何利娟

[摘要]高考真題或模擬題是對(duì)考試說明的具體演繹.教師應(yīng)對(duì)它們進(jìn)行對(duì)比分析，最大限度地發(fā)揮這些試題的作用.挖掘典型高考題的深刻內(nèi)涵，有助于提高高考復(fù)習(xí)的有效性.

[關(guān)鍵詞]高考題;高考復(fù)習(xí);有效性

[中圖分類號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058（2020）02-0010-02

教師教得“有效”要通過“好題”的深入淺出，落實(shí)學(xué)生學(xué)得“有效怎樣的題目才值得我們深入研究呢？下面試舉一例.挖掘高考題的深刻內(nèi)涵，有助于我們提高高考復(fù)習(xí)的有效性.

【題目】（2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷第19題）如圖1，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn).

（I）證明：CE//平面PAB;

（II）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

一、解法

本題要解決兩個(gè)問題.一是證明線面平行.可以通過線線平行或者面面平行來證明，也可以用矢量知識(shí)來證明;二是求線面角的正弦值.因?yàn)镃E是可求的，所以只要求出點(diǎn)E到平面PBC的距離即可.當(dāng)然這個(gè)距離可以通過找到點(diǎn)E到平面PBC的垂線段來直接求解，也可以通過等積轉(zhuǎn)化來間接求解，或者還是借助矢量來求解.

1.幾何法

（I）解法一：線線平行線面平行

設(shè)PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以EF//AD且EF=AB，又因?yàn)锽C//AD且BC=AD，所以EF//BC且EF=BC，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以BF//CE，因此CE//平面PAB.

解法二：面面平行線面平行

如圖2，取AD的中點(diǎn)為N.連接EN，CN.因?yàn)锽C//AD且BC=AD，所以BC//AN且BC=AN，即四邊形ABCN為平行四邊形，所以CN//AB，所以CN//平面PAB.又EN//PA，所以EN//平面PAB.又CN，EN平面CEN且CN∩EN=N，所以平面CEN//平面PAB，所以CE//平面PAB.

（II）解法一：線面角的“真作真求”

如圖3，分別取BC、AD的中點(diǎn)M、N.連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ.因?yàn)镋、F、N分別是PD、PA、AD的中點(diǎn)，所以Q為EF的中點(diǎn).在平行四邊形BCEF中，MQ//CE.由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD.由D C⊥AD，N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD，所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN.過點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H.連接MH，MH是MQ在平面PBC上的射影.所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.設(shè)CD=1.在△PCD中，由PC=2，CD=1，得.在△PBN中，由PN=BN=1，得.在中，所以.

解法二：線面角的“假作真求”

過點(diǎn)E作EH⊥平面PBC于H，連接HC，于是∠ECH就是直線CE與平面PBC所成的角.設(shè)N到平面PBC的距離為h，即有.

由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD，所以AD⊥平面PBN，

由BC//AD得BC⊥平面PBN，所以BC⊥PB.設(shè)CD=1，則在.

又在△PBN中，PN=BN=1，所以.因?yàn)?，?

解得.于是.在△PCD中，由，得，

所以在中，.

2.矢量法

解法一：坐標(biāo)法

（I）如圖4，過D作平面ABCD的垂線DM，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DM所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CD=1.則D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

設(shè)P（x，y，z），因?yàn)?，所以，解?

所以，又

所以，

所以，，即三個(gè)矢量共面.又平面PAB，所以CE//平面PAB.

（當(dāng)然也可以通過證明與平面PAB的法矢量垂直來證明CE//平面PAB.）

（II），設(shè)平面PBC的一個(gè)法矢量為，則，即，令y=1，則.則.

解法二：基底法

設(shè)，且，.

（I）由，得，所以，三個(gè)矢量共面.又平面PAB，所以CE//平面PAB.

（通過證明與平面PAB的法矢量垂直來證也可以）

（II），設(shè)平面PAB的一個(gè)法矢量為，則有，即.

令y=-1，解得x=z=2，所以，n=2a-b+2c.設(shè)直線CE與平面PBC所成的角為θ，則.

二、方法

本題的第一種方法是幾何法，此法需要學(xué)生具有一定的空間想象力以及空間作圖能力，能熟練掌握空間線面平行的判定方法以及空間線面角的基本求法.

本題的第二種方法是空間矢量法.它的引入有利于學(xué)生克服空間想象力的障礙和空間作圖的困難，有利于豐富學(xué)生的思維結(jié)構(gòu).利用空間矢量的運(yùn)算解立體幾何問題，可把抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算問題，并具有很強(qiáng)的規(guī)律性和可操作性.矢量法主要有兩種，一是坐標(biāo)法，二是基底法.利用矢量的坐標(biāo)運(yùn)算需先建立空間直角坐標(biāo)系，但建立空間直角坐標(biāo)系往往受到圖形的制約，就像本題的坐標(biāo)系很多學(xué)生不懂建，有些即使建好了但P的坐標(biāo)又不會(huì)求.矢量的基底法，只要在圖形中選定一個(gè)合理的基底，然后將所需的矢量用此基底表示出來，再利用矢量的運(yùn)算進(jìn)行求解或證明即可，是對(duì)坐標(biāo)法的有力補(bǔ)充.

三、引申

[例題]如圖5，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長相等，若∠AA₁B₁=∠AA₁C₁=60°，則異面直線A₁C與AB₁所成角的余弦值是（）.

A.B.C.D.

解析：采用基底法.設(shè)，則，設(shè)異面直線A₁C與AB₁所成的角為θ，則.

評(píng)點(diǎn)：本題的幾何背景是斜三棱柱，學(xué)生用傳統(tǒng)的幾何方法解題比較困難，建立空間直角坐標(biāo)系也較難，即使勉強(qiáng)建了坐標(biāo)系后點(diǎn)的坐標(biāo)也難求，而用基底法不用去找兩兩垂直的直線，更不用去求點(diǎn)坐標(biāo)，完全避開這兩個(gè)難點(diǎn)，從而使得求解過程簡潔明了.

矢量法特別是矢量的基底法，是空間矢量坐標(biāo)法一個(gè)很好的補(bǔ)充，應(yīng)引起教師足夠的重視.首先，基底法是研究矢量的起點(diǎn)和基礎(chǔ);其次，它具有較大的自由度，它對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維有很好的作用;第三，它的應(yīng)用范圍更廣泛.一些問題如果用幾何法解，很多學(xué)生由于受到空間想象力的限制而難以實(shí)施，用坐標(biāo)法難以建空間直角坐標(biāo)系，而基底法完全避開這些難點(diǎn).

在關(guān)注基底法在立體幾何教學(xué)中的重要性的同時(shí)，學(xué)生要徹底掌握此類題目，還必須關(guān)注對(duì)立體幾何中基本概念、性質(zhì)、定理的理解.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考立體幾何問題，不能放棄對(duì)傳統(tǒng)的幾何法和矢量坐標(biāo)法的重視.

高考真題和模擬題是對(duì)考試說明的具體演繹，這些題目告訴我們考什么和怎么考，因此我們要對(duì)它們進(jìn)行對(duì)比、整理分析，梳理它們之間的聯(lián)系，并將它們充分應(yīng)用到課堂教學(xué)中，最大限度地發(fā)揮這些試題的作用，從而提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性.