左開俊

摘要 根據(jù)中學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知范圍，常構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型有圖像模型、函數(shù)模型、多邊形模型和幾何模型等。設(shè)計(jì)和實(shí)施“數(shù)學(xué)模型構(gòu)建”教學(xué)有助于實(shí)現(xiàn)教學(xué)樣態(tài)的多樣化、教學(xué)內(nèi)容的跨學(xué)科、教學(xué)思想的統(tǒng)一化，使體現(xiàn)生物學(xué)科核心素養(yǎng)、科學(xué)思維、深度思考的學(xué)習(xí)和教學(xué)活動(dòng)真正發(fā)生。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)方法 生物學(xué)教學(xué) 模型構(gòu)建教學(xué)

中圖分類號(hào) G633.91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼 B

文件編號(hào)：1003-7586（2020）08-0012-04

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建教學(xué)是以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型為載體，在生物學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的指導(dǎo)下，通過(guò)符號(hào)、公式、圖像等數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)工具，來(lái)定量描述生命系統(tǒng)發(fā)展?fàn)顩r的一種教學(xué)結(jié)構(gòu)或教學(xué)程式。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建教學(xué)最大的特點(diǎn)就是：可以將日常中一個(gè)復(fù)雜的生物學(xué)問(wèn)題借助數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，最終轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題?！镀胀ǜ咧猩飳W(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在“教學(xué)建議”中強(qiáng)調(diào)：教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)文字描述、數(shù)學(xué)表格、示意圖、曲線圖等方式完成報(bào)告，組織交流探究的過(guò)程和結(jié)果，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。該段文字折射出來(lái)的數(shù)學(xué)方法思想，確立了數(shù)學(xué)模型構(gòu)建教學(xué)在新課改中的地位，值得教師對(duì)此課題進(jìn)行深入探討和研究。

1構(gòu)建數(shù)學(xué)模型實(shí)施生物學(xué)教學(xué)的常見類型

數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，是數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的方式輔助解決生物學(xué)問(wèn)題，能促進(jìn)學(xué)生綜合運(yùn)用能力和綜合分析能力的提高;同時(shí)，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的方式也能使相關(guān)復(fù)雜的生物學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單直觀和一目了然。

1.1圖像模型構(gòu)建——深入淺出簡(jiǎn)單直觀，思維創(chuàng)造能力培養(yǎng)

圖像模型就是將數(shù)與各種圖形有機(jī)聯(lián)合，實(shí)現(xiàn)彼此之間的數(shù)量關(guān)系。圖像模型構(gòu)建往往能使許多抽象的概念以及眾多概念間的關(guān)系脈絡(luò)分明地直觀化、形象化呈現(xiàn)。這既有利于創(chuàng)造性思維的培育、探究性教學(xué)的實(shí)施;也有助于歸納與概括能力的培養(yǎng)、科學(xué)性解題思維的訓(xùn)練。教師若能經(jīng)常考慮數(shù)圖結(jié)合，則常會(huì)使教學(xué)方式別開生面，教學(xué)內(nèi)容直觀易懂。

【教學(xué)案例1】“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關(guān)系的教學(xué)。

生物學(xué)教學(xué)中，最難教的就是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系與區(qū)別。多個(gè)知識(shí)點(diǎn)間錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系，常讓學(xué)生找不到學(xué)習(xí)或解題的頭緒。此時(shí)，若教師利用數(shù)圖結(jié)合的圖像模型，就會(huì)脈絡(luò)分明地展現(xiàn)它們彼此間的相互關(guān)系和聯(lián)系。例如，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關(guān)系的圖像模型（圖1），教學(xué)效果就會(huì)事半功倍。

“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關(guān)系的圖像模型概述：正方形代表密碼子，有64種;三角形代表反密碼子，有61種;圓形代表氨基酸，有20種。從圖像模型中可以直觀得出：①一種密碼子只能與一種反密碼子配對(duì)，但有三種密碼子是終止密碼子，沒(méi)有與之配對(duì)的反密碼子;②一種反密碼子只能決定一種氨基酸，一種氨基酸卻可以由好幾種反密碼子或密碼子決定;③有兩種氨基酸（甲硫氨酸和色氨酸）只能由一種反密碼子或密碼子決定。

運(yùn)用圖像模型構(gòu)建教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)主要有：①深入淺出，簡(jiǎn)單直觀。生物學(xué)教學(xué)過(guò)程中，有序地、深層次地向?qū)W生們講清楚生物學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，是教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)。蒼白的語(yǔ)言或文字描述，一方面常令一些關(guān)鍵詞的地位不能重點(diǎn)呈現(xiàn);另一方面大量的語(yǔ)言陳述也常令部分學(xué)生云里霧里、分辨不清。創(chuàng)建合理的圖像模型，既能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化;又能使抽象的問(wèn)題直觀化。②思維創(chuàng)造，能力培養(yǎng)。構(gòu)建圖像模型是一種思維創(chuàng)造，其能通過(guò)形象、直觀的數(shù)學(xué)元素，來(lái)提高學(xué)生對(duì)生物知識(shí)的加深與鞏固，幫助學(xué)生培養(yǎng)和提高分析問(wèn)題的能力、解決問(wèn)題的能力。

