藺 琳,楊 鑫

(大連財經(jīng)學(xué)院)

0 引言

回顧數(shù)系的歷史發(fā)展及數(shù)系的擴充，既有在舊的數(shù)系之中添加新的元素，也有在舊的數(shù)系之外去構(gòu)造一個新的代數(shù)系[1].K-復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的一個重要延伸，即形如a+kbi(k∈R、k≠0)的復(fù)數(shù)稱為z=a+bi的K-復(fù)數(shù)，記為z(k)它具備復(fù)數(shù)的所有性質(zhì)[2].同時，復(fù)數(shù)與矩陣兩大數(shù)系之間存在許多共同性，包括數(shù)值的轉(zhuǎn)變，矩陣轉(zhuǎn)置以及四則運算等[3].因此，K-復(fù)數(shù)的矩陣表示方式成為數(shù)系研究中的熱點之一[4-5].為更深一步的了解矩陣的性質(zhì)和K-復(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)現(xiàn)有矩陣的基本運算及其性質(zhì)，引入了線性變換和線性代數(shù)的概念[6-7].該文的重點在于研究K-復(fù)數(shù)的基本運算與矩陣的基本運算之間的關(guān)系、矩陣的其它運算在K-復(fù)數(shù)性質(zhì)上的應(yīng)用和靈活應(yīng)用K-復(fù)數(shù)的矩陣表示來解決數(shù)學(xué)問題.討述K-復(fù)數(shù)與矩陣的關(guān)系，不僅具有數(shù)學(xué)理論方面的意義，而且具有較強的現(xiàn)實意義.

1 K-復(fù)數(shù)相關(guān)定義和引理

1.1 K-復(fù)數(shù)相關(guān)定義

K-復(fù)數(shù)具備復(fù)數(shù)所具有的性質(zhì)，所以在該文中關(guān)于K-復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)是可證明的是具有意義的，在該文中主要給出所要涉及的定義和定理以及一些已經(jīng)熟知的結(jié)果，以便在后文定理的證明及應(yīng)用中使用.

定義1[2]將a+kbi(k∈R,k≠0)的復(fù)數(shù)稱為z=a+bi的K-復(fù)數(shù)，記作z(k).

定義2[2]形如a+kbi(k∈R,k≠0)中當a=0、b≠0時，把z(k)=kbi叫作純K-虛數(shù).

即N是二階方陣集合，其元素由主對角線元相同、次對角線元上互為相反數(shù)的數(shù)值組成.

定義5[4]矩陣的加(減)法:設(shè)A=(aij)mn，B=(bij)mn是2個m×n矩陣，則矩陣C=(cij)mn=(aij+bij)mn稱為A與B的和(差)，記為C=A±B.

定義6[6]矩陣的數(shù)量乘法:設(shè)A=(aij)mn,是m×n矩陣，λ是一個常數(shù)，則λ(aij)mn=(λaij)mn稱為矩陣A=(aij)mn與數(shù)λ的數(shù)量乘積，記為λA.

定義8[4]把一矩陣A的行列互換，所得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記為A′或者AT.

定義9[7]如果n階方陣A滿足AT=A，則稱矩陣A為對稱方陣，這時aij=aji.

定義10[7]如果n階方陣A滿足AT=-A，則稱矩陣A為反對稱方陣，這時aij=-aji.

定義11[6]在行列式

中劃去元素aij所在的第i行與第j列，剩下的(n-1)2個元素按原來的排法構(gòu)成一個n-1 級的行列式稱為元素aij的余子式，記為Mij，再把Aij=(-1)i+jMij稱為代數(shù)余子式.

定義12[4]設(shè)Aij是矩陣 (aij)mn中元素aij的代數(shù)余子式，矩陣

稱為A的伴隨矩陣.

定義13[4]數(shù)域P上的n×n矩陣A如果

|A|≠0，稱為矩陣A是非退化的.

1.2 K-復(fù)數(shù)的相關(guān)引理

引理1[5]z1+z2=(x1+y1i)±(x2+y2i)=(x1±x2)+(y1±y2)i.

引理2[8]λz=λ(x+yi)=λx1+λyi.

引理3[9]z1×z2=(x1+y1i)×(x2+y2i)=(x1x2-y1y2)+(x1y2±x2y1)i.

2 K-復(fù)數(shù)的運算和矩陣運算的關(guān)系

2.1 K-復(fù)數(shù)的基本運算

K-復(fù)數(shù)的矩陣表示打破了一直以來復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、幾何表示、指數(shù)表示的數(shù)學(xué)思維，K-復(fù)數(shù)的基本運算也可以通過矩陣的基本運算來完成.

(1)K-復(fù)數(shù)的加法與減法運算

二階矩陣之間的加(減)法運算是封閉的，于是集合V中的任意兩個矩陣可以做加(減)法運算，所得到的和(差)仍在集合V中.

