沈威 曹廣福

【編者按】 本刊2020年第8期刊登了沈威和曹廣福兩位老師的《中學數(shù)學課題式教學概述》一文，闡述了“中學數(shù)學課題式教學”的含義、邏輯起點、根本動力和基本環(huán)節(jié)。課題式教學類似于問題驅(qū)動的教學、研究性學習等，并非新鮮概念。兩位老師提出這一概念，強調(diào)的重點不是探究學習、思考操作、交流討論的熱鬧教學形式，而是深入數(shù)學發(fā)展史，尋找促使理論知識產(chǎn)生的本原性問題及其派生性問題，引導學生通過分析與解決問題，把課程當課題來研究，完成數(shù)學的“再創(chuàng)造”。

本期刊登“中學數(shù)學課題式教學”一篇課例文章。

摘要：直方圖作為一類特殊的統(tǒng)計圖，聯(lián)系著離散型統(tǒng)計變量與連續(xù)型統(tǒng)計變量;作為重要的數(shù)據(jù)分析工具，被普遍運用于解決各類現(xiàn)實問題。人教版初中數(shù)學教材“直方圖”內(nèi)容的編寫存在沒有凸顯引入頻數(shù)分布直方圖的必要性、沒有自然地畫出頻數(shù)分布直方圖等問題。由此，嘗試基于中學數(shù)學課題式教學的理念設計“直方圖”的教學：以學生的生活現(xiàn)實和數(shù)學現(xiàn)實為基礎，圍繞促使理論知識產(chǎn)生的一系列問題，引導學生研究體育比賽的成績數(shù)據(jù)，通過問題的發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決，完成數(shù)學的“再創(chuàng)造”。

關(guān)鍵詞：課題式教學數(shù)學思想科學價值人教版教材直方圖

“直方圖”是初中數(shù)學“統(tǒng)計與概率”領域的重要內(nèi)容?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》對其的教學要求是“通過實例，了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)直方圖，能利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊含的信息”，而對“統(tǒng)計與概率”領域的教育價值定位為培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析觀念。那么，“直方圖”的教學如何較好地體現(xiàn)課程標準的要求？我們首先分析直方圖蘊含的數(shù)學思想和科學價值，然后剖析人教版教材“直方圖”內(nèi)容的編寫，最后嘗試基于中學數(shù)學課題式教學的理念設計“直方圖”的教學。

一、教學內(nèi)容分析

教學內(nèi)容分析是教學設計的重要基礎。對于中學數(shù)學課題式教學來說，需深入挖掘教學內(nèi)容的數(shù)學本原。

（一）統(tǒng)計圖的科學價值

統(tǒng)計學能以數(shù)據(jù)表征復雜深奧的事實，化繁為簡，從大量的同類數(shù)據(jù)中揭示深刻的關(guān)系，基于過去預測未來等，故成為自然科學、社會科學與技術(shù)科學的重要研究工具?？坍嫈?shù)據(jù)關(guān)系、體現(xiàn)數(shù)據(jù)特征與進行數(shù)據(jù)分析的主要方法有三種，第一種是文字與符號語言，第二種是統(tǒng)計表，第三種是統(tǒng)計圖。其中，文字與符號語言因為抽象性較強，往往很難讓人領會其中的深刻含義，而表格與圖形具有直觀明了的表現(xiàn)力，因此，統(tǒng)計學經(jīng)常使用各種統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖來展現(xiàn)數(shù)據(jù)關(guān)系、描述數(shù)據(jù)特征。

統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖是由政治經(jīng)濟學之父、統(tǒng)計學的創(chuàng)始人威廉·配第創(chuàng)造的。自從統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖被發(fā)明和使用，人們就再也離不開它們了。統(tǒng)計表的價值在于能省去繁雜的文字敘述，通過排列數(shù)據(jù)，簡化資料，凸顯關(guān)系與特征，便于分析、對比和計算數(shù)據(jù);統(tǒng)計圖則是把統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)直觀化、圖像化，更加明了地表現(xiàn)與分析數(shù)據(jù)。統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖都是數(shù)據(jù)的載體，往往是“不分家”的;統(tǒng)計表可以獨立于統(tǒng)計圖，但是統(tǒng)計圖必須依賴于統(tǒng)計表而存在。

相較于統(tǒng)計表，統(tǒng)計圖具有獨特的直觀性，使人一目了然;不但能刻畫數(shù)據(jù)的大小關(guān)系，而且能體現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)或因果關(guān)系及變化規(guī)律。這是統(tǒng)計圖的重要性及價值所在，因此有“字不如表，表不如圖”的說法。

