林騰蛟，趙子瑞，江飛洋，陳兵奎

（重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044）

齒輪系統(tǒng)作為機械裝置中最為廣泛的動力和運動傳遞形式，正朝著大功率、高轉(zhuǎn)速、低噪聲和輕量化方向發(fā)展.在高速重載工況下，由于嚙合齒面相對滑動速度大，瞬時溫升高，直接影響齒輪系統(tǒng)內(nèi)部的溫度分布，引起結(jié)構(gòu)熱應力及熱變形，進而對齒輪嚙合剛度產(chǎn)生較大影響，而準確高效的嚙合剛度計算方法又是齒輪系統(tǒng)動力學分析的關鍵.因此，綜合考慮溫度影響，開展斜齒輪時變嚙合剛度解析算法研究，對高速重載齒輪系統(tǒng)動力學設計有著重要的工程意義.

近年來，對于齒輪系統(tǒng)時變嚙合剛度的研究非?；钴S.在解析算法方面，Cui等[1]、Chaari等[2]和Liang等[3]基于材料力學理論，運用勢能法計算了直齒輪的嚙合剛度；在直齒輪嚙合剛度算法的基礎上，Wan等[4]提出了一種累積積分勢能法計算斜齒輪的嚙合剛度，并研究了齒輪參數(shù)與齒根裂紋對嚙合剛度的影響；萬志國等[5]、劉文等[6]考慮了基圓與齒根圓不重合的問題，運用勢能法分別提出了求解直齒輪及斜齒輪嚙合剛度的改進算法.在有限元法方面，Cooley等[7]、Liang等[8]提出了多種基于有限元法的直齒輪時變嚙合剛度計算方法，并評估了各種方法的應用條件及優(yōu)缺點；Fernandez等[9-10]和Ma等[11]綜合考慮加工誤差、齒頂修形或齒輪摩擦等非線性因素，采用有限元法與彈性接觸理論相結(jié)合的方式，計算了直齒輪的時變嚙合剛度.在考慮溫度效應方面，茍向鋒等[12]建立了由齒面接觸溫度變化引起直齒輪齒廓形變的數(shù)學表征，而后基于Hertz接觸理論研究了接觸溫度對直齒輪嚙合剛度的影響；羅彪等[13]基于石川模型，將輪齒齒廓簡化為由梯形和矩形組成的當量齒形，綜合考慮溫度對直齒輪剛度的影響，引入了熱剛度的概念，并提出了一種直齒輪熱剛度的解析算法，計算結(jié)果與有限元法基本吻合.目前有關考慮溫度效應的齒輪嚙合剛度研究已取得一定的成果，但有限元法計算規(guī)模較大，解析法僅針對直齒輪開展了相關研究，關于考慮溫度效應的斜齒輪時變嚙合剛度解析算法鮮有報道.

在上述研究成果的基礎上，本文以斜齒輪副為研究對象，提出一種考慮溫度效應的斜齒輪嚙合剛度解析算法.將輪齒簡化為齒根圓上的變截面懸臂梁，基于切片法和積分思想，在考慮基圓與齒根圓不重合因素的同時，計入齒面接觸溫度變化引起的輪齒齒廓形變，以確保嚙合剛度計算結(jié)果準確性；而后分析摩擦因數(shù)、輸入轉(zhuǎn)矩、輸入轉(zhuǎn)速等工況參數(shù)對斜齒輪嚙合剛度的影響規(guī)律.

1 考慮熱變形的斜齒輪端面齒廓方程

1.1 斜齒輪基體熱變形

斜齒輪副達到熱平衡狀態(tài)后，本體溫度場基本穩(wěn)定，但各處溫度非均一.對于齒輪基體，盡管本體溫度場穩(wěn)定，但與輪齒相固聯(lián)的基體部分溫度不同，因此將斜齒輪基體溫度場處理為無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)非均勻溫度場，其在柱面坐標系下的導熱微分方程為[14]：

式中：T為斜齒輪基體內(nèi)任意點的溫度；r、φ、z分別為柱面坐標系中的坐標分量；λ為材料熱膨脹系數(shù).

