張興均， 吳 莉， 王學(xué)平*

（1.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066； 2.阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川 汶川623002）

2007 年，Di Nola等［1］運(yùn)用半環(huán)、半模等概念在MV-代數(shù)中引進(jìn)了半線性空間的概念，得到了類似于經(jīng)典線性代數(shù)中的相關(guān)結(jié)論.但也有許多與經(jīng)典線性代數(shù)不同的地方，如：半線性空間的基的向量個(gè)數(shù)不再唯一、線性無(wú)關(guān)的向量組不一定能擴(kuò)張為半線性空間的基等［1］.之后，許多學(xué)者開始對(duì)半線性空間的基、維數(shù)以及同構(gòu)等進(jìn)行了大量且細(xì)致的研究，如：2010 年，Zhao 等［2］給出了定義在交換的zerosumfree半環(huán)上L-半線性空間Vn的基的基數(shù)唯一的一個(gè)充分條件；2011 年，Shu 等［3］證明了定義在交換的zerosumfree 半環(huán)上L -半線性空間Vn的基的基數(shù)是相等的充要條件是Vn的每個(gè)向量能被基唯一表出，該充要條件還被文獻(xiàn)［4］進(jìn)行了相應(yīng)推廣，并得到了與自由基相關(guān)的一些結(jié)論.線性變換是研究半線性空間中向量之間關(guān)系的有力工具，本文主要介紹了半線性空間上線性變換、冪等變換、可逆變換的概念，定義了線性變換的運(yùn)算，討論了冪等變換、可逆變換的一些基本性質(zhì)，并得到了線性變換的值域與核的一些重要關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

下面將給出一些已知的基本定義.

定義1.1［5-6］半環(huán)L=（L；+，·，0，1）是滿足以下性質(zhì)的代數(shù)結(jié)構(gòu)：

1）（L；+，0）是交換幺半群；

2）（L；·，1）是幺半群；

3）?r，s，t∈L，r·（s +t）=r·s +r·t 與（s +t）·r=s·r+t·r成立；

4）?r∈L，0·r=r·0 =0 成立；

特別地，若?a，b∈L，都有a·b=b·a，則稱半環(huán)L為交換的.

定義1.2［5］設(shè)L=〈L，+，·，0，1〉為半環(huán)，A=〈A，+A，0A〉為交換幺半群.如果外積*：L ×A→A滿足：?r，r′∈L，a，a′∈A，

1）（r·r′）*a=r*（r′*a），

2）r*（a+Aa′）=r*a+Ar*a′，

3）（r+r′）*a=r*a+Ar′*a，

4）1*a=a，

稱半環(huán)L上的半模為L(zhǎng) -半線性空間［1］.這里的半?；蚴亲驦-半模，或是右L -半模［6］.通常情況下，將半環(huán)中的元稱為標(biāo)量或者系數(shù)，將半線性空間中的元稱為向量.

不失一般性，設(shè)以下討論的半模均為左L-半模.在不混淆的情況下，將（r·r′）*a 寫作（rr′）a.設(shè)n=｛1，2，…，n｝，則由定義1.2 可給出下面L -半線性空間的例子.

例1.1設(shè)L=〈L，+，·，0，1〉是半環(huán).對(duì)n≥1，令

其中（a1，a2，…，an）T表示（a1，a2，…，an）的轉(zhuǎn)置.對(duì)任意的x =（x1，x2，…，xn）T，y =（y1，y2，…，yn）T∈Vn（L）和r∈L，定義

定義1.3［7］設(shè)W是L-半線性空間V的子集，若對(duì)任意的x，y∈W，k∈L，有kx∈W，x +y∈W，則稱W為L(zhǎng)-半線性空間V的子空間.

接下來(lái)引入線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)以及基的概念.

定義1.4［1］設(shè)〈L，+，·，0，1；*；A，+A，0A〉為L(zhǎng)-半線性空間.稱表達(dá)式

為A中向量組a1，…，an的線性組合，其中，λ1，λ2，…，λn∈L.若向量x能表示為向量組a1，…，an的線性組合，則稱向量x能被向量組a1，…，an線性表出（或線性表示）.

定義1.5［1］在L-半線性空間中，單個(gè)向量a是線性無(wú)關(guān)的.若向量組a1，…，an（n≥2）中的任意向量都不能被其余向量線性表出，則稱該向量組是線性無(wú)關(guān)的，否則，稱向量組a1，…，an是線性相關(guān)的.如果有無(wú)限個(gè)向量的向量組中任意有限個(gè)向量都是線性無(wú)關(guān)的，則稱該向量組是線性無(wú)關(guān)的.

設(shè)M是L-半線性空間V 的非空子集，如果L-半線性空間V 中任意向量都能由集合M 中向量線性表出，則稱M 是L -半線性空間V 的生成集［8］.進(jìn)一步，如果M 還是有限集，則稱L -半線性空間V是有限生成的［3］.如果L-半線性空間V的元至多能被非空子集M中元以一種方式表出，則稱M 是自由的［4］.顯然，自由集一定是線性無(wú)關(guān)的.

定義1.6［4，6］稱L-半線性空間V中線性無(wú)關(guān)的生成集為V 的基.特別地，稱L -半線性空間V的自由生成集為自由基.若V存在自由基，則稱V為自由的L-半線性空間.

易見，Vn是自由的L-半線性空間.

2 線性變換

半線性空間V到自身的映射稱為V的變換.

定義2.1交換半環(huán)上L -半線性空間V 的變換A稱為線性變換，如果?a，b∈V以及?r∈L，都有：

1）A（a+b）=A（a）+A（b），

2）A（ra）=rA（a）.

注意，在文獻(xiàn)［9］中，稱滿足定義2.1 條件的變換為半線性變換.

例2.1設(shè)L =〈L，+，·，0，1〉是交換半環(huán)，對(duì)任意的a∈V，k∈L，定義K，則K 是線性變換.

明顯地，若半環(huán)L不是交換的，則上述例子中K不一定是線性變換.特別地，若k 為乘法單位元1，則V的變換K為，這是一個(gè)恒等變換，常用E來(lái)表示，恒等變換也叫做單位變換.若k 為加法單位元0，則V的變換K 為，這是一個(gè)零變換，常用O表示，對(duì)?a∈V，有O（a）=0.

不難從定義推出半線性空間中線性變換有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)：

1）設(shè)A是L-半線性空間V的線性變換，則A（0）=0；

2）線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變；

3）線性變換把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組.

需要注意的是3）的逆不一定成立，即半線性空間中線性變換可能將線性無(wú)關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組.

引理2.1［9］設(shè)a1，…，an是交換半環(huán)上L-半線性空間V的一組基，b1，…，bn為V中任意n個(gè)向量，則存在唯一的線性變換A使得對(duì)任意i∈n，A（ai）=bi.

定義2.2設(shè)A、B為交換半環(huán)上L-半線性空間V 中的2 個(gè)線性變換，定義它們的乘積AB：?a∈V，（AB）（a）=A（B（a）），則AB 依然是線性變換.

與經(jīng)典線性代數(shù)一樣，在半線性空間中線性變換的乘法滿足結(jié)合律，但一般情況下，不滿足交換律，也不滿足消去律.

定義2.3設(shè)A、B為交換半環(huán)上L-半線性空間V 中的2 個(gè)線性變換，定義它們的加法A +B：?a∈V，（A+B）（a）=A（a）+B（a），則A+B依然是線性變換.

容易驗(yàn)證，半線性空間中線性變換的加法滿足交換律與結(jié)合律，線性變換的乘法對(duì)加法滿足左右分配律.

定義2.4設(shè)A為交換半環(huán)上L -半線性空間V的線性變換，若在L-半線性空間V上存在線性變換B使得AB =BA =E，則稱變換A 為可逆的，變換B稱為A的逆變換，記作A-1.

容易驗(yàn)證A-1也是線性變換，并且變換A 的逆是唯一的.

命題2.1在L-半線性空間V中，可逆線性變換把線性無(wú)關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無(wú)關(guān)的向量組.

證明在L-半線性空間V中，設(shè)向量組a1，a2，…，an線性無(wú)關(guān).若A 為V 中的可逆變換，接下來(lái)證明向量組A（a1），A（a2），…，A（an）也是線性無(wú)關(guān)的.

首先，不妨設(shè)向量組A（a1），A（a2），…，A（an）線性相關(guān)，且

A（a1）= k2A（a2）+… + knA（an），

其中k2，…，kn∈L，則根據(jù)線性變換定義有

定理2.1設(shè)A 為交換半環(huán)上有限生成的L-半線性空間V的線性變換，若A 是可逆的，則a1，…，an是基當(dāng)且僅當(dāng)A（a1），…，A（an）也是V的基.

證明必要性 由A 是可逆變換可知，對(duì)任意的y∈V，都存在向量x∈V 使得A（x）=y.不妨設(shè)a1，…，an是V的一組基，且，其中ki∈L，i∈n，則A（x）=y=k1A（a1）+…+knA（an）.

也就是說(shuō)，V 中任一向量都能被向量組A（a1），…，A（an）線性表出，并且由命題2.1 知，A（a1），…，A（an）線性無(wú)關(guān)，因此，A（a1），…，A（an）是V的一組基.