（二）直方圖蘊含的數(shù)學思想

統(tǒng)計圖主要包括條形圖、折線圖、扇形圖、直方圖、散點圖、雷達圖、莖葉圖等。直方圖作為一類特殊的統(tǒng)計圖，聯(lián)系著離散型統(tǒng)計變量與連續(xù)型統(tǒng)計變量，是樣本估計的重要工具。直方圖包括頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖。頻數(shù)分布直方圖是頻率分布直方圖的基礎，是把離散型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)型數(shù)據(jù)的入口;頻率分布直方圖是頻數(shù)分布直方圖的深化，能把無序散亂的數(shù)據(jù)表征為頻率密度曲線。

進一步而言，頻數(shù)分布直方圖在離散型統(tǒng)計向連續(xù)型統(tǒng)計發(fā)展的過程中起著重要的推動作用。如果僅對具體離散的數(shù)據(jù)做頻數(shù)統(tǒng)計，則得到的是離散型度量;不管怎么仔細地數(shù)，得到的頻數(shù)始終是精確的非負整數(shù)。與之相對的，如果把數(shù)據(jù)等距分組后做頻數(shù)統(tǒng)計，則得到的是連續(xù)型度量;得到的頻數(shù)依賴于數(shù)據(jù)分組的精細程度。

連續(xù)性思想是近代數(shù)學發(fā)展的基礎。連續(xù)型數(shù)據(jù)是數(shù)學的連續(xù)性理論運用于統(tǒng)計的重要載體，推動了統(tǒng)計學的發(fā)展。對于連續(xù)型數(shù)據(jù)，把統(tǒng)計頻數(shù)除以樣本總數(shù)得到的是相對頻數(shù)，用直方圖刻畫相對頻數(shù)，其總面積等于1。如果對數(shù)據(jù)的組段不斷分細，確定每個小組的組中值并用光滑的曲線連接起來，其曲線公式就是概率密度函數(shù)，如正態(tài)分布、卡方分布、t分布和F分布等。

（三）直方圖的科學價值

直方圖作為重要的數(shù)據(jù)分析工具，被普遍運用于各類現(xiàn)實問題的解決。在“中國知網(wǎng)”搜索標題含有“直方圖”的學術(shù)論文，共有960余篇，涵蓋計算機、臨床醫(yī)學、信息通信、控制工程、通用技術(shù)、電子技術(shù)、數(shù)學、統(tǒng)計、物理、測繪與教育等領域，其中，屬于臨床醫(yī)學領域的比例高達70%，且呈逐年上升趨勢。直方圖作為研究工具，在醫(yī)療診斷方面，結(jié)合具體的研究對象被進一步發(fā)展為表觀擴散系數(shù)直方圖、擴散峰度成像直方圖、成像全域直方圖和灰度直方圖等，且被認為具有重要的科學價值。

二、教材編寫商榷

教材編寫是教學設計的重要參考。那么，“直方圖”內(nèi)容的教材編寫情況如何？哪些地方是值得借鑒的，哪些地方是需要改進的？下面，以人教版初中數(shù)學教材為例做具體剖析。

（一）教材編寫

人教版初中數(shù)學七年級下冊“10.2 直方圖”一節(jié)，首先指出：“我們學習了條形圖、折線圖、扇形圖等描述數(shù)據(jù)的方法，下面介紹另一種常用來描述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖——直方圖?！比缓蟪尸F(xiàn)情境問題：“為了參加全校各年級之間的廣播操比賽，七年級準備從63名同學中挑選身高相差不多的40名同學參加比賽，為此收集到這63名同學的身高如下。選擇身高在哪個范圍的同學參加呢？”同時出示學生身高的數(shù)據(jù)表以及學生排成方陣做操的情境圖（表和圖略）。接著指出：“為了使選取的參賽選手身高比較整齊，需要知道數(shù)據(jù)（身高）的分布情況……為此可以通過對這些數(shù)據(jù)適當分組來進行整理?！苯?jīng)過計算最大值與最小值的差、決定組距和組數(shù)、列頻數(shù)分布表三個步驟之后，給出結(jié)論：“因此可以從身高的155 cm至164 cm（不含164 cm）的同學中挑選參加比賽的同學?！?/p>

