魯 敏, 胡紅波

(1. 北京遙測技術(shù)研究所, 北京 100086; 2. 中國計量科學(xué)研究院, 北京 100029)

1 引 言

加速度計通常用于瞬態(tài)機械量的測量,其性能好壞決定測量結(jié)果是否準確可靠。目前壓電加速度計的校準,主要采用的是振動與沖擊激勵的校準方式[1～3]。對于振動校準,得到的結(jié)果是單一頻率下加速度計的復(fù)靈敏度,實際測量中的振動量很少是單頻純正弦的運動;對于沖擊校準,采用的是一個確定時域形狀的沖擊激勵,實際測試過程中的機械沖擊量很難與校準所采用的沖擊波形完全一致。如當(dāng)被測的機械振動量是幾個頻率合成的一個復(fù)合機械振動時,無法根據(jù)加速度計校準結(jié)果準確設(shè)置相應(yīng)的參數(shù),所以常規(guī)的校準方法得到的結(jié)果不能完全滿足高精度的動態(tài)測量的要求。

目前對加速度計的校準方法,都屬于對加速度計經(jīng)驗傳遞函數(shù)(ETFE),即非參數(shù)的傳遞函數(shù)的估計,并且依據(jù)GUM不確定度評估框架對測量過程進行評估,該方法不能實現(xiàn)加速度計對任意激勵信號輸出的預(yù)測[4]。GUM準則主要是規(guī)定了對穩(wěn)態(tài)量、常量等分析評估的過程,且其中對測量系統(tǒng)的評估,也沒有采用微分或者差分方程、時延或者時間相關(guān)和失真等指標。在實際的動態(tài)測量過程中,由于測量系統(tǒng)不理想的動態(tài)特性產(chǎn)生的動態(tài)誤差有時會大于由于測量不確定度而引入誤差[5]。為滿足動態(tài)量測量對加速度計的要求,必須完整地確定加速度計的輸入輸出關(guān)系。這些內(nèi)容實際是測量系統(tǒng)動力學(xué)相關(guān)的內(nèi)容[6,7]。文獻[8～10]實現(xiàn)了加速度計在不同激勵條件下動態(tài)特性校準相關(guān)的內(nèi)容。

考慮到目前激光絕對法振動校準加速度計具有高的測量不確定度指標,本文對加速度計采用一個線性二階微分方程表征其動態(tài)特性,利用絕對法振動校準的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)對模型參數(shù)采用加權(quán)最小二乘算法直接進行了擬合,并利用蒙特卡羅法計算得到了參數(shù)的不確定度,這樣直接對模型擬合避免了對數(shù)學(xué)模型的離散化要求,最后對得到的參數(shù)模型進行了χ2檢驗。另外,為了驗證模型對瞬態(tài)信號輸出的預(yù)測,比較模型在沖擊激勵下的預(yù)測輸出與實際加速度計的輸出,進一步驗證了模型的可靠性。

2 加速度計的數(shù)學(xué)模型與模型參數(shù)辨識方法

2.1 加速度計的數(shù)學(xué)模型

為了利用試驗所得的數(shù)據(jù)對物理過程進行分析,首先就是要建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。工程實踐中通常采用式(1)所示的LTI系統(tǒng)來描述其物理過程輸入輸出對應(yīng)的關(guān)系。

(1)

式中:x(t)為輸入量,即被測量;y(t)為輸出量;n,m為模型的階次,且一般情況下n≥m;對于本文研究的對象加速度計而言,ai(i=0,1,2,…,n)與bj(j=0,1,2,…,m)是由加速度計的測試原理、結(jié)構(gòu)等確定的描述。

根據(jù)壓電加速度計結(jié)構(gòu)原理和實際校準加速度計校準的頻率響應(yīng)結(jié)果[11,12],工程上一般采用二階微分方程的數(shù)學(xué)模型來描述加速度計動態(tài)特性,式(1)中模型的階次i=2,j=0,即得如式(2)所示加速度計數(shù)學(xué)模型。

(2)

(3)

將s=jω代入式(3),可得加速度計的頻率響應(yīng):

G(jω)=G(ω)exp[jφ(ω)]

式中:G(ω)為加速度計的幅頻響應(yīng);φ(ω)為加速度計相頻響應(yīng)。選擇合適的頻率點ω1,ω2,…,ωN,利用振動校準可得到加速度計在對應(yīng)頻率點的幅頻及相頻響應(yīng)數(shù)據(jù)。需要說明的是,加速度計校準的結(jié)果必須剔除掉配套適調(diào)器頻率響應(yīng)的數(shù)據(jù)。

