xué)生的這些零散的生活概念為根基，在此基礎(chǔ)上改造學(xué)生的生活概念、生活經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生低級的生活概念發(fā)展為高級的科學(xué)概念.

（一）從學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，確定知識的生長點(diǎn)

課前筆者通過口頭的方式，提出問題：“你們對三角形角的特點(diǎn)有哪些了解？”調(diào)查發(fā)現(xiàn)，雖然大部分學(xué)生從各種途徑知道了三角形的內(nèi)角和是180°，但僅僅是一個(gè)結(jié)論，并不知道為什么會(huì)是一個(gè)固定的數(shù).所以，推理證明的過程是“三角形內(nèi)角和”一課的重點(diǎn)，用有趣的、新穎的、富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)來引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地經(jīng)歷知識得出和形成的過程.

（二）應(yīng)緊扣學(xué)生年齡特點(diǎn)，確定新知的學(xué)習(xí)方式

摸準(zhǔn)學(xué)生好動(dòng)、好奇、傾向直觀的學(xué)習(xí)心理這根“脈”，引導(dǎo)學(xué)生采用猜一猜、拼一拼、量一量、畫一畫、擺一擺等方式入手，來猜想三角形的性質(zhì).若將“三角形內(nèi)角和”一課作為一次操作驗(yàn)證活動(dòng)，我們又該賦予量角以怎樣的內(nèi)涵呢？量角作為探究三角形內(nèi)角和引入環(huán)節(jié)的操作驗(yàn)證活動(dòng)，其價(jià)值內(nèi)涵應(yīng)該體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：第一，量角順應(yīng)了學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)閷W(xué)生在研究角的度數(shù)問題時(shí)，最先想到的方法是用量角器量角;第二，量角可以幫助學(xué)生初步感知三角形的內(nèi)角和大約是180°;第三，因?yàn)榱拷怯姓`差，可以引導(dǎo)學(xué)生對原有的認(rèn)知產(chǎn)生質(zhì)疑，促使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探究的欲望，為引出更科學(xué)、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證方法提供平臺.

三、不同版本教材對比與分析

人教版教材關(guān)于“三角形內(nèi)角和“的引出，是通過“畫、量、算”的方式，用這種看似平常，卻又符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的方法進(jìn)行引入，沒有了思維上的突兀，更關(guān)鍵的是遵循了圖形認(rèn)識的內(nèi)在規(guī)律，簡單、易行.

北師大版教材希望學(xué)生通過“畫一畫、量一量、算一算”的方式，經(jīng)歷對三角形三個(gè)內(nèi)角的測量、計(jì)算的完整過程，且通過小組內(nèi)的每個(gè)成員對不同三角形測量結(jié)果的記錄，讓學(xué)生初步感悟到三角形的內(nèi)角和大致總在180°左右，從而為后繼的進(jìn)一步驗(yàn)證提供感性經(jīng)驗(yàn).

青島版教材編排與北師大版教材編排思路很接近，也是通過“量一量、算一算、折一折”的方式，從測量和操作的角度證明，得出三角形的內(nèi)角和是180°，這種方式既強(qiáng)調(diào)了測量的實(shí)際意義，也滲透了平行公理驗(yàn)證的數(shù)理.

蘇教版教材最大的特點(diǎn)就是從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，根據(jù)已經(jīng)知道每個(gè)角的度數(shù)的一副三角板入手，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算出不同直角三角板上三個(gè)內(nèi)角的和，引發(fā)出直角三角形的內(nèi)角和是180°的初步結(jié)論，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生循著平行公理的軌跡，用“折”的方式探究其他類型三角形的內(nèi)角和.教材編排特別注重從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手，引入自然、展開得體.

浙教版教材與其他幾個(gè)版本教材的編排思路區(qū)別很大，其他版本教材基本上都是從測量入手，浙教版教材卻是從變化的三角形猜測三角形內(nèi)角和是多少度入手，再通過兩種不同層面的拼圖，借助平行公理，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何三角形的三個(gè)內(nèi)角都可以拼成—個(gè)平角，即三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°.從某個(gè)角度來說，這種方式更注重依據(jù)平行公理來解決三角形內(nèi)角和的問題.