情境問題解決之后，教材“強制”加入畫頻數(shù)分布直方圖的內(nèi)容，首先指出：“如圖1，為了更直觀形象地看出頻數(shù)分布的情況，可以根據(jù)表1畫出頻數(shù)分布直方圖。”然后解釋：“在圖1中，橫軸表示身高，縱軸表示頻數(shù)與組距的比值。容易看出，小長方形面積=組距×頻數(shù)組距=頻數(shù)?？梢?，頻數(shù)分布直方圖是以小長方形的面積來反映數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻數(shù)的大小，小長方形的高是頻數(shù)與組距的比值?！苯又?，才真正給出頻數(shù)分布直方圖：“等距分組時，各小長方形面積（頻數(shù)）與高的比是常數(shù)（組距）。因此，畫等距分組的頻數(shù)分布直方圖時，為畫圖與看圖方便，通常直接用小長方形的高表示頻數(shù)。例如，圖1表示的等距分組問題通常用圖2的形式表示?！?/p>

（二）問題商榷

教材編寫有不少值得借鑒的地方，比如，情境問題中的數(shù)據(jù)沒有明顯的統(tǒng)計項目分類，這體現(xiàn)出頻數(shù)分布統(tǒng)計的根本特征。但也存在一些值得商榷的地方，下面重點剖析這些地方，以便更有針對性地進行教學設計。

首先，教材在引言后呈現(xiàn)的是一個與直方圖沒有直接關(guān)系的情境問題：這一情境問題的解答只要用到頻數(shù)分布表。此后，只是通過“為了更直觀形象地看出頻數(shù)分布的情況”的解釋，“強制”引入頻數(shù)分布直方圖。這樣的編寫，沒有凸顯頻數(shù)分布直方圖的價值，即引入其的必要性。此外，教材在引言中由條形圖、折線圖、扇形圖提出直方圖，但是后續(xù)沒有說明它們與直方圖的聯(lián)系與區(qū)別，更不用說由這3種統(tǒng)計圖的局限性來體現(xiàn)直方圖的優(yōu)越性了。

其次，教材在引入頻數(shù)分布直方圖后，根據(jù)“身高分組”和“頻數(shù)”的分布表（表1）畫出的卻是“身高”和“頻數(shù)/組距”的分布直方圖（圖1）。此后，又指出這樣的“頻數(shù)分布直方圖”“是以小長方形的面積來反映數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻數(shù)的大小”，“為畫圖與看圖方便，通常直接用小長方形的高表示頻數(shù)”，才畫出“身高”和“頻數(shù)”的分布直方圖，即真正的頻數(shù)分布直方圖。這樣的編寫很不自然：為什么要把表中的“頻數(shù)”變?yōu)椤邦l數(shù)/組距”？其統(tǒng)計學意義是什么？為什么要先給出不能直接讀取頻數(shù)（即不夠直觀）的“頻數(shù)/組距”分布直方圖，再給出可以直接讀取頻數(shù)（即更為直觀）的“頻數(shù)”分布直方圖？為什么不先畫出后者？教材沒有給出說明。

三、“直方圖”課題式教學設計

根據(jù)直方圖蘊含的數(shù)學思想與科學價值以及人教版教材編寫存在的值得商榷的地方，“直方圖”的教學要凸顯引入直方圖的必要性，并且?guī)椭鷮W生掌握如何用直方圖描述與分析數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或規(guī)律得以直觀顯現(xiàn);同時，掌握繪制直方圖的規(guī)范格式和靈活變化，使直方圖能夠恰當凸顯數(shù)據(jù)的相關(guān)特征。由此，嘗試基于中學數(shù)學課題式教學的理念設計“直方圖”的教學：以學生的生活現(xiàn)實和數(shù)學現(xiàn)實為基礎，圍繞促使理論知識產(chǎn)生的一系列問題（即本原性問題和派生性問題），引導學生研究體育比賽的成績數(shù)據(jù)，以之作為評價健康狀況、運動能力等的依據(jù)，通過問題的發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決，完成數(shù)學知識的“再創(chuàng)造”，樹立重視健康、參與運動的理念。具體問題設計及說明如下：

情境問題我們學校運動會組委會根據(jù)前期統(tǒng)計調(diào)查，科學地規(guī)劃了運動會比賽事宜，讓全校學生更方便、更安全、更高效地參加運動會的比賽項目。本次運動會中，1500米長跑是最受關(guān)注的比賽項目之一，共有80人參加，他們比賽的成績數(shù)據(jù)如圖3所示。你能運用統(tǒng)計圖表描述與分析它們，讓大家直觀了解長跑比賽的整體情況嗎？

