朱建平　袁衛(wèi)剛

[摘要]“異面直線所成角”是蘇教版教材中幾何模塊的一個核心概念，具有較好的教學價值與教育功能異面直線所成角的概念教學可從引入、建構(gòu)、抽象概括、提煉表述和應(yīng)用理解等環(huán)節(jié)去完整地體現(xiàn)數(shù)學概念的教學過程.

[關(guān)鍵詞]異面直線所成角;課堂教學;反思;重構(gòu)

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0006-02

一、教材內(nèi)容分析

“異面直線所成角”“直線與平面所成角”“二面角”是立體幾何中的重要內(nèi)容，這些角的計算主要是利用空間矢量來完成.本節(jié)課要研究的“異面直線所成角”的概念，主要是為引出“兩條異面直線垂直”的概念，為下面研究直線與平面垂直打下基礎(chǔ).蘇教版教材“空間兩條直線的位置關(guān)系”開頭給出了異面直線的定義，后面在“異面直線”部分安排了兩條異面直線的判定方法、異面直線所成角定義以及空間兩直線垂直的定義，只安排了一個例題.可見，教材中明顯淡化了異面直線所成角定義以及異面直線所成角的計算.

“異面直線所成角”的概念可以從引入、建構(gòu)、抽象概括、提煉表述、應(yīng)用理解等環(huán)節(jié)完整地體現(xiàn)數(shù)學概念的教學過程.教學中，學生有自我發(fā)現(xiàn)、自主探究、感悟知識和方法的獲得過程.因此，“異面直線所成角”是蘇教版教材中幾何模塊的一個核心概念，具有較好的教學價值與教育功能.

二、概念形成過程的反思與重構(gòu)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

“異面直線所成角”如何有效引入？在教學過程中，如何讓學生體會研究“異面直線所成角”的必要性，明確概念發(fā)展的意義？有些教師在情境創(chuàng)設(shè)、課堂引入環(huán)節(jié)的做法值得進一步分析和探討.

1.教學現(xiàn)狀及反思

情形一，讓學生觀察正方體的棱及對角線，找出不同的異面直線，觀察每組異面直線的相對位置關(guān)系，以期引出研究異面直線的距離和所成角的必要性.這樣做的好處是能夠借助正方體的表面或?qū)敲?，比較清晰地認清兩條直線異面的屬性.但是，由于兩條異面直線都是“鑲嵌”在正方體中，在對這兩條異面直線位置關(guān)系的觀察上需要較強的空間想象力，對不同的兩對異面直線之間位置關(guān)系的比較會給學生造成一定的困難，影響后續(xù)概念的建構(gòu).

情形二，利用教室內(nèi)桌子和黑板的邊緣、日光燈、墻面交線等形成的兩條異面直線的位置關(guān)系來引入.一方面，學生需要從實物中抽象出直線，增加想象的過程;另一方面，仍然是不同形態(tài)的兩條異面直線的位置關(guān)系差異性不容易獲得，學生對異面直線的“距離”“所成角”感悟不夠，弱化了建立概念的必要性.

2.有效重構(gòu)

有效的情境創(chuàng)設(shè)要包含數(shù)學問題，并且要有利于學生提出數(shù)學問題.本節(jié)課情境創(chuàng)設(shè)的主要形式是呈現(xiàn)多組異面直線的位置關(guān)系，讓學生觀察到每組異面直線位置的不同，并且能夠找到刻畫這些不同的數(shù)學量.

經(jīng)過多年教學實踐，我們認為教師用兩根小木棍來展示兩條異面直線的不同位置關(guān)系效果非常好.通過固定其中一根木棍，平移或是旋轉(zhuǎn)另一根木棍，教師可以比較集中地向?qū)W生展示兩條異面直線不同的位置關(guān)系.教學過程中，教師激發(fā)學生聯(lián)想到平面內(nèi)兩條平行線間的距離以及兩條相交直線夾角的概念，學生可以真切地感受到兩條異面直線似乎既有角又有距離.這樣，為了區(qū)別不同的異面直線，引入異面直線所成角和距離就是很自然、合理的了.上述做法簡明自然，還原了知識的“生長”過程，隱含了類比思想，能有效地激發(fā)學生的學習興趣.

（二）經(jīng)歷過程，建構(gòu)概念

在情境創(chuàng)設(shè)階段，教師為學生提供了兩根木棍這樣具體的、直觀的、能夠體現(xiàn)兩條異面直線本質(zhì)屬性的典型例子.這樣的設(shè)計，不僅有利于學生對數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)，更有利于學生在原有知識的基礎(chǔ)上，通過聯(lián)想、類比找到“異面直線所成角”;通過交流、探討找到“異面直線所成的角”平面角的模型，抽象概括出定義.這樣做，不僅還原了數(shù)學概念“生長”的自然性，還使得學生在活動過程中始終處于積極思考的狀態(tài)，相應(yīng)的思維能力和數(shù)學素養(yǎng)得到培養(yǎng)和提高.但是，教師對知識的理解以及對教學目標的定位往往制約著上述教學的實際效果.

1.教學現(xiàn)狀及反思

在教學中，受具體實例（一根木棍動，另一根木棍不動）的影響，學生在建構(gòu)“異面直線所成的角”平面角模型時，基本都是將異面直線a，b中的a平移到與b相交時的直線a'與b的夾角叫作為異面直線a，b的夾角，找到“異面直線所成的角”平面角的雛形.此后，有些教師就會讓學生自己閱讀教材上的定義，并進行比較.這樣，就存在四個本該在探究過程中解決而沒有解決的問題.

（1）建構(gòu)中的平移直線→定義中的作平行線.

（2）建構(gòu)中的a'與b相交，相當于過直線b上一點作直線a的平行線→定義中是過空間任一點O分別做直線a，b的平行線a'，b'.

（3）建構(gòu)中的“夾角”→定義中的“所成的角”.

（4）異面直線所成角的范圍.

顯然，這樣的教學過程，既缺少了在學生找到的不同平面角模型中歸納、概括概念共同屬性的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，又在概念形成過程中缺少了抽象表述概念的過程.

2.有效重構(gòu)

數(shù)學概念建構(gòu)過程中，既要發(fā)揮學生的主體作用，也少不了教師的主導作用.教師對教學內(nèi)容的準確理解通過適當?shù)姆绞郊右渣c撥，是學生學習不可或缺的環(huán)節(jié).

在概念建構(gòu)過程中，“平移”自然，在精準定義的過程中，作“平行線”比“平移”規(guī)范，具有可操作性;兩條直線相交才有夾角，而兩條異面直線不相交.因此用“所成角”;兩條直線相交形成兩對對頂角，其中的銳角（直角）與直線的位置關(guān)系一一對應(yīng).因此，就有了異面直線所成的角的范圍是（0，π/2）.這與相交直線的夾角定義保持一致.定義中異面直線所成的角的大小與空間一點O的選取無關(guān).教師可在概念探究過程中，有意識地加以引導，通過選取O點的不同位置引導學生利用等角定理來理解、證明這些角的大小是相等的.從定義的角度向?qū)W生指出其合理性，并且告訴學生在后面的應(yīng)用過程中，可以體會其帶來的運算的靈活性.

總之，通過對定義中關(guān)鍵信息的精準表述，可以完善概念的內(nèi)涵，并且讓學生經(jīng)歷歸納、概括的“數(shù)學抽象”過程，也正是發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的需要.

（三）應(yīng)用體驗，理解概念

要深刻理解概念，僅從對定義文字的閱讀理解是遠遠不夠的，還要選擇合適的例題，將概念的理解置于數(shù)學問題的解決過程中，讓學生再次經(jīng)歷從具體到抽象的思辨過程.在實際教學過程中，有的教師還存在著對教材內(nèi)容定位不準以及對例題在概念教學中的作用理解不到位的現(xiàn)象.