另外,對于同一研究對象可能有不同的數(shù)學(xué)模型,三階或者更高的數(shù)學(xué)模型也能用來表示加速度計的動態(tài)特性[13],但二階系統(tǒng)模型可靠、魯棒性強、參數(shù)少且物理意義明確,工程實踐中應(yīng)用較多。

2.2 模型參數(shù)辨識的方法

為了對式(3)所示的加速度計傳遞函數(shù)參數(shù)進行辨識,就要確定加速度計在一定頻率范圍內(nèi)的幅頻及相頻響應(yīng),這樣就能直接利用所得到的數(shù)據(jù)對式(3)進行擬合,從而確定參數(shù)的值。為了能夠?qū)?shù)進行線性的擬合,對式(3)所示的頻率響應(yīng)進行轉(zhuǎn)換,即取傳遞函數(shù)的倒數(shù)作為曲線擬合的模型:

H(jω)=G-1(jω)=G-1(ω)exp[-jφ(ω)]=

μ1+μ22jω-μ3ω2=fT(ω)μ

(4)

(5)

絕對法振動校準加速度計的方法目前已經(jīng)非常成熟,相關(guān)的校準結(jié)果及對應(yīng)的測量不確定度通過國際比對等方式也得到了確認[14]。假定在選定的頻率點ωT=[ω1,ω2,…,ωL]處,經(jīng)過激光絕對法振動校準得到加速度計相應(yīng)的幅頻響應(yīng)結(jié)果為G(ω)=[G1,G2,…,GL],對應(yīng)的標準不確定度為u(ω)=[u1,u2,…,u3];相頻響應(yīng)結(jié)果為φ(ω)=[φ1,φ2,…,φL],對應(yīng)的標準不確定度為ν(ω)=[ν1,ν2,…,ν3]。則構(gòu)造數(shù)據(jù)向量:

(6)

數(shù)據(jù)向量y是一個長度為2L的列向量。對于數(shù)據(jù)向量y的協(xié)方差矩陣Vy,這里采用蒙特卡羅法來確定。一般來說,在沒有其他明確校準結(jié)果分布的條件下,都認為校準結(jié)果為正態(tài)分布,此時正態(tài)分布的均值參數(shù)即為校準結(jié)果,標準方差即為標準不確定度,并且假定幅頻校準結(jié)果與相頻校準結(jié)果相互獨立,按式(7)即可生成相應(yīng)的隨機數(shù)。

(7)

式中:i=1,2,…,L,k=1,2,…,N為生成的數(shù)據(jù);ξ,ζ分別為標準正態(tài)分布的隨機變量。一般可以取N=106,由此即可確定數(shù)據(jù)向量y的協(xié)方差矩陣Vy。

根據(jù)所選擇的頻率點,構(gòu)造輸入數(shù)據(jù)矩陣:

(8)

輸入數(shù)據(jù)矩陣為一個2L×3的矩陣。依據(jù)加權(quán)最小二乘算法的計算公式,即可得到所求的參數(shù)的最佳估計值為:

(9)

(10)

為了驗證模型的擬合度進行檢驗,本文采用χ2檢驗來按式(11)來進行驗證。

(11)

式中:ν=2L-3為χ2分布的自由度;p為確定的置信概率,一般取p=0.05。

3 加速度計特性參數(shù)校準結(jié)果

在絕對法振動臺校準系統(tǒng)上,采用外差式激光干涉儀,對選定的加速度計利用正弦逼近法對其進行校準,校準的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 絕對法振動校準簡圖Fig.1 Block diagram of primary vibration calibration

在頻率范圍160 Hz～18 kHz范圍內(nèi),加速度計幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)以及相應(yīng)的不確定度(k=2)如表1所示。

表1 加速度計頻率響應(yīng)校準結(jié)果Tab.1 Calibration results of accelerometer’s frquency response

利用絕對法振動,對加速度計在設(shè)定的頻率范圍進行5次校準,然后按照前述的參數(shù)辨識方法,利用5次校準的結(jié)果,辨識計算得到加速度計數(shù)學(xué)模型的動態(tài)特性參數(shù)如表2所示。振動校準加速度計所得的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)與模型計算得到頻率響應(yīng)比較如圖2所示。

表2 校準動態(tài)特性參數(shù)的結(jié)果Tab.2 Results of parameters for dynamic characteristics

