袁集海，張祥敏，陳昌萍?

（1.廈門大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，福建 廈門361005；2.廈門理工學(xué)院 土木工程與建筑學(xué)院，福建 廈門361024）

微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）因其優(yōu)越的性能而被廣泛應(yīng)用于通訊、航空航天、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域.微板結(jié)構(gòu)是MEMS中主要的結(jié)構(gòu)之一，其主要應(yīng)用于微泵、微鏡和微麥克風(fēng)等.然而，MEMS微板尺寸微小，在工作的過(guò)程中抵抗外界因素如：溫度[1]、濕度[2]和微結(jié)構(gòu)之間的微觀力[3-4]影響的能力較差，微板結(jié)構(gòu)會(huì)與固定極板發(fā)生吸合現(xiàn)象，簡(jiǎn)稱坍塌（Pull-in）[5].近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)微結(jié)構(gòu)的坍塌現(xiàn)象進(jìn)行了研究并取得了一定的成果.陳昌萍等[6]研究了壓電層合微梁的靜力坍塌特性，并分析了控制電壓對(duì)坍塌電壓的影響.Sadeghian等[7]采用微分求積法和伽遼金法對(duì)夾支梁的坍塌不穩(wěn)定性進(jìn)行了分析和對(duì)比.考慮幾何非線性，Ghayesh等[8]和Farokhi等[9]研究了靜力驅(qū)動(dòng)微板結(jié)構(gòu)微機(jī)電系統(tǒng)的坍塌特性和非線性動(dòng)力特性.基于修正偶應(yīng)力理論，Kazemi等[10]研究了層合壓電微板的非線性坍塌不穩(wěn)定性.

以上研究主要基于經(jīng)典彈性理論，研究表明微結(jié)構(gòu)具有尺度效應(yīng)[11].另外，MEMS器件在惡劣的環(huán)境下工作也會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷，而目前以具損傷微板結(jié)構(gòu)為對(duì)象的研究成果很少見.本文以具損傷彈性微板為研究對(duì)象，討論了尺度效應(yīng)、邊緣場(chǎng)效應(yīng)等因素對(duì)微板坍塌電壓的影響.

1 基本方程

根據(jù)Yang等[12]提出的修正偶應(yīng)力理論，應(yīng)變能可用應(yīng)力和偶應(yīng)力表示為：

式中：σij、mij分別為應(yīng)力張量和偶應(yīng)力張量；εij、χij分別為應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)梯度張量.分別定義為：

式中：i、j、k=x或y；ui為位移分量；δij為克羅內(nèi)克爾符號(hào)；E、G、υ分別為彈性模量、剪切模量和泊松比；l為特征尺度參數(shù)；D為損傷變量[13]；θi為轉(zhuǎn)動(dòng)矢量且表示為：

式中：eijk為置換符號(hào).

考慮如圖1所示直角坐標(biāo)系oxyz下的彈性微板，微板中點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，其長(zhǎng)度為2a，寬度為2b，厚度為h，密度為ρ，初始時(shí)刻微板與基底之間的距離為d，且兩者之間的電勢(shì)差Vc，參考平面取為微板中面z=0.

圖1 微板模型Fig.1 Schematic of the micro-plate

不考慮幾何非線性，由Kirchhoff假設(shè)，微板任意一點(diǎn)的位移u1、u2、u3可分別表示為：

式中：w（x，y，t）為微板撓度.將式（7）代入式（4）（5）可以得到應(yīng)變分量和旋轉(zhuǎn)梯度分量：

由應(yīng)力和偶應(yīng)力引起的彎矩分量為：

用撓度表示為：

式中：D0、Dl分別為傳統(tǒng)彎曲剛度和旋轉(zhuǎn)梯度對(duì)彎曲剛度的貢獻(xiàn).分別表示為：

根據(jù)Hamilton原理，得

式中：T、U、W分別為系統(tǒng)的動(dòng)能、應(yīng)變能和外力所做的功.且

式中：Fz為電場(chǎng)力（考慮邊緣場(chǎng)效應(yīng)），且

將式（17）～（19）代入式（16）可得到微板的動(dòng)力學(xué)方程為：

相應(yīng)的邊界條件為：

將彎矩表達(dá)式（12）（13）代入式（21）可得到用撓度表示的運(yùn)動(dòng)方程為：

引入下列無(wú)量綱參數(shù)：

式中：V0為單位電壓.

采用泰勒級(jí)數(shù)展開對(duì)電場(chǎng)力進(jìn)行處理并保留前8項(xiàng)，將處理后的電場(chǎng)力代入運(yùn)動(dòng)方程并進(jìn)行無(wú)量綱化.

MEMS結(jié)構(gòu)廣泛采用夾支邊界[14]，本文采用四邊夾支矩形微板，其無(wú)量綱邊界條件為：

假設(shè)方程（25）滿足邊界條件（26）的解為：

對(duì)方程（25）進(jìn)行伽遼金積分可得無(wú)量綱形式常微分動(dòng)力學(xué)方程.