1.2函數(shù)模型構(gòu)建——概念鋪展樹立觀念，辨識(shí)比對(duì)去偽存真

函數(shù)模型指對(duì)某個(gè)具體問(wèn)題通過(guò)“建?！?，轉(zhuǎn)化成函數(shù)或方程式，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法。運(yùn)用到生物學(xué)中，就是將具體的生物問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)用生物原理和數(shù)學(xué)方法將問(wèn)題中所展示的概念性生物關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)和生物規(guī)則逐層鋪展，以便尋求認(rèn)知上的突破。

【教學(xué)案例2】“核苷酸種類、脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上異同點(diǎn)”的教學(xué)。

新教材在安排“核苷酸種類、脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上異同點(diǎn)”的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，建立了如圖2所示的概念模型。該概念雖然能很清晰地解決了DNA與RNA在化學(xué)組成成分上的異同，但此概念模型未能涵蓋此節(jié)的其他兩個(gè)概念：①核苷酸的種類;②脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上的異同點(diǎn)。

如何通過(guò)模型的再構(gòu)建，將眾多概念直觀、形象地整體展現(xiàn)呢？教師可以引入函數(shù)思想，通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型，來(lái)開展此部分內(nèi)容的教學(xué)。其教學(xué)過(guò)程為：（1）依據(jù)核苷酸分子組成，構(gòu)建函數(shù)模型：把每個(gè)核苷酸分子看成是關(guān)于五碳糖和堿基這兩個(gè)變量的二元一次函數(shù)，記作f（x，y）=x+y+P，其中X∈{核糖，脫氧核糖），y∈{A，G，C，T，U），P（磷酸）可看作是常數(shù)，同時(shí)當(dāng)x=核糖時(shí)，y≠T，當(dāng)x=脫氧核糖時(shí)，y≠U。

（2）畫出函數(shù)模型：根據(jù)已設(shè)定的元素種類，構(gòu)建函數(shù)模型（圖3）。

（3）觀察模型，得出相關(guān)結(jié)論：①核苷酸的種類：函數(shù)模型中，每個(gè)直角三角形分別代表一種核苷酸，第一象限為DNA區(qū)，含有4種脫氧核糖核苷酸，即APD、CDP、GDP和TDP四種;第二象限為RNA區(qū)，含有4種核糖核苷酸，即ARP、CRP、GRP和URP四種，故核苷酸的種類有8種。②脫氧核苷酸和核糖核苷酸在成分上異同點(diǎn)：根據(jù)X軸的正負(fù)方向，得出五碳糖的不同，即脫氧核苷酸的五碳糖是脫氧核糖，核糖核苷酸的五碳糖是核糖;根據(jù)Y軸正方向區(qū)域不同，得出脫氧核苷酸和核糖核苷酸共同的堿基是A、C、G，脫氧核苷酸特有的堿基是T，核糖核苷酸特有的堿基是U。

運(yùn)用函數(shù)模型構(gòu)建教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)主要有：①概念鋪展，樹立觀念。函數(shù)模型能夠依據(jù)重要概念的元素構(gòu)成，直觀而清晰地呈現(xiàn)各構(gòu)成元素之間的異同點(diǎn)，能幫助學(xué)生形成正確的生物學(xué)重要概念，支撐眾多概念的脈絡(luò)化形成，幫助學(xué)生建立正確、科學(xué)的生物學(xué)觀念。②辨識(shí)比對(duì)，去偽存真。學(xué)生通過(guò)對(duì)兩個(gè)或多個(gè)概念之間直觀地觀察和比較，能迅速地找出其彼此間的聯(lián)系和區(qū)別，消除了錯(cuò)誤概念，建立科學(xué)概念;也培養(yǎng)了歸納與概括、分析與辨別的思維品質(zhì)。

1.3多邊形模型構(gòu)建——融會(huì)貫通推理探究，他山之石可以攻玉

多邊形是指由三條或三條以上的線段連接成的平面圖形。在生物學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建多邊形模型可以直觀地解決多倍體復(fù)雜的減數(shù)分裂、受精作用、基因型及比例等問(wèn)題。這一方面提供了一種避免大量假設(shè)與討論的解決問(wèn)題模式;另一方面也實(shí)現(xiàn)了將多維、復(fù)雜的問(wèn)題在推理上可視化。