以上五個(gè)版本的教材，雖然編排的思路與方式不盡相同，但它們都遵循著一個(gè)基本的原則，要么從測量入手探究三角形的內(nèi)角和，要么依據(jù)平行公理，通過“折、拼”等操作方式證明三角形的內(nèi)角和是180°，沒有—個(gè)版本的教材是根據(jù)長方形或正方形的內(nèi)角和探索三角形的內(nèi)角和的.

四、有過程歸納教學(xué)的展開

（一）歸納是基于聯(lián)想的思維形式，讓學(xué)生進(jìn)行有知識根據(jù)的合乎情理的想象

讓學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想是讓學(xué)生知道歸納是解決問題的最基本的思維方法.任何聯(lián)想都不是隨心所欲憑空瞎想，而應(yīng)該是有知識基礎(chǔ)和知識根據(jù)的合乎情理的設(shè)想，使學(xué)生能借助已知產(chǎn)生“正遷移”，引發(fā)聯(lián)想，激發(fā)學(xué)生求知欲和探求問題的積極性，為合情推理提供良好的氛圍.借助直觀圖形“變化的三角形”，引發(fā)學(xué)生猜想，三角形的內(nèi)角和是否是一個(gè)確定的度數(shù)？如果是，這個(gè)確定的度數(shù)是多少？激發(fā)學(xué)生驗(yàn)證的興趣，為接下來合情推理做鋪墊.

師：老師這里有一個(gè)可以變化的三角形，請你們仔細(xì)觀察在三角形變化的過程中三角形的三個(gè)角有什么變化？這能說明什么？

生：三角形的內(nèi)角和是180°.

師：用眼睛就能看出是180°？那我們能確定什么？

生：內(nèi)角和是一個(gè)固定的度數(shù)，

師：看來內(nèi)角和可能真是固定的，剛才有同學(xué)說是多少來著？（板書：180°）有沒有什么問題要問他？（教師用剪刀剪一個(gè)小三角形）這個(gè)大的三角形和這個(gè)小的三角形也是一樣的嗎？（板書：大小不同）那這兩個(gè)形狀不同的三角形呢？（板書：形狀不同）

師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要嚴(yán)謹(jǐn)，要有理有據(jù)，到底是不是你們說的180°，需要怎么辦？

（二）歸納推理的思維過程是動(dòng)態(tài)的，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結(jié)論

歸納推理的思維過程是動(dòng)態(tài)的，既有直觀的實(shí)驗(yàn)感知，又有理性的數(shù)學(xué)思考.其中分類、比較是歸納的基本思維形式，動(dòng)手操作一定要與分析、比較等思維活動(dòng)結(jié)合起來，跳出簡單的直觀感知層面，進(jìn)入邏輯推理論證層面，通過不斷經(jīng)歷合情合理的推測、不斷經(jīng)歷形象與抽象等多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結(jié)論.

1.量

師：這位同學(xué)量的銳角三角形，誰量的不是這樣的三角形？還有量的不是黑板上這兩種三角形的嗎？（板書：測量，算式）同學(xué)們有疑問嗎？

師：老師調(diào)查一下，選擇不同測量方法的同學(xué)，你們量完之后發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題了嗎？為什么會(huì)這樣呢？如果給你們的三角形非常標(biāo)準(zhǔn)，你能保證逐個(gè)量完加在一起就一定是180°嗎？為什么不能？因?yàn)闇y量有誤差.

師：通過測量我們能確定什么呢？（板書：180°左右）誰還有不同的方法？

2.拼

（1）撕拼

拼三個(gè)角

師：明明是三個(gè)內(nèi)角，到這里轉(zhuǎn)化成一個(gè)角了.（板書：轉(zhuǎn)化）看起來挺像平角，到底是不是平角呢？平角有什么特點(diǎn)呢？看來只要是操作就一定有誤差.現(xiàn)在我們可以進(jìn)一步確定三角形的內(nèi)角和確實(shí)和180°很接近.（板書：接近180°）

拼兩個(gè)角

師：和剛才拼的方法有什么區(qū)別呢？為什么拼兩個(gè)角就可以了呢？

（2）折拼

師：這種方法和前面的哪種方法是一樣的？折的時(shí)候需要有一定的技巧和要求.

