周泉，姚敏立，沈曉衛(wèi)

(火箭軍工程大學(xué)，陜西 西安 710025)

0 引言

隨著微機(jī)械電子系統(tǒng)(MEMS)加速度計(jì)的不斷發(fā)展，越來越多的慣性測量系統(tǒng)開始采用MEMS加速度計(jì)作為其主要部件，而MEMS加速度計(jì)的性能好壞直接影響著系統(tǒng)測量精度。因此，MEMS加速度計(jì)的測試標(biāo)定已經(jīng)成為系統(tǒng)投入使用前必不可少的環(huán)節(jié)。相比于傳統(tǒng)的加速度計(jì)，MEMS加速度計(jì)具有獨(dú)特的優(yōu)勢，如體積小、質(zhì)量輕、價(jià)格低等優(yōu)點(diǎn)[1]，但是仍然有一些缺陷，存在其參數(shù)會隨著系統(tǒng)的使用或者存放時間的推移而變化的問題。最為明顯的就是MEMS加速度計(jì)的零位漂移，即標(biāo)定相隔時間越長，加速度計(jì)的零漂變化就越明顯[2]。未來戰(zhàn)場錯綜復(fù)雜，不可能存在大量時間或者使用高精度設(shè)備去對需要重新標(biāo)定的MEMS加速度計(jì)進(jìn)行校正，因此，需要一種不依賴精密儀器、簡易高效的現(xiàn)場快速標(biāo)定方法。

國內(nèi)外已有很多學(xué)者對現(xiàn)場標(biāo)定方法進(jìn)行了深入研究。2017年，Nadeau等[3]提出使用靜態(tài)重力對系統(tǒng)中傳感器的加速度計(jì)進(jìn)行現(xiàn)場標(biāo)定的方法，該方法簡單易行，通用性較好，但沒有考慮到其他維空間，因此系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境中工作時精度起伏較大。2018年，Kesaniemi等[4]提出了超橢圓體的直接最小二乘擬合法。該算法通過在適當(dāng)?shù)亩渭s束條件下最小化代數(shù)距離進(jìn)行擬合，詳細(xì)地介紹了現(xiàn)有橢圓和三維橢球的特定擬合方法，但是其精度并沒有太大變化。同年，劉宇等[5]提出了一種基于橢球擬合的微慣性測量單元(MIMU)系統(tǒng)自標(biāo)定方法，該方法通過多次擬合方式進(jìn)行總體標(biāo)定，雖然精度提高了3個數(shù)量級，但是用時較長，算法復(fù)雜，不適合工程實(shí)踐。

為了滿足現(xiàn)場標(biāo)定快捷、高效的需求，本文提出一種改進(jìn)的橢球擬合標(biāo)定方法，即運(yùn)用支持度的概念，使標(biāo)定數(shù)據(jù)更加精細(xì)化，并結(jié)合橢球現(xiàn)場標(biāo)定法實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)場快速標(biāo)定。

1 橢球擬合標(biāo)定原理

在沒有誤差的理想狀態(tài)下，MEMS三軸加速度計(jì)測量值的矢量和等于其當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣瘸Ａ縢.因此，理想相互垂直的三軸加速度計(jì)任意旋轉(zhuǎn)多個角度，其測得的數(shù)據(jù)點(diǎn)集合在直角坐標(biāo)系中的軌跡是一個標(biāo)準(zhǔn)的圓球面。但是在實(shí)際的測量工作過程中，MEMS加速度計(jì)會存在零位漂移誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差和交叉耦合誤差等問題，在這些誤差的影響下，會使標(biāo)準(zhǔn)的理想圓球面產(chǎn)生一些微小的畸形而變成橢球面[6]。針對這些誤差特性需要建立數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行誤差補(bǔ)償[7]：

(1)

式中：G表示加速度計(jì)實(shí)際輸出值組成的矩陣；K表示誤差系數(shù)組成的矩陣；g0表示加速度計(jì)零位漂移組成的矩陣；G0為理想狀態(tài)下輸出值組成的矩陣。

對(1)式中G0取模的平方，可得

‖G0‖2=(G-g0)T(K-1)TK-1(G-g0).

