汪大友

【摘要】化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在降低數(shù)學(xué)問題難度、成功解答數(shù)學(xué)問題中發(fā)揮著重要作用.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)版塊，貫穿整個(gè)高中階段，題型復(fù)雜多變，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高.教學(xué)中注重化歸思想的應(yīng)用講解，使學(xué)生掌握化歸思想應(yīng)用方法與技巧，有助于學(xué)生突破函數(shù)這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)解題能力與效率的提升.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);函數(shù)學(xué)習(xí);化歸思想;應(yīng)用

化歸思想指運(yùn)用所學(xué)或積累的經(jīng)驗(yàn)將問題由難化易、由繁化簡(jiǎn)，最終解決問題的一種思想.實(shí)踐表明，在高中函數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生靈活運(yùn)用化歸思想，可明顯提高解題效率，實(shí)現(xiàn)解題能力與學(xué)習(xí)成績(jī)的提升，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，做好化歸思想的應(yīng)用講解，使學(xué)生扎實(shí)掌握這一重要知識(shí)，靈活解答各種函數(shù)試題.

一、化歸思想之換元法的應(yīng)用

換元法是一種重要的化歸方法，在解答函數(shù)試題中應(yīng)用率較高.為使學(xué)生能夠掌握這一重要化歸方法，一方面，教師講解經(jīng)典例題，使學(xué)生感受換元法的妙用，體會(huì)換元法在解題中的便利之處，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用換元法進(jìn)行化歸的意識(shí).另一方面，教師鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)應(yīng)用換元法時(shí)的注意事項(xiàng)，保證換元前后參數(shù)取值范圍的一致性，避免換元出錯(cuò).

例1?已知f1-x1+x=1-x21+x2，求f（x）.

分析?該題是求解函數(shù)表達(dá)式的試題，屬于高中函數(shù)中的常見題型.試題題干較為簡(jiǎn)潔，屬于復(fù)合函數(shù)類型的試題.解答該類試題時(shí)，可考慮使用換元法，即，令t=1-x1+x，而后代入進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.需要注意的是需正確求出t的取值范圍.

∵t=1-x1+x=-1-x+21+x=-1+x1+x+21+x=-1+21+x，

∴t≠-1.

同時(shí)，由t=1-x1+x，可得1-x=t（x+1），即x=1-tt+1，

∴f（t）=1-1-t1+t21+1-t1+t2=4t2t2+2=2tt2+1，

∴f（x）=2xx2+1（x≠-1）.

二、化歸思想之?dāng)?shù)形結(jié)合法的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)常用的化歸方法，通過“形”將“數(shù)”之間的關(guān)系直觀地展示出來，可簡(jiǎn)化計(jì)算，提高函數(shù)試題解題效率.為使學(xué)生掌握這一方法，教師一方面，為學(xué)生講解常見函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像，傳授圖像繪制技巧，如在繪制函數(shù)圖像時(shí)一定要注意定義域，保證圖像繪制的正確性.另一方面，為學(xué)生講解經(jīng)典函數(shù)例題，傳授數(shù)形結(jié)合應(yīng)用技巧.

例2?已知函數(shù)f（x）=ln（-x+1），x≤0，x2+3x，x>0， 若f（x）-（m+2）x≥0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

分析?該題目是與分段函數(shù)相關(guān)的試題，難度中等.認(rèn)真分析題干可知，可將f（x）-（m+2）x≥0轉(zhuǎn)化為f（x）≥（m+2）x，顯然需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行化歸.根據(jù)題干分別繪出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖所示，便不難進(jìn)行解答.

認(rèn)真觀察右圖可知，當(dāng)直線與曲線相切于原點(diǎn)時(shí)，對(duì)g（x）=x2+3x進(jìn)行求導(dǎo)得g′（x）=2x+3，則m+2=3，解得m=1，當(dāng)直線繞著原點(diǎn)從x軸轉(zhuǎn)到與曲線相切時(shí)，滿足題意，則0≤m+2≤3，解得-2≤m≤1.

三、化歸思想之構(gòu)造法的應(yīng)用

高中函數(shù)學(xué)習(xí)中構(gòu)造法是一種難度較大的化歸方法，對(duì)學(xué)生分析問題的能力要求較高，因此，為使學(xué)生理解并掌握這一化歸方法，教師一方面，做好構(gòu)造法應(yīng)用總結(jié)，尤其認(rèn)真分析不同函數(shù)試題特征，總結(jié)構(gòu)造規(guī)律，并向?qū)W生詳細(xì)講解.另一方面，優(yōu)選代表性例題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生徹底掌握構(gòu)造法應(yīng)用技巧.

例3?已知f′（x）是函數(shù)f（x）（x∈R且x≠0）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，xf′（x）-f（x）<0成立，記a=f（20.2）20.2，b=f（0.22）0.22，c=f（log25）log25，則（??）.

A.a

B.b

C.c

D.c

分析?認(rèn)真觀察a，b，c的表達(dá)形式，可知其形式一樣，不難聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）x，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)得F′（x）=xf′（x）-f（x）x2，然后根據(jù)題干條件不難得到F（x）的單調(diào)性，問題便迎刃而解.

構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）x，則F′（x）=xf′（x）-f（x）x2，∵x>0時(shí)，xf′（x）-f（x）<0，顯然F′（x）<0，即，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減.∵a=F（20.2），b=F（0.22），c=F（log25）.又∵log25>20.2>0.22，∴c

綜上所述，化歸思想在解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)試題中效果顯著，因此，為使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)，提高函數(shù)試題解答正確率，教師一方面，為學(xué)生關(guān)注化歸思想知識(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解化歸思想，尤其做好化歸方法應(yīng)用講解，指引學(xué)生更好地解題.另一方面，通過優(yōu)選、精講試題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練，使學(xué)生徹底掌握化歸方法，做到靈活應(yīng)用，以不變應(yīng)萬變.

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