（3）多個(gè)拼

師：老師這里也有個(gè)拼的方法，猜猜是誰的方法？古代有個(gè)數(shù)學(xué)家泰勒斯，他受到拼圖方法的啟發(fā)，把六個(gè)完全一樣的三角形拼在了一起，從而得到了三角形的內(nèi)角和.有誰看懂了嗎？

生：這里有2個(gè)角1，2個(gè)角2，兩個(gè)3.三角形內(nèi)角和也就是360°÷2=180°.

師：但是在拼的過程中三角形和三角形之間是有縫隙的，因此泰勒斯也無法確定三角形的內(nèi)角和就一定是180°，但他為之后的數(shù)學(xué)家的研究指明了方向，三角形的內(nèi)角和很可能就是180°.

3.證明

師：同樣我們剛才的研究也為接下來的學(xué)習(xí)指明了方向，就朝著著這個(gè)方向，接下來我們來思考，能不能借助哪種我們已經(jīng)知道內(nèi)角和的圖形，來證明一下三角形的內(nèi)角和就是180°呢？你們想先證明哪種三角形的內(nèi)角和呢？

（1）直角三角形

師：老師給每個(gè)小組準(zhǔn)備了一個(gè)信封，里面有直角三角形，可以拿出兩個(gè)完全相同的直角三角形先標(biāo)上角，再擺一擺.

學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)并匯報(bào).

師：有什么疑問嗎？那這兩個(gè)直角三角形一共有6個(gè)內(nèi)角，這6個(gè)內(nèi)角跟長方形的4個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系呢？怎么能確定其中一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是長方形內(nèi)角和的一半呢？

師：我們根據(jù)長方形的內(nèi)角和推理計(jì)算出任意直角三角形的內(nèi)角和.（板書：計(jì)算推理）這個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°，那么對于其他直角三角形呢？

（2）銳角、鈍角三角形

師：對于銳角三角形、鈍角三角形怎么說明它們的內(nèi)角和呢？能不能借助已經(jīng)知道的直角三角形的內(nèi)角和來推算出來呢？

師：很多同學(xué)遇到了困難，可以抬頭看看大屏幕上老師給的提示.誰看懂了？

生：兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和減去合并在一起的兩個(gè)直角.

師：我們也推算出了銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和.現(xiàn)在可以得到什么結(jié)論呢？

生：我們研究的三角形的內(nèi)角和都是180°.

（三）歸納推理的思維基礎(chǔ)是類，通過類來促進(jìn)學(xué)生形成由個(gè)別到一般的不完全歸納思維

由于完全歸納推理具有一定的局限性和不可實(shí)現(xiàn)性，當(dāng)需要?dú)w納推理的單位數(shù)量過大時(shí)，若遵循完全歸納推理原則，就需要調(diào)查全部三角形，這是一種不實(shí)際的推理原則.不完全歸納是相對完全歸納而言的，不完全歸納推理是統(tǒng)計(jì)推理歸納中比較常用的一種方法，在集合中利用每個(gè)類中具有代表性的元素，從而歸納概括出一般結(jié)論，形成由個(gè)別到一般的歸納思維.

師：同學(xué)們說說我們到目前為止得到的研究結(jié)論吧.不對呀，我們才研究了不到40個(gè)三角形吧，怎么能直接說三角形都是這樣呢？需不需要把世界上所有的三角形都拿來一一研究呢？

生：把這三類三角形分別研究一些，就可以代表所有的三角形了.

師：我們由30多個(gè)的個(gè)別的三角形來推出一般的所有三角形的內(nèi)角和是180°，這個(gè)過程在數(shù)學(xué)上被稱為歸納推理，這是我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的方法.（板書：歸納推理）

【參考文獻(xiàn)】

[1]于偉.教育哲學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

[2]于偉.與學(xué)生的對話：學(xué)生哲學(xué)研究的田野筆記[M].長春：長春出版社，2017.

[3]于偉，著.率性教育的理論與實(shí)踐探索[M].北京：教育科學(xué)出版社，2018.

[4]皮亞杰.生物學(xué)與認(rèn)識[M].尚新建，等，譯.北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，1992.

[5]史寧中.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（5）：1-5.

[6]于偉.“率性教育”：建構(gòu)與探索[J].教育研究，2017（05）：23-32.