(2)

因?yàn)闄E球曲面是一種特殊的二次曲面，所以設(shè)該曲面方程為

F(ζ,ψ)=ζTψ=

ax2+by2+cy2+2dxy+2exz+

2fyz+2px+2qy+2rz+v=0，

(3)

式中：ζ=[a,b,c,d,e,f,p,q,r,v]T為橢球的曲面參數(shù)向量，a、b、c、d、e、f、p、q、r、v為曲面方程的參數(shù)變量；ψ=[x2,y2,z2,2xy,2yz,2x,2y,2z,1]為運(yùn)算組合向量，x2、y2、z2、2xy、2yz、2x、2y、2z為該運(yùn)算組合向量的參數(shù)變量。

橢球體現(xiàn)場標(biāo)定算法的核心是通過采集大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行橢球擬合，從而計(jì)算出最優(yōu)的一組橢球參數(shù)，使得采集的數(shù)據(jù)與橢球的中心距離達(dá)到最小值[8]。而最佳的擬合橢球曲面F(ζ,ψ)的矢量形式為

(X-X0)TA(X-X0)=1，

(4)

(5)

(6)

式中：X為擬合橢球曲面上的任意點(diǎn)；X0為理想橢球面中心點(diǎn)的坐標(biāo)；A為擬合后橢球體的參數(shù)矩陣，其大小正負(fù)與橢球體的半徑和其旋轉(zhuǎn)的角度有關(guān)[9]。結(jié)合誤差模型和橢球最佳擬合曲面的矢量公式，可得

(7)

(8)

橢球擬合的基本原則就是使數(shù)據(jù)到橢球表面的平方和最小，但這個原則不能確保每一個數(shù)據(jù)組合都在橢球的曲面上，因?yàn)閿?shù)據(jù)組合也有可能是在圓錐曲面上，所以需要引進(jìn)橢球曲面的約束條件，確保曲面為橢球面，這個約束條件是基于最小二乘法的橢球擬合算法獲得。

令u=ab+bc+ac-f2-e2-d2，l=a+b+c，若4u-l2>0，則其形成的曲面必為橢球曲面[10]。結(jié)合橢球曲面的一般公式和橢球的約束條件，則有

(9)

又可以表示為

(10)

E=

(11)

式中：E為橢球二次曲面k組數(shù)據(jù)組成的系數(shù)矩陣。為通過結(jié)合橢球約束條件，把橢球擬合問題轉(zhuǎn)化成為約束條件下求極值問題，先對ETE進(jìn)行奇異值分解，再計(jì)算求解ETE的特征值和特征向量，最后對特征值和特征向量進(jìn)行反歸一化處理，轉(zhuǎn)化成橢球的標(biāo)準(zhǔn)形式，求解出橢球參數(shù)矩陣和橢球的幾何中心[11]。

2 基于支持度的橢球體法

第1節(jié)方法在對MEMS加速度計(jì)進(jìn)行現(xiàn)場標(biāo)定時，由于現(xiàn)場環(huán)境復(fù)雜多樣，在采集各軸加速度計(jì)的輸出值時，會采集到存在其他方向較大的加速度計(jì)數(shù)據(jù)值，而傳統(tǒng)的橢球擬合算法受其影響較大，擬合后得到的橢球參數(shù)向量誤差較大，導(dǎo)致標(biāo)定精度較低[11-12]。

為了解決這個問題，本文創(chuàng)新性地引入支持度的概念，通過定義觀測值間的相互支持程度，把數(shù)據(jù)之間的關(guān)系和自身有用性程度量化，根據(jù)數(shù)據(jù)的關(guān)系及其有用程度進(jìn)行數(shù)據(jù)融合。對于那些誤差較大的采集值，經(jīng)算法計(jì)算得到它相應(yīng)的支持度會很小，支持度小意味著在數(shù)據(jù)融合時所占比例就會很小，這樣就能有效地解決這個問題。實(shí)驗(yàn)表明，融合后的觀測值較原來觀測值精度提升了一倍，證明了經(jīng)過改進(jìn)后的算法，提高了橢球擬合的參數(shù)向量和校正矩陣的精度。

引入支持度的概念，對于兩個觀測值φ1和φ2：若φ1和φ2相差較大，則表明這兩個觀測值的相互支持程度很低，甚至相互背離；若φ1和φ2很接近，則表明這兩個觀測值相互支持程度較高，定義數(shù)據(jù)間的這種支持程度為支持度。本文采用分段支持的方法，即把采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分段，每段再采用支持度融合方法。這樣就可以充分利用數(shù)據(jù)之間支持程度的關(guān)系去抑制誤差較大數(shù)據(jù)，從而提高精度。將數(shù)據(jù)組分為n組，每組包含m個數(shù)據(jù)，則第i組可以表示為

(12)

式中：Hi為第i組數(shù)據(jù)的支持度矩陣。

(13)

dij=|gi-gj|，i=1,2,3,…,m,j=1,2,3,…,m，

(14)

若i=j，則稱其為自支持度，若i≠j，則稱其為互支持度。

為解決觀測值量綱的影響，方便之后的數(shù)據(jù)處理，對觀測值之間的距離進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，取

j=1,2,3,…,m,i≠j.