引入直方圖的情境問題自然要以簡明直觀地了解數(shù)據(jù)之間的關(guān)系、展示數(shù)據(jù)的整體情況為需要，凸顯引入的必要性。該情境問題以80名學生參加1500長跑比賽的成績數(shù)據(jù)為載體，引導學生研究如何恰當?shù)剡\用統(tǒng)計圖表描述與分析成績數(shù)據(jù)。這里的成績數(shù)據(jù)具有一定的“連續(xù)性”，部分比較稠密，部分比較稀疏，沒有以前“離散化”的統(tǒng)計項目分類;而且，不是經(jīng)過統(tǒng)計計數(shù)的簡單整數(shù);同時，帶有分和秒的復雜時間單位。因此，蘊含了難以用學過的統(tǒng)計圖表描述與分析的伏筆，為引入“分組”統(tǒng)計數(shù)據(jù)做了鋪墊。這就是引入直方圖的本原性問題。

問題1可用哪些統(tǒng)計圖表來描述與分析80名學生長跑比賽的成績數(shù)據(jù)？已有的統(tǒng)計方法能否合理地描述與分析比賽的成績數(shù)據(jù)？

按照課題式教學的基本思路，研究宏觀的本原性問題，需要將其具體化為多個微觀的派生性問題，逐個加以解決。這里的第一個派生性問題便是學生已經(jīng)學過了哪些統(tǒng)計圖表，它們能否用來解決情境問題。這可以引導學生回憶、搜索其認知結(jié)構(gòu)中與統(tǒng)計圖表相關(guān)的知識內(nèi)容及其運用經(jīng)驗，并進一步嘗試逐個運用這些統(tǒng)計圖表描述與分析成績數(shù)據(jù)。由此，學生會發(fā)現(xiàn)已學的統(tǒng)計圖表都很難準確處理當前的成績數(shù)據(jù)。

問題2運用已學的統(tǒng)計圖表來描述與分析比賽成績數(shù)據(jù)的困難在哪里？如何突破這個困難？關(guān)鍵點是什么？

學生已學的統(tǒng)計圖表主要是條形圖、折線圖、扇形圖及相應的統(tǒng)計表，但是，這些統(tǒng)計圖表很難準確處理當前的成績數(shù)據(jù)。既然不能準確地描述與分析每個數(shù)據(jù)，沒有明顯的統(tǒng)計項目分類，那就弱化要求，放棄對每個數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，而把這些數(shù)據(jù)“分組”統(tǒng)計（也就是把離散的數(shù)據(jù)擴大到連續(xù)的區(qū)間上）。這樣，就能在弱化要求的情況下描述和分析整體數(shù)據(jù)。

問題3如何對數(shù)據(jù)分組？分多少組合適？如何確定組距？

確定弱化逐個統(tǒng)計為分組統(tǒng)計后，就要面臨這樣的3個問題。根據(jù)常識，一般數(shù)據(jù)越多，分的組也就越多;當數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，按照數(shù)據(jù)的多少，分為5-10組。自然地，確定組距時要用這一組數(shù)據(jù)的極差除以分的組數(shù)。以此為基礎，引導學生填寫頻數(shù)分布表。

問題4如何根據(jù)頻數(shù)分布統(tǒng)計表畫頻數(shù)分布統(tǒng)計圖？要注意哪些？

對此，可以引導學生類比條形圖，探究并確定以直立長方形的高矮表示各組的頻數(shù)，以直立長方形的寬度表示各組的組距，得到頻數(shù)分布直方圖;然后，根據(jù)頻數(shù)分布表中的相應數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布直方圖。

問題5你能概括出上述統(tǒng)計圖與之前學過的統(tǒng)計圖之間的區(qū)別與聯(lián)系嗎？你能給它起個名稱嗎？

對此，可以從數(shù)學研究一般方法的高度，引導學生回顧反思剛剛的學習過程：基于什么原因放棄原有的統(tǒng)計圖？基于什么原理建立新的統(tǒng)計圖？把新的統(tǒng)計圖與原有的統(tǒng)計圖做橫向與縱向比較，包括制表過程與作圖過程，以及圖表之間的不同要素等，總結(jié)它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，促進學生理解直方圖的本質(zhì)，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析能力，提升學生的數(shù)學課題研究性思維。

*本文系廣東省教育科學規(guī)劃項目“數(shù)學教師實踐性知識及其教學表現(xiàn)研究”（編號：2018GXJK184）、惠州學院自主創(chuàng)新能力提升計劃項目“中小學數(shù)學教師教學素養(yǎng)及其專業(yè)發(fā)展研究”（編號：hzu201826）的階段性研究成果。

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