圖2 實際校準與模型計算結(jié)果的比較Fig.2 Comparison between calibration results and obtained model

4 模型對瞬態(tài)激勵信號的輸出預(yù)測

為了預(yù)測模型在瞬態(tài)信號激勵條件下的輸出,同時也驗證模型的準確性,比較加速度計和模型在同一機械沖擊激勵條件下的輸出。對于選型的加速度計,在設(shè)定的沖擊條件下進行絕對法沖擊校準,沖擊波形如圖3所示。同時得到激光干涉儀測量的沖擊加速度物理量信號,作為加速度計數(shù)學(xué)模型的激勵信號。

圖3 校準加速度計所使用沖擊加速度波形Fig.3 Applied shock pulse for acceleration’s calibration

為了計算模型對瞬態(tài)激勵條件下的輸出,對式(1)所示的連續(xù)系統(tǒng)模型采用雙線性變換法進行離散化[15],離散化的頻率為實際沖擊加速度校準過程中的采樣率fs,則采樣間隔Ts=1/fs。為了保證差分方程在加速度計工作頻帶范圍內(nèi)能夠足夠好的近似微分方程,必須確保采樣率大于加速度計工作帶寬10倍以上。將式(3)中拉普拉斯算子s按式(12)替換為z變換因子。

(12)

可得離散形式的傳遞函數(shù)為:

(13)

為了對式(13)所示的離散傳遞函數(shù)仿真,將其轉(zhuǎn)化為差分方差的形式如式(14)所示。

y(k)+c1y(k-1)+c2y(k-2)=

b1a(k-1)+b2a(k-2)

(14)

式(14)系數(shù)可由辨識得到的連續(xù)模型參數(shù)轉(zhuǎn)換得到。在沖擊加速度峰值50g～500g范圍內(nèi)對加速度計進行5次沖擊校準,并計算相應(yīng)的沖擊靈敏度。同時將激光干涉儀測量得到的沖擊加速度物理量信號用于式(14)所示的差分方差模型的輸入,計算其輸出并計算得到模型的沖擊靈敏度。兩者結(jié)果如下圖4所示。

圖4 沖擊加速度校準結(jié)果與模型計算結(jié)果比較Fig.4 Comparison between calibration results and obtained model

從圖4所示的加速度計實際沖擊校準的結(jié)果與模型計算的結(jié)果可以看出,在所選擇的沖擊加速度峰值試驗條件下,兩者的差別基本都小于1%,進一步證實了在所選擇的頻段范圍內(nèi),二階模型能夠準確的表征加速度計動態(tài)特性,模型能夠準確地預(yù)測瞬態(tài)激勵條件下加速度計的輸出。對于模型計算結(jié)果的不確定度,同上采用蒙特卡羅法計算。首先依據(jù)連續(xù)模型的參數(shù)及相應(yīng)的不確定度,生成相應(yīng)的參數(shù)隨機變量,并對其離散化,得到一組差分方差的模型并計算其輸出,最后根據(jù)輸出計算模型的沖擊靈敏度。重復(fù)上述過程多次后,即可得到模型沖擊靈敏度的不確定度。

5 小 結(jié)

本文采用線性二階模型描述加速度計動態(tài)特性,模型結(jié)構(gòu)簡單且參數(shù)物理意義明確。為了確定模型的參數(shù),采用具有最高測量不確定度水平的絕對法振動對加速度計在一定的頻段范圍內(nèi)進行了校準,結(jié)合校準所得加速度計頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)和不確定度,利用最小二乘算法計算得到了模型的參數(shù),同時采用Monte Carlo法計算得到了模型參數(shù)的不確定度。為了驗證所得模型的可靠性,采用瞬態(tài)沖擊加速度激勵的方式對加速度計進行沖擊校準,并與模型計算得到的結(jié)果進行了比較,一致的結(jié)果證明了模型的可靠性。本文所述的方法有下面幾點需要注意:1) 壓電加速度計阻尼系數(shù)一般較低,為了保證阻尼系數(shù)辨識結(jié)果的準確性,在選擇加速度計校準頻率范圍時,校準頻率上限需保證加速度計靈敏度至少有10%的變化量。2) 由于加速度計是和適調(diào)器是配套進行校準的,適調(diào)器的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)在辨識參數(shù)前必須準確剔除,否則會對加速度計阻尼系數(shù)有較大影響。3)χ2檢驗只是用來驗證模型與數(shù)據(jù)擬合的信息,選擇實際加速度計的輸出與模型預(yù)測輸出的比較是一個較好的方式。