(15)

根據(jù)高斯誤差理論[13-14]，當(dāng)測量值服從正態(tài)分布時，殘差落在3倍方差即[-3σ,3σ]區(qū)間的概率超過99.7%，落在此區(qū)間外的概率只有不到0.3%.因此，若是某個數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)是近似的，則此數(shù)據(jù)的殘差和應(yīng)落到這個區(qū)間，反之，若某數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)不近似，則該數(shù)據(jù)的殘差不在這個區(qū)間內(nèi)[15]。對第i行的支持度求均值為

(16)

每行的標(biāo)準(zhǔn)差為σi，則有

(17)

則該行的數(shù)據(jù)殘差為

(18)

現(xiàn)場標(biāo)定的原則是在保證一定精度的情況下，盡量節(jié)省時間。為了高效地進(jìn)行數(shù)據(jù)融合來減少融合時間，在數(shù)據(jù)處理上，盡可能使運(yùn)算簡單，而階躍型支持度函數(shù)比一般支持度函數(shù)運(yùn)算都要簡單快捷。如表1所示，階躍型函數(shù)可以節(jié)省1倍時間，因此選取階躍型支持度函數(shù)。將支持度函數(shù)列出為

(19)

(20)

(21)

式中：rij(1)和rij(2)為一般支持度函數(shù)；rij為階躍型支持度函數(shù)。

表1 處理時間統(tǒng)計(jì)

根據(jù)(21)式可得支持度矩陣為

(22)

根據(jù)(22)式可得觀測值的總支持度為

(23)

根據(jù)支持度的概念，支持度函數(shù)的第i行元素是第i個數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)相近程度的量化值。因此，第i行每個元素的量化值之和即為該數(shù)據(jù)總的支持度。其值越大，表示該觀測值與其他觀測值的相似程度就越大；相反，若量化值的和越小，表示該觀測值相似程度越差，背離了其他觀測值。對第i行的總支持度求均值得：

(24)

用判斷函數(shù)F(i)對第i行的支持度進(jìn)行判別：

(25)

式中：μ為調(diào)節(jié)系數(shù)。若F(i)為1則保留該數(shù)據(jù)，若F(i)為0則去除該數(shù)據(jù)。通過F(i)判斷函數(shù)保留的數(shù)據(jù)重新組成一組數(shù)據(jù)，進(jìn)行橢球擬合，其橢球系數(shù)為

E=

(26)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提算法的可行性和有效性，本文對實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的MEMS加速度計(jì)進(jìn)行標(biāo)定，其性能指標(biāo)如表2所示。圖1為實(shí)驗(yàn)設(shè)備圖，數(shù)據(jù)采集軟件是使用美國微軟公司的Visual Studio 2013集成開發(fā)環(huán)境，結(jié)合美國國家儀器公司的Measurement Studio插件設(shè)計(jì)的，接口采用串口數(shù)據(jù)輸出的模式。MEMS加速度計(jì)的標(biāo)定具體步驟為：

1)將安裝有MEMS加速度計(jì)的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)緩慢以任意角度轉(zhuǎn)動，盡量使采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在橢球面上。

2)打開MEMS加速度計(jì)采集軟件，設(shè)置20 Hz的采集頻率，對MEMS加速度計(jì)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，再通過串口將采集數(shù)據(jù)上傳到上位機(jī)。

3)根據(jù)第2節(jié)的算法，利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件MATLAB對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算出橢球的誤差系數(shù)矩陣和零位漂移，對加速度計(jì)進(jìn)行誤差補(bǔ)償。

表2 加速度計(jì)的性能指標(biāo)

圖1 MEMS加速度計(jì)標(biāo)定

3.1 橢球擬合實(shí)驗(yàn)比較

為了深入分析擬合情況，通過與傳統(tǒng)橢球標(biāo)定法的性能比較，驗(yàn)證本文提出基于支持度的橢球標(biāo)定法性能的優(yōu)劣。首先用兩種算法對同一組MEMS加速度計(jì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行MATLAB軟件擬合實(shí)驗(yàn)，再建立擬合橢球面圖和殘差分析圖，如圖2、圖3、圖4所示。分析對原觀測值的擬合情況，最后通過表3記錄標(biāo)定后的均值及均方差，分析其性能的優(yōu)劣。

圖2 傳統(tǒng)橢球標(biāo)定法

圖3 本文的橢球擬合標(biāo)定法

對比圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后橢球擬合標(biāo)定法橢球上的點(diǎn)分布得更加均勻。從表3中可以看出，雖然改進(jìn)后橢球球面上的點(diǎn)數(shù)減少了，但是橢球面上點(diǎn)數(shù)的比例卻提高了8%左右，說明改進(jìn)后的算法橢球擬合程度更好。

圖4 兩種方法殘差的比較

表3 點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計(jì)

為了進(jìn)一步分析擬合穩(wěn)定程度，對兩種方法標(biāo)定后輸出殘差進(jìn)行比較，結(jié)果如圖4所示。殘差的具體計(jì)算方法為：連接數(shù)據(jù)點(diǎn)到橢球幾何中心，設(shè)這條連接線穿過橢球面的交點(diