白進(jìn)忠

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是研究和解決數(shù)學(xué)問題的重要工具,它為我們解決曲線與曲線之間距離的最值問題提供了便利.本文從探究一道高考題出發(fā),總結(jié)求解這類題型的通法.

圖1

通常解題時都離不開距離的“垂直性”和“最近性”,而“最近性”就是求距離的最小值，平面上點(diǎn)與直線(曲線)、直線與直線(曲線)、曲線與曲線的距離問題通常都是求距離的最小值,這是高考的常考題型.

1 可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題

1.1 求曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離

圖2

1.2 求曲線上一點(diǎn)到另一條曲線上一點(diǎn)的最短距離

圖3

2 可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題

2.1 求直線與曲線的水平距離問題

圖4

2.2 求直線與曲線的鉛垂線距離問題

圖5

|MN|=|y1-y2|=
|a2-lna|=a2-lna(a>0).

3 可轉(zhuǎn)化為直線與曲線間距離問題

①

c-d-2=0,

②

圖6

在①中，設(shè)b=y,a=x,則y=x3-2lnx(x>0),在②中，設(shè)d=y,c=x,則y=x-2,易知(a-c)2+(b-d)2表示曲線y=x3-2lnx與直線y=x-2上兩點(diǎn)之間的最小距離的平方,圖象如圖6.

總之,曲線與曲線之間的距離問題,利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距離問題,再利用導(dǎo)數(shù)法來求距離的最值.解題目標(biāo)清楚,解題思路清晰,圖象直觀,方法簡單明了,有利于促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升.