假定斜齒輪副嚙合為理想接觸，沿齒面無偏載，且輪齒膨脹導致齒側(cè)間隙減小后仍可保證最小油膜厚度.設熱平衡狀態(tài)下，斜齒輪基體溫度僅隨徑向坐標r變化，即一維穩(wěn)態(tài)溫度場，則導熱微分方程（1）可簡化為：

其積分解為：

式中：C1、C2均為積分常量.滿足熱力學第一類邊界條件，即r=Ri時，T=T（Ri）；r=R0時，T=T（R0），將其代入微分方程通解（3）中解得斜齒輪基體溫度為：

式中：Ri為斜齒輪的軸孔半徑；T（Ri）為熱平衡時斜齒輪的軸孔溫度；R0=max（Rb，Rf），Rb為基圓半徑，Rf為齒根圓半徑；T（R0）為熱平衡時基體相應柱面的溫度.

當不考慮外力、表面殘余應力等因素的作用，即認為柱體的應力僅由溫度改變而引起的，按位移法求解基體的熱變形，得到基體徑向位移函數(shù)為：

式中：u為基體內(nèi)任一點的徑向位移；υ為泊松比.

當Rb＞Rf時，有R0=Rb，令r=Rb，將式（4）代入式（5）可得熱平衡時斜齒輪基圓的熱變形量：

同理，令r=Rf，可得熱平衡時齒根圓的熱變形量：

當Rf＞Rb時，則有R0=Rf，令r=Rb，將式（4）代入式（5）可得熱平衡時斜齒輪基圓的熱變形量：

同理，令r=Rf，可得熱平衡時齒根圓的熱變形量：

1.2 熱平衡時斜齒輪的端面齒廓方程

當斜齒輪受熱變形時，基圓半徑增加，齒輪實際齒廓在齒厚和齒高方向都將發(fā)生熱膨脹，其中端面齒廓如圖1所示.僅考慮齒面接觸溫度對齒廓曲線的影響，則實際端面齒廓上任一點的半徑為：

根據(jù)幾何關系，展角改變量為：

圖1 斜齒輪端面齒廓熱膨脹示意圖Fig.1 Sketch map of thermal expansion of gear transverse profile

斜齒輪熱變形后端面齒廓極坐標參數(shù)方程為：

式中：αK、RK分別為不計熱變形時端面齒廓上任一點K的壓力角和半徑；sK為不計熱變形時端面齒廓上任意圓的齒厚；ΔT為嚙合齒面瞬時閃溫，其表達式為[12]：

式中：ψT為斜齒輪溫升系數(shù)；fm為平均摩擦因數(shù)；fe為單位齒寬上的齒面法向載荷；vi、gi、ρi、ci（i=1，2）分別為主、從動輪的齒面切向速度、熱傳導系數(shù)、材料密度以及比熱容；Bc為接觸帶半寬.

2 考慮溫度效應的時變嚙合剛度算法

嚙合剛度是隨嚙合齒數(shù)和輪齒接觸位置周期變化的時變函數(shù)，由于斜齒輪存在螺旋角，嚙合過程由輪齒一端面進入嚙合到另一端面退出嚙合，接觸線長度具有時變性，其嚙合剛度算法與直齒輪不同.基于積分方法，將其輪齒沿齒寬方向切分成若干薄片，每一薄片可近似視為直齒輪，通過計算各薄片的嚙合剛度并積分，即可得到斜齒輪嚙合剛度.

綜合考慮輪齒接觸、彎曲、剪切、軸向壓縮及基體彈性剛度，采用能量法計算斜齒輪副嚙合剛度，其綜合嚙合剛度可表示為：

式中：kb為彎曲剛度；ks為剪切剛度；ka為軸向壓縮剛度；kf為基體彈性剛度；kh為接觸剛度.

2.1 彎曲、剪切及軸向壓縮剛度

對于高速重載齒輪傳動，由于嚙合齒面瞬時溫升較高，斜齒輪實際截面齒廓已不再滿足理論漸開線方程，存在較大的非漸開線誤差.由于未考慮溫度效應的斜齒輪嚙合剛度算法是基于漸開線基本性質(zhì)推導的，對于計及熱變形的嚙合剛度計算不再適用，為此需重新推導考慮溫度效應的斜齒輪嚙合剛度.

將輪齒假設為齒根圓上的懸臂梁，如圖2所示，采用直線CC1和DD1簡化表示齒根處齒廓.

圖2 考慮溫度效應的斜齒輪輪齒懸臂梁模型Fig.2 Cantilever beam model of helical gear tooth considering temperature effect

將端面齒廓的極坐標參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至隨動笛卡爾坐標系S（x，y，z）下.利用坐標變換，可得如下轉(zhuǎn)換關系：

采用切片方法，厚度為dy的每一薄片輪齒的彎曲剛度可表示為：

當Rb＞Rf時，相關表達式為：

式中：αm（y）表示不計熱變形時斜齒輪端面齒廓矢徑在z軸的投影為h（y）時對應的壓力角，其中h（y）為嚙合點和齒輪中心線的距離，是軸向坐標y的函數(shù).

將以上變量代入式（16）得到每一薄片輪齒的彎曲剛度dkb，而后對其積分即可得到考慮溫度效應的斜齒輪彎曲剛度kb：

式（18）不可積分，因此采用求和方法替代積分方法求解斜齒輪的嚙合剛度，于是斜齒輪彎曲剛度kb可重新表示為：

式中：Δy=l/N；l為時變接觸線長度L在齒寬方向上的投影，l=Lcosβb；N為斜齒輪沿齒寬方向切分的切片份數(shù).根據(jù)單齒接觸線長度表達形式[6]，（y）的求解方法如下.

當端向重合度大于軸向重合度（εα＞εβ）時，嚙合力F與主動輪輪齒中心線垂直方向的夾角為：

其中，α1t（t）為在主動輪端面齒廓上對應的角度，其表達式為：

式中：αc1為主動輪進入嚙合時端面齒廓處的壓力角.可由下式計算得到：

式中：a′代表實際中心距；α′表示嚙合角；αat2為從動輪端面齒頂圓壓力角.

其中，α2t（t）為在從動輪端面齒廓上對應的角度，其表達式為：

同理，當端向重合度小于軸向重合度（εα<εβ）時，嚙合力F與主動輪輪齒中心線垂直方向的夾角為：

同求解彎曲剛度kb的過程類似，考慮溫度效應的斜齒輪剪切剛度ks和軸向壓縮剛度ka分別為：

式中：D=（Rb+ub）cosα2-（Rf+uf）cosα3.

當Rb

式中：αf為齒根圓壓力角.

2.2 基體彈性剛度

將每一片輪齒薄片的基體剛度對y進行積分，即可得到輪齒基體剛度[2]，其表達式為：

式中：L*、M*、P*、Q*均為尺寸系數(shù)，其計算式參見文獻[2].ur和Sr如圖2（a）所示，其表達式為：

ur=x[αm（y）]-（Rf+uf）

Sr=2（Rf+uf）α3

2.3 赫茲接觸剛度

根據(jù)赫茲接觸理論，嚙合斜齒輪副的赫茲接觸剛度kh可表示為：

式中：E為彈性模量；L為時變接觸線長度.

3 計及溫度影響的時變嚙合剛度計算

表1給出了一對斜齒輪副的基本參數(shù)，綜合考慮溫度對嚙合剛度的影響，分別采用本文中的解析算法和有限元法計算斜齒輪的時變嚙合剛度，以驗證解析算法的準確性.

表1 斜齒輪副基本參數(shù)Tab.1 Basic parameter of helical gear pair

3.1 考慮溫度效應的斜齒輪嚙合剛度計算結(jié)果

采用本文給出的解析算法，計算考慮溫度影響前后斜齒輪的時變嚙合剛度，得到如圖3所示的單齒嚙合剛度和綜合嚙合剛度曲線，圖中橫坐標τ為無量綱時間，表示輪齒從嚙入到嚙出的整個過程，τ=t/tε，其中t為時間變量，tε為單齒嚙合時間.

圖3 考慮溫度影響前后嚙合剛度對比曲線Fig.3 Comparison curve of mesh stiffness with and without temperature effect

由圖3可知，考慮溫升影響后，由于齒廓熱膨脹導致齒側(cè)間隙減小，輪齒接觸區(qū)域變大，接觸區(qū)域平均變形量減小，故斜齒輪副從嚙入到嚙出整個過程的嚙合剛度均有所增大.其中，單齒嚙合剛度在嚙入和嚙出端的增大量較小，在節(jié)點附近的增大量較大，最大值由2.592×109N/m增至2.878×109N/m；綜合嚙合剛度均值由3.726×109N/m增至4.117×109N/m.

3.2 斜齒輪副嚙合剛度有限元模型

主、從動輪齒面摩擦熱流密度由齒面摩擦因數(shù)、相對速度和齒面接觸壓力確定，其計算式分別為：

式中：pNc為嚙合齒面的接觸壓力；β為主、從動輪熱流密度的分配因子，其計算式參見文獻[15].

齒輪對流換熱系數(shù)可分為齒輪端面對流換熱系數(shù)ht及齒面對流換熱系數(shù)hs兩類.將端面對流換熱簡化為旋轉(zhuǎn)圓盤的對流換熱求解，其計算式為[15]：

式中：Nur為Nusslet系數(shù)；ζ為指數(shù)常數(shù)；Re為雷諾數(shù)；υ0為潤滑油的運動黏度.

由間歇冷卻理論可得齒面對流換熱計算式為[15]：

式中：qtot為標準化總冷卻量的漸近水平；η0=g0/ρ0c0為熱擴散系數(shù)；g0、ρ0、c0分別為潤滑油的熱傳導系數(shù)、密度和比熱容；A為齒面表面積.

利用APDL參數(shù)化語言建立嚙合斜齒輪副三維實體模型，采用SOLID70單元以及SURF152單元進行有限元網(wǎng)格劃分，施加嚙合齒面摩擦熱流密度以及齒輪端面和齒面對流換熱系數(shù)，求解斜齒輪副的本體溫度場，計算結(jié)果如圖4所示；而后采用靜態(tài)接觸分析方法，對主動輪內(nèi)圈節(jié)點施加轉(zhuǎn)矩，并約束其軸向和徑向位移；對從動輪內(nèi)圈節(jié)點施加全約束；同時將溫度場結(jié)果以載荷形式施加至有限元模型，通過提取齒輪副在嚙合周期內(nèi)的法向載荷以及綜合變形，如圖5所示，計算斜齒輪副的時變嚙合剛度，其計算式為：

式中：Fn為嚙合齒面的法向載荷；δn為計及溫度影響后主從動齒輪在嚙合區(qū)域的綜合變形.

圖4 主動輪本體溫度分布Fig.4 Bulk temperature distribution of driving gears

圖5 主動輪綜合變形云圖Fig.5 Integrated deformation nephogram of driving gears

3.3 嚙合剛度算法對比驗證

對比本文所提解析算法和有限元法的計算結(jié)果，得到如圖6所示考慮溫度效應的斜齒輪單齒嚙合剛度曲線.由圖6可知，解析算法與有限元法計算結(jié)果在節(jié)點附件最為接近，在嚙入和嚙出端誤差相對較大，二者的變化趨勢完全一致，單齒嚙合剛度最大值分別為2.878×109N/m和3.020×109N/m，單齒嚙合剛度平均值誤差為11.59%，誤差在可接受范圍內(nèi).

圖6 單齒嚙合剛度對比曲線Fig.6 Comparison curve of single mesh stiffness

4 工況參數(shù)對斜齒輪嚙合剛度影響分析

工況參數(shù)將影響齒輪的本體溫度場，進而引起輪齒時變嚙合剛度的變化.本節(jié)針對表1所示的斜齒輪副，通過改變摩擦因數(shù)、輸入轉(zhuǎn)矩和輸入轉(zhuǎn)速，開展考慮溫度效應的時變嚙合剛度影響規(guī)律研究.