1.教學現(xiàn)狀及反思

情形一，有些教師在教學教材例題1時，將第（1）問“求異面直線AA₁與BC所成的角”變?yōu)椤爸本€AA₁與直線BC是異面直線嗎？如果是，它們所成的角是多少？”意圖將新知識融入原有的知識系統(tǒng)中，引導學生對“直線AA₁與直線BC是異面直線嗎？”進行判斷與證明.事實上，從本課的教學目標定位來看，引導學生利用輔助面簡明地判定直線AA₁與BC是異面直線是合理的，而是否需要證明值得商榷.該問的目的是利用定義求出異面直線AA₁與BC所成的角是90°，從而引出兩直線異面垂直的概念.

情形二，有些教師在教學教材例題1第（2）問“求異面直線BC₁與AC所成的角”時，意圖給學生介紹求異面直線所成的角的一般步驟.實際教學中，大部分學生都能說出過點A作BC₁的平行線AD₁（或是平移BC₁至AD₁的位置），∠D₁AC就是異面直線BC₁與AC所成的角，或是說出∠A₁C₁B也是異面直線BC₁與AC所成的角.然后，有些教師就在此基礎(chǔ)上引導學生一起總結(jié)概括求異面直線所成的角的一般步驟，例題教學結(jié)束.事實上，學生還有別的想法，如取棱AB、BC、C₁D₁的中點，分別記為E，F(xiàn)，G，則∠GEF也是異面直線BC₁與AC所成的角.師未能關(guān)注到學生的這類想法并做出引導和解答，失去了例題所要解決的最本質(zhì)問題的機會.另外，教師總結(jié)方法后，也未能及時加以鞏固，例題的作用沒有完全發(fā)揮出來.

2.有效重構(gòu)

蘇教版教材中，在給出異面直線所成的角的定義后，只安排了一個例題1.例題1以正方體為載體設(shè)計了兩個小問，在應(yīng)用理解概念的同時，給出了異面直線垂直的概念以及求異面直線所成的角的計算流程.教師要在理解教材、了解學生的基礎(chǔ)上創(chuàng)造性地使用教材，幫助學生拓展概念的外延.

第（1）問（見上）引出兩條直線異面垂直的概念后，要讓學生在正方體中再找出一些異面直線垂直的例子.同時，可以利用教室日光燈與黑板邊緣、課桌的邊緣線等讓學生體驗兩直線異面垂直.一定要使學生理解垂直、相交垂直、異面垂直這三個既相互聯(lián)系又相互區(qū)別的概念，為建立直線與平面垂直的概念打下堅實的基礎(chǔ).

第（2）問（見上）正如上面所述，在建構(gòu)異面直線BC₁與AC所成角的平面角時，按照定義，可以“經(jīng)過空間任意一點O”來分別作直線BC₁與AC的平行線，教師要關(guān)注學生的不同做法，對可行的方法要及時給予肯定和鼓勵，同時要向?qū)W生指出，正是由于定義中“點O的任意性”到具體計算正方體中的棱或?qū)蔷€構(gòu)成的兩條異面直線所成的角時，直線一般平移到頂點，這為計算提供了方便.在引領(lǐng)學生總結(jié)出計算兩條異面直線所成的角的步驟后，應(yīng)該及時練習，讓學生進一步體會方法.如，可讓學生在正方體中求直線DD₁和A1B所成的角.

每一個數(shù)學概念都是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映，都有其產(chǎn)生和發(fā)展的自然性異面直線所成的角”的概念也要遵循這種自然性，充分利用學生原有的知識經(jīng)驗，體驗數(shù)學抽象概括的過程，在揭示概念本質(zhì)、滲透數(shù)學思想方法上做文章，精心設(shè)計每一個教學環(huán)節(jié).無論是概念的引人、概念形成時經(jīng)歷的概括過程，還是概念的理解，都應(yīng)按照教材要求A然展開.

[參考文獻]

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[3]程仕然，蔣智東.蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書（必修）數(shù)學》中核心概念認知情況的調(diào)查報告[J].數(shù)學教學通訊，2019（5）：8-10.