【教學(xué)案例3】“多倍體減數(shù)分裂產(chǎn)生配子的基因型及比例”的教學(xué)。

人教版高中教材《必修2·遺傳與進(jìn)化》中在介紹低溫和一定濃度的秋水仙素處理萌發(fā)的種子或幼苗，能夠引起細(xì)胞內(nèi)染色體數(shù)目加倍的應(yīng)用時(shí)，用常規(guī)教學(xué)方法來(lái)分析二倍體生物產(chǎn)生配子的基因型及比例，學(xué)生是可以理解的。但如果將二倍體拓展為多倍體生物體時(shí)，常規(guī)方法就顯得非常雜亂和繁瑣。如何解決“多倍體減數(shù)分裂產(chǎn)生配子的基因型及比例”的教學(xué)難題，可以通過(guò)構(gòu)建多邊形模型來(lái)進(jìn)行詮釋。

其教學(xué)過(guò)程為：（1）展現(xiàn)特殊案例，思考問(wèn)題。以“基因型為Aa的番茄幼苗，經(jīng)適宜濃度的秋水仙素處理后形成的四倍體”為案例，引導(dǎo)學(xué)生思考。在減數(shù)分裂時(shí)其形成配子的基因型及比例。（2）根據(jù)已有知識(shí)體系，進(jìn)行推理：基因型為Aa的番茄二倍體，經(jīng)適宜濃度的秋水仙素處理后，變成四倍體AAaa，這四個(gè)基因位于四條同源染色體上，在減數(shù)分裂形成配子的過(guò)程中，兩兩隨機(jī)分到一極。③嘗試構(gòu)建四邊形模型，解決問(wèn)題：以基因型AAaa中的4個(gè)字母A、A、a、a為長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)。減數(shù)分裂的實(shí)質(zhì)同源染色體的分離，就可以直觀地表現(xiàn)為字母的兩兩結(jié)合，這樣，就順利且直觀地在四邊形模型上完成了三組連線（2條邊長(zhǎng)1組;2條寬1組，2條對(duì)角線1組），展現(xiàn)了四倍體減數(shù)分裂產(chǎn)生配子的基因型及比例的教學(xué)了（圖4）。

（提示：如果是類似于AAa的三倍體，在構(gòu)成四邊形模型時(shí)，另一頂點(diǎn)可以用零替代。）運(yùn)用多邊形模型構(gòu)建教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)主要有：①融會(huì)貫通，推理探究，能夠運(yùn)用學(xué)生掌握的多邊形相關(guān)知識(shí)、證據(jù)和邏輯，對(duì)生物學(xué)議題進(jìn)行構(gòu)建、思考、展開論證，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)和創(chuàng)新思維的能力。②依托多邊形的幾何知識(shí)（如四邊形的2條邊長(zhǎng)、2條寬、2條對(duì)角線）為載體，引導(dǎo)學(xué)生將抽象、復(fù)雜的生物學(xué)行為問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為形象、可演示的模型行為，體現(xiàn)了新教材的學(xué)科間聯(lián)系的思想，培養(yǎng)了學(xué)生進(jìn)階認(rèn)知的品質(zhì)。

1.4幾何模型構(gòu)建——情境體驗(yàn)探尋發(fā)現(xiàn)，具身認(rèn)知覓求真知

幾何模型構(gòu)建特指在生物教學(xué)中，通過(guò)創(chuàng)建相應(yīng)的幾何圖形，并且根據(jù)其蘊(yùn)含的相關(guān)知識(shí)（如定理、公理等），探尋和發(fā)現(xiàn)其與生物學(xué)問(wèn)題之間的共性，達(dá)到直接解決問(wèn)題的一種模式。

【教學(xué)案例4】“細(xì)胞為什么不能無(wú)限長(zhǎng)大”的教學(xué)。

人教版高中教材《必修1·分子與細(xì)胞》在介紹細(xì)胞不能無(wú)限長(zhǎng)大時(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)“運(yùn)用模型作解釋”的思維訓(xùn)練，此訓(xùn)練中將細(xì)胞的形狀設(shè)計(jì)成了一個(gè)正方體模型，該細(xì)胞模型的構(gòu)建讓學(xué)生們很難用肉眼從生活中找到其影子，一定程度上脫離了學(xué)生們的真實(shí)生活和認(rèn)知范疇。筆者在施教此部分內(nèi)容時(shí)，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)真實(shí)的生活情境：現(xiàn)場(chǎng)給學(xué)生展示了一只熟雞蛋，取出蛋黃交代清楚：未受精的蛋黃，實(shí)際上是一個(gè)卵細(xì)胞。接著，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察卵細(xì)胞，將細(xì)胞的形狀構(gòu)建成一個(gè)球體模型。教師將生物學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題：卵細(xì)胞是通過(guò)什么結(jié)構(gòu)從外界汲取營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的？汲取營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)后，卵細(xì)胞的生長(zhǎng)又是以何種形式呈現(xiàn)的？引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成共識(shí)：卵細(xì)胞通過(guò)細(xì)胞膜從外界汲取營(yíng)養(yǎng)，促進(jìn)細(xì)胞體積的增長(zhǎng)。順勢(shì)引入“表面積和體積的商”代表的含義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，卵細(xì)胞單位體積所攝入的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的量，即卵細(xì)胞的生長(zhǎng)速率?！氨砻娣e和體積的商”越大，卵細(xì)胞的生長(zhǎng)速率就越快，反之則慢。通過(guò)以上的鋪墊，此時(shí)就可以根據(jù)球體表面積、體積的數(shù)學(xué)公式，推導(dǎo)出細(xì)胞表面積和體積的關(guān)系為：細(xì)胞生長(zhǎng)的速度=S/V=4JIR²/4/3JIR³=3/R。

學(xué)生觀察關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)矛盾：隨著卵細(xì)胞的生長(zhǎng)，細(xì)胞的半徑R隨之增大，將其代入關(guān)系式就發(fā)現(xiàn)，此時(shí)細(xì)胞生長(zhǎng)速率（S/V=3/R）卻趨向于0。即單位時(shí)間內(nèi)，卵細(xì)胞單位體積攝入的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)量為零時(shí)，細(xì)胞就可以無(wú)限制的長(zhǎng)大。很顯然，這個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。學(xué)生通過(guò)推理，得出結(jié)論：細(xì)胞的表面積與體積的關(guān)系，是限制細(xì)胞不可能無(wú)限制長(zhǎng)大的一種原因。

運(yùn)用幾何模型構(gòu)建教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)主要有：①通過(guò)真實(shí)情境的體驗(yàn)，幫助和引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建熟悉的幾何模型（如案例4中的球體），利用學(xué)生們已貯存的相關(guān)知識(shí)（如案例4中的球體表面積和體積），嘗試著去分析和解決生物問(wèn)題，其有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)和創(chuàng)新思維的能力。②教師依托真實(shí)存在的生物為載體（例如本節(jié)中的蛋黃），培養(yǎng)學(xué)生善于從實(shí)踐的層面探討或嘗試解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題，幫助其樹立生命觀念，培養(yǎng)其勇于探索生命規(guī)律的品質(zhì)。

2巧用數(shù)學(xué)方法實(shí)施模型構(gòu)建教學(xué)的反思與體會(huì)

巧用數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)施模型構(gòu)建教學(xué)，具有多方面的意義：①實(shí)現(xiàn)了教學(xué)樣態(tài)的多樣化。例如，應(yīng)用于光合作用教學(xué)的曲線模型、應(yīng)用于細(xì)胞分裂教學(xué)的柱狀模型和折線模型、應(yīng)用于遺傳規(guī)律教學(xué)的集合模型和圖像模型等，一方面為生物學(xué)教學(xué)的實(shí)施提供了多樣化的手段，另一方面也為課堂教學(xué)注入了活潑的元素。②實(shí)現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的跨學(xué)科。生物學(xué)與數(shù)學(xué)知識(shí)的整合，其千變?nèi)f化的構(gòu)象，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的學(xué)科間的聯(lián)系和滲透的要求。通過(guò)數(shù)學(xué)方法實(shí)施模型構(gòu)建教學(xué)，加強(qiáng)了生物學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科間的橫向聯(lián)系，為學(xué)生深層次地理解科學(xué)的本質(zhì)、科學(xué)的思想方法和跨學(xué)科的科學(xué)概念和過(guò)程提供了借鑒。③實(shí)現(xiàn)了教學(xué)思想的統(tǒng)一化。生物學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)方法，高度融入了新大綱的要求，如要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)字表格、示意圖、曲線圖等完成報(bào)告;能夠?qū)⒖茖W(xué)、技術(shù)、工程學(xué)和數(shù)學(xué)（STEM）知識(shí)和能力綜合運(yùn)用在實(shí)踐活動(dòng)中，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

巧用數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)施模型構(gòu)建教學(xué)時(shí)，教師在構(gòu)建模型的過(guò)程中，要多從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，多從學(xué)生的思維角度出發(fā)，多從學(xué)生貯備的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，開發(fā)和探究出易于讓學(xué)生接受的數(shù)學(xué)模型。教師在教學(xué)中，只有充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維，并根據(jù)不同生物學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)，才能使數(shù)學(xué)模型內(nèi)化于學(xué)生的頭腦，成為他們分析和解決問(wèn)題時(shí)心智操作的工具。