4.1 摩擦因數(shù)

摩擦因數(shù)增大將引起齒面摩擦熱流量增加，進而使齒輪本體溫度及嚙合齒面瞬時閃溫升高.選取摩擦因數(shù)f的變化范圍為0.03～0.07，不同摩擦因數(shù)下的單齒嚙合剛度和綜合嚙合剛度均值分別如圖7所示.由圖7可知，考慮溫度影響后，隨著摩擦因數(shù)的增大，單齒嚙合剛度整體上呈增大趨勢；由于摩擦因數(shù)增大不影響齒輪副的重合度，因此綜合嚙合剛度均值也隨單齒嚙合剛度的增大而增大.當摩擦因數(shù)f由0.03增至0.07時，嚙合剛度均值由3.858×109N/m增至4.311×109N/m，提高了11.74%.

圖7 不同摩擦因數(shù)下的斜齒輪嚙合剛度Fig.7 Mesh stiffness of helical gears with different friction coefficients

4.2 輸入轉(zhuǎn)矩

輸入轉(zhuǎn)矩增大使齒面接觸壓力增大，進而使齒面摩擦熱流量增加，齒輪本體溫度及嚙合齒面瞬時閃溫隨之升高.保持輸入轉(zhuǎn)速1 200 r/min不變，輸入轉(zhuǎn)矩T變化范圍為12～36 kN·m，不同轉(zhuǎn)矩下的單齒嚙合剛度和綜合嚙合剛度均值分別如圖8所示.由圖8可知，考慮溫度影響后，隨著載荷的增大，輪齒接觸跡線增長，單位線載荷減小，單齒嚙合剛度隨之增大；由于接觸跡線增長一定程度上使齒輪副的重合度增加，因此綜合嚙合剛度均值接近線性規(guī)律增大.當輸入轉(zhuǎn)矩T由12 kN·m增至36 kN·m時，嚙合剛度均值由3.586×109N/m增至4.454×109N/m，提高了24.21%.

圖8 不同輸入轉(zhuǎn)矩下的斜齒輪嚙合剛度Fig.8 Mesh stiffness of helical gears with different input torques

4.3 輸入轉(zhuǎn)速

輸入轉(zhuǎn)速增大使齒面切向速度增大，從而使齒輪本體溫度及嚙合齒面瞬時閃溫也相應升高.保持輸入轉(zhuǎn)矩24 kN·m不變，輸入轉(zhuǎn)速n的變化范圍為1 200～6 000 r/min，不同輸入轉(zhuǎn)速下的單齒嚙合剛度和綜合嚙合剛度均值分別如圖9所示.可以看出，考慮溫度影響后，隨著輸入轉(zhuǎn)速的增大，單齒嚙合剛度及綜合嚙合剛度均值隨之增大，且增大幅度有所減小.當輸入轉(zhuǎn)速n由1 200 r/min增至6 000 r/min時，嚙合剛度均值由4.118×109N/m增至4.554×109N/m，提高了10.59%.

圖9 不同輸入轉(zhuǎn)速下的斜齒輪嚙合剛度Fig.9 Mesh stiffness of helical gears with different input speeds

5 結(jié)論

1）將輪齒簡化為齒根圓上的變截面懸臂梁，計入齒面接觸溫度變化引起的輪齒齒廓形變，基于勢能法提出了一種考慮溫度效應的斜齒輪嚙合剛度解析算法，通過與有限元法計算結(jié)果對比分析，驗證了解析算法的準確性，提升了斜齒輪嚙合剛度的計算效率.

2）考慮斜齒輪溫升影響后，輪齒從嚙入到嚙出整個過程的嚙合剛度均有所增大.對于單齒嚙合剛度，在嚙入和嚙出端增大量較小，在節(jié)點附近增大量較大.

3）通過不同摩擦因數(shù)、輸入轉(zhuǎn)矩、輸入轉(zhuǎn)速等工況參數(shù)對斜齒輪嚙合剛度的影響分析，得出考慮溫度效應后單齒嚙合剛度及綜合嚙合剛度均值均隨上述工況參數(shù)的增大而增大，其中輸入轉(zhuǎn)矩對嚙合剛度的影響最大.