2 結(jié)果與討論

若沒(méi)有特殊說(shuō)明，算例中的幾何參數(shù)和物理參數(shù)如表1[15]所示.本文僅研究靜力坍塌，忽略動(dòng)力項(xiàng)后運(yùn)動(dòng)方程為：

表1 微板幾何參數(shù)和物理參數(shù)Tab.1 Geometric and material properties of the micro-plate

為了驗(yàn)證本文計(jì)算方法的合理性，在不考慮損傷和尺度效應(yīng)的情況下，將本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖2所示.從圖2中可以看出，文獻(xiàn)[15]的結(jié)果和文獻(xiàn)[16]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文結(jié)果吻合得較好，說(shuō)明本文的計(jì)算方法是可靠的.

圖2 本文結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of results between present and literatures

圖3給出了損傷效應(yīng)對(duì)板中點(diǎn)撓度和坍塌電壓的影響.其中，圖3（a）給出了不同損傷變量對(duì)撓度電壓曲線的影響（l/h=0.5）；圖3（b）給出了特征尺度參數(shù)l/h=0.5（本文模型）和l/h=0（經(jīng)典模型）時(shí)損傷變量對(duì)坍塌電壓的影響.從圖3（a）可知，隨著外電壓的增大，板中點(diǎn)撓度也不斷增大；當(dāng)外電壓達(dá)到坍塌電壓時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌現(xiàn)象.從圖3（b）可以看出，損傷變量增大，坍塌電壓減小.損傷會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度減小，結(jié)構(gòu)抵抗變形能力變?nèi)?，因此坍塌電壓?huì)隨損傷變量增大而減小.根據(jù)坍塌電壓的變化可以從一定程度上識(shí)別微板損傷.

圖3 損傷效應(yīng)對(duì)板中點(diǎn)撓度和坍塌電壓的影響Fig.3 Damage effect on center deflection and pull-in voltage

圖4給出了尺度效應(yīng)對(duì)板中點(diǎn)撓度和坍塌電壓的影響.其中，圖4（a）為不同特征尺度參數(shù)對(duì)撓度電壓曲線的影響（D=0.5）；圖4（b）為損傷變量D=0.2時(shí)本文模型和經(jīng)典模型（l/h=0）坍塌電壓隨特征尺度參數(shù)變化曲線.從圖4可以看出，尺度參數(shù)變大，坍塌電壓也會(huì)增大.與損傷效應(yīng)相反，尺度效應(yīng)的存在會(huì)增加微板結(jié)構(gòu)的剛度，微板結(jié)構(gòu)抵抗變形的能力增強(qiáng)，因此坍塌電壓增大.基于以上分析可知，尺度效應(yīng)是不可忽視的，尤其是當(dāng)微板厚度較小的時(shí)候，微板厚度越小，尺度效應(yīng)越明顯.

圖4 尺度效應(yīng)對(duì)板中點(diǎn)撓度和坍塌電壓的影響Fig.4 Size effect on center deflection and pull-in voltage

圖5給出了初始間距對(duì)板中點(diǎn)撓度和坍塌電壓的影響.其中，圖5（a）為不同初始間距對(duì)撓度電壓曲線的影響（損傷變量和特征尺度參數(shù)分別為0.2和0.5）；圖5（b）給出了本文模型（l/h=0.5）和經(jīng)典模型（l/h=0）坍塌電壓隨初始間距變化曲線（損傷變量取0.2）.由圖5可知，坍塌電壓隨著初始間距的增大而大幅增加.這是由于在電壓不變的情況下電場(chǎng)力中的系數(shù)α與初始間距的立方d3呈反比.故初始間距增大會(huì)急劇減小電場(chǎng)力的大小.

圖5 初始間距對(duì)板中點(diǎn)撓度和坍塌電壓的影響Fig.5 Influence of initial gap on center deflection and pull-in voltage

表2給出了邊緣場(chǎng)效應(yīng)對(duì)坍塌電壓的影響.由表2可以看出，考慮邊緣場(chǎng)效應(yīng)時(shí)的坍塌電壓比不考慮邊緣場(chǎng)效應(yīng)時(shí)的坍塌電壓略小.從電場(chǎng)力的表達(dá)式（式（20））可知，邊緣場(chǎng)效應(yīng)會(huì)提供微結(jié)構(gòu)額外的電場(chǎng)力作用，因此考慮邊緣場(chǎng)效應(yīng)時(shí)的坍塌電壓會(huì)略微減小.

表2 邊緣場(chǎng)效應(yīng)對(duì)坍塌電壓的影響Tab.2 Fringing effect on pull-in voltage

3 結(jié)論

本文通過(guò)數(shù)值計(jì)算對(duì)夾支微板在電場(chǎng)力作用下坍塌特性進(jìn)行分析，并將所得結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了本文模型的合理性，討論了損傷效應(yīng)、尺度效應(yīng)、邊緣場(chǎng)效應(yīng)以及初始間距對(duì)微板坍塌電壓的影響.研究結(jié)果表明，損傷效應(yīng)會(huì)減小坍塌電壓，而尺度效應(yīng)會(huì)增大坍塌電壓，坍塌電壓會(huì)隨著初始間距的增大而大幅增加，考慮邊緣效應(yīng)時(shí)坍塌電壓會(huì)稍微減小但變化不大.本文所得結(jié)果對(duì)電致驅(qū)動(dòng)微板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義.