充分性 ?x∈V，有A（x）∈V，若A（a1），…，A（an）是V的一組基，則A（x）能表示成向量A（a1），…，A（an）的線性組合.不妨設(shè)A（x）= k1A（a1）+… + knA（an），其中

根據(jù)線性變換定義，有

又因?yàn)锳是可逆的，用A-1作用于上式兩端，則

也就是說(shuō)，任意向量x都能表示為向量組a1，…，an的線性組合，又由命題2.1 知，向量組a1，…，an是線性無(wú)關(guān)的，因此a1，…，an是V的一組基.

由例2.2 易見，定理2.1 中，A 是可逆的條件一般不可去.

推論2.1A 為交換半環(huán)上有限生成的L -半線性空間V的線性變換，若A 是可逆的，則a1，…，an是V的自由基當(dāng)且僅當(dāng)A（a1），…，A（an）也是V的自由基.

設(shè)A為交換半環(huán)上L-半線性空間V的線性變換，n為非負(fù)整數(shù)，定義，稱為A的n次冪.特別地，定義A0=E.若A2=A，則稱A為冪等線性變換.

命題2.2設(shè)A為交換半環(huán)上L -半線性空間V的可逆冪等線性變換，則A是單位變換.

證明因?yàn)锳為可逆線性變換，則有AA-1=E.又A為冪等線性變換，即A2=A，則

所以A=E.

3 線性變換的值域與核

設(shè)A為L(zhǎng)-半線性空間V的線性變換，記Im（A）=｛A（a）：a∈V｝，稱Im（A）為A的值域.記Ker（A）=｛a∈V：A（a）=0｝，稱Ker（A）為A的核.

不難證明，Im（A）與Ker（A）都是L-半線性空間V的子空間.

定義3.1設(shè)A為L(zhǎng)-半線性空間V的線性變換，W是V的子空間，若?a∈W 有A（a）∈W，則稱W是A的不變子空間.

命題3.1設(shè)A與B是L-半線性空間V的2 個(gè)線性變換，若BA = AB，則Im（A）與Ker（A）都是B的不變子空間.

證明1）?a∈Im（A），存在b∈A 使得a =A（b），于是B（a）=B（A（b））=（BA）（b）=（AB）（b）=A（B（b）），而B（b）∈V，則A（B（b））∈Im（A），即B（a）∈Im（A）.由不變子空間定義，Im（A）是B的不變子空間.

2）?a∈Ker（A），有A（a）=0.又BA =AB，則A（B（a））=（AB）（a）=B（A（a））=B（0）=0，即A（B（a））=0，于是B（a）∈Ker（A）.

由不變子空間定義，Ker（A）是B的不變子空間.

定理3.1設(shè)A 與B是L -半線性空間V 的2個(gè)線性變換，則A 與B 都是冪等的且Im（A）=Im（B）的充分必要條件是AB=B且BA=A.

證明必要性 設(shè)A 與B 都是冪等線性變換且Im（A）= Im（B），則?a ∈V，有B（a）∈Im（B）=Im（A）.存在一向量b∈V，使得B（a）=A（b），（AB）（a）=A（B（a））=A（A（b））=A2（b）=A（b）=B（a），即AB =B.同理可得BA=A.

充分性 ?a∈V，有A（a）∈Im（A）?V.由AB=B以及BA=A，可知A（a）=（BA）（a）= B（A（a））∈Im（B），從而Im（A）?Im（B）.同理可得Im（B）?Im（A），故

即線性變換A是冪等的.同理可得線性變換B 也是冪等的.

命題3.2設(shè)A 與B 是L -半線性空間V的2個(gè)線性變換，若AB=A且BA=B，則Ker（A）=Ker（B）.

證明?b∈Ker（A），由BA =B知，B（b）=（BA）（b）= B（A（b））= B（0）=0，所以b ∈Ker（B），從而有Ker（A）?Ker（B）.同理可得Ker（B）?Ker（A），即Ker（A）=Ker（B）.

注3.1一般說(shuō)來(lái)，命題3.2 的逆命題不成立.

例3.1設(shè)L=〈L，+，·，0，1〉為半環(huán)，其中L為圖1 所示的格，+ =∨，·=∧.在L-半線性空間V2中定義A；B，其中，a∈V2，

圖1 分配格Fig.1 Distributive lattice

定理3.2設(shè)A與B是有限生成的L-半線性空間V的2 個(gè)線性變換，則Im（B）?Im（A）的充分必要條件是存在線性變換C使得B=AC.

證明必要性 若Im（B）?Im（A）.設(shè)a1，…，an是V 的一組基，則存在V 中的一個(gè)向量組b1，…，bn使得B（a1，…，an）=（Ba1，…，Ban）=（Ab1，…，Abn）=A（b1，…，bn）.又由引理2.1知，存在V 中的線性變換C 使得C（a1，…，an）=（b1，…，bn），所以B（a1，…，an）=A（b1，…，bn）=AC（a1，…，an）.由于a1，…，an是L -半線性空間V的基，故B=AC.

充分性 假設(shè)V中存在線性變換C 使得B =AC，則?a∈V，有B（a）=AC（a）=A（C（a））.由于C（a）∈V，因此，A（C（a））∈A（V），即B（a）∈A（V），所以Im（B）?Im（A）.

注3.2定理3.2 中線性變換C一般不唯一.

例3.2考慮模8 的剩余類環(huán)上的線性空間V2，作V2上的線性變換A、B、C1、C2如下顯然

命題3.3設(shè)A與B是L-半線性空間V的2個(gè)線性變換，若在V中存在線性變換C使得CA=B，則Ker（A）?Ker（B）.

證明若在L-半線性空間V中存在線性變換C使得CA =B，則?a∈Ker（A），有A（a）=0，（CA）（a）=C（A（a））=C（0）=0，即B（a）=0，所以a∈Ker（B），即Ker（A）?Ker（B）.

注3.3一般說(shuō)來(lái)，命題3.3 的逆命題不成立.

例3.3設(shè)L為例3.1中半環(huán)，在L-半線性空間V2中定義A；B：，其中，a∈V2，

由定理3.2 與命題3.3 可得下面推論成立.

推論3.1設(shè)A與B是有限生成的L-半線性空間V的2 個(gè)線性變換，則Im（AB）?Im（A），Ker（B）?Ker（AB）.

定理3.3設(shè)A與B是L-半線性空間V的2 個(gè)線性變換，Im（B）?Ker（A）的充分必要條件是AB=O.特別地，Im（A）?Ker（A）的充分必要條件是A2=O.

證明必要性 因?yàn)橛蠭m（B）?Ker（A），?a∈V，則B（a）∈Im（B）?Ker（A），即A（B（a））=（AB）（a）=0.

由a的任意性知AB=O.

充分性 設(shè)AB=O，在Im（B）中任取一向量B（a），a∈V，則A（B（a））=（AB）（a）=O（a）=0.

因此B（a）∈Ker（A），即Im（B）?Ker（A）.

特別地，令B=A，則有

由定理3.3 易見下面推論成立.

推論3.2設(shè)A與B是L-半線性空間V的2 個(gè)線性變換，則B（Ker（AB））?Ker（A）.特別地，A（Ker（A2））?Ker（A）.

推論3.3設(shè)A與B是L-半線性空間V的2 個(gè)線性變換，若A2=O 且Im（B）=Im（A），則AB=O且Im（B）?Ker（A）.

證明若A2=O，則由定理3.3 知，Im（A）?Ker（A），又Im（B）=Im（A），所以有Im（B）=Im（A）?Ker（A）.

再根據(jù)定理3.3 得AB=O.

根據(jù)定理3.3 及推論3.3 得下面推論成立.

推論3.4設(shè)A 與B是L -半線性空間V 的2個(gè)線性變換，若A2=B2=O 且Im（B）=Im（A），則AB=BA=O且

設(shè)V1、V2是L-半線性空間V的子空間，所謂V1與V2的和，是指由所有能表示為（其中x1∈V1，x2∈V2）的向量組成的子集合，記作

推論3.5設(shè)A與B是L-半線性空間V的2 個(gè)線性變換，則A2=B2=O 與AB =BA =O同時(shí)成立的充分必要條件是

證明因?yàn)锳2=B2=O，AB =BA =O，則根據(jù)定理3.3 知

因此

從而

反之，設(shè)

則

由定理3.3 得

定理3.4設(shè)A與B是L-半線性空間V的2個(gè)線性變換，則Ker（A）?Im（B）的充分必要條件是Ker（A）=B（Ker（AB））.特別地，Ker（A）?Im（A）的充分必要條件是

證明必要性 設(shè)Ker（A）?Im（B），?a∈Ker（A），有A（a）=0.由于a∈Ker（A）?Im（B），所以a∈Im（B），則存在向量b∈V，使a=B（b）.因此（AB）（b）= A（B（b））= A（a）=0，所以b ∈Ker（AB）.從而有a=B（b）∈B（Ker（AB）），又a∈Ker（A），所以Ker（A）?B（Ker（AB））.

另一方面，若?c∈B（Ker（AB）），則存在向量d∈Ker（AB）使得B（d）=c，（AB）（d）=0.因此A（c）= A（B（d））=（AB）（d）=0，即c∈Ker（A），所以B（Ker（AB））?Ker（A），即

充分性 設(shè)Ker（A）=B（Ker（AB）），顯然Ker（A）= B（Ker（AB））?Im（B）.特別地，令B=A，顯然

定理3.5設(shè)A為有限生成的L -半線性空間V的線性變換，若A 是單變換，則Im（A）的基的原像構(gòu)成V的基.

證明由題設(shè)易知Im（A）= V，因此結(jié)論成立.

注3.4一般說(shuō)來(lái)，定理3.5 中單變換條件不可去.