定理1 任意兩個K-復(fù)數(shù)z1(k)、z2(k)相加(減)所得到的K-復(fù)數(shù)z(k)可唯一構(gòu)造一個K-矩陣M(k)，則該K-矩陣M(k)等于K-復(fù)數(shù)z1(k)、z2(k)所構(gòu)造的K-矩陣M1(k)、M2(k)相加(減)，即

ρ:(z1(k)±z2(k))→M1(k)±M2(k)

(1)

證明設(shè)

z1(k)=a1+kb1i,z2(k)=a2+kb2i.

根據(jù)定義4可得

根據(jù)引理1可得

z(k)=z1(k)±z2(k)=(a1±a2)+

(kb1i±kb2i)=(a1±a2)+k(b1±b2)i,

所以

再根據(jù)定義5可得

M1(k)±M2(k)=

所以M(k)=M1(k)±M2(k),

即

ρ:(z1(k)±z2(k))→M1(k)±M2(k).

求: (1)z1(k)+z2(k) 的K-矩陣；

(2)z1(k)-z2(k)的K-矩陣.

解因為

所以根據(jù)式(1)得

(2)K-復(fù)數(shù)的數(shù)量乘法運算

定理2 任意實數(shù)λ與任意K-復(fù)數(shù)z(k)相乘所得到的K-復(fù)數(shù)z′(k)可唯一構(gòu)造一個

K-矩陣M′(k)，其中M′(k)=λM(k)，即

ρ:(λz(k))=λ[ρ:z(k)]→λM(k)

(2)

證明設(shè)

根據(jù)引理2可得

z′(k)=λz(k)=λa+λkbi,

所以

根據(jù)定義6可得

所以

M′(k)=λM(k),

即

ρ:(kz(k))=λ[ρ:z(k)]→λM(k).

例2 設(shè)z(k)=2+3ki，求λz(k)的K-

矩陣.

所以根據(jù)式(2)得λz(k)的K-矩陣為:

(3)K-復(fù)數(shù)的乘法運算

定理3 任意兩個K-復(fù)數(shù)z1(k)、z2(k)相乘所得到的K-復(fù)數(shù)z(k)可唯一構(gòu)造一個K-矩陣M(k)，該K-矩陣M(k)等于K-復(fù)數(shù)z1(k)、z2(k)所構(gòu)造的K-矩陣M1(k)、M2(k)相乘，即

ρ:(z1(k)×z2(k))→M1(k)×M2(k)

(3)

證明設(shè)

z1(k)=a1+kb1i,z2(k)=a2+kb2i.

根據(jù)定義4可得

根據(jù)引理3可得

z(k)=z1(k)×z2(k)=(a1+kb1i)×(a2+kb2i)=(a1a2-k2b1b2)+k(a1b2+a2b1)i,

所以

根據(jù)定義7可得

所以

M(k)=M1(k)×M2(k),

即

ρ:(z1(k)×z2(k))→M1(k)×M2(k) .

(4)K-矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛K-復(fù)數(shù)

(4)

證明設(shè)

根據(jù)定義2可得

根據(jù)定義4可得

再根據(jù)定義8可得

所以

即

矩陣.

解根據(jù)定義4可得

根據(jù)定義8可得

再根據(jù)公式(4)

(5)對稱方陣、反對稱方陣與K-矩陣的關(guān)系.

定理5對任意K-復(fù)數(shù)z(k)=a+kbi，當a=0、b=0時，z(k)=0所構(gòu)造的K-矩陣既是對稱方陣又是反對稱方陣.

證明設(shè)

根據(jù)定義8可得

所以

MT(k)=M(k)=-M(k).

則M(k)既是對稱方陣又是反對稱方陣.

(6)伴隨矩陣與K-矩陣的關(guān)系

ρ:(z(k))→M(k)=M*(k) .

(5)

根據(jù)定義11可得

A11=a、A12=kb、A21=-kb、A22=a,

再根據(jù)定義12可得

所以

M(k)=M*(k),

即

ρ:(z(k))→M(k)=M*(k).

例5 設(shè)z(k)=3-7ki，求M*(k).

根據(jù)公式(5)可得

(7)可逆矩陣與K-矩陣的關(guān)系

(6)

由定義13可得，當a≠0、b≠0時，z(k)=a+kbi的K-矩陣是非退化的，

由引理4可得

所以

例6 設(shè)z(k)=3+7ki，求M-1(k).

再根據(jù)公式(6)

可得

3 結(jié)論

通過研究K-復(fù)數(shù)的矩陣表示、K-復(fù)數(shù)的矩陣表示的基本運算與矩陣的基本運算之間的關(guān)系，以及矩陣的其它運算在K-復(fù)數(shù)上的應(yīng)用.熟悉掌握K-復(fù)數(shù)的矩陣表示，能夠靈活運用K-復(fù)數(shù)的矩陣表示及其相關(guān)性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題.K-復(fù)數(shù)的矩陣表示不僅讓復(fù)數(shù)的表示方法多樣化，而且還把復(fù)數(shù)與矩陣的性質(zhì)緊密結(jié)合起來，對于解決K-復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)問題具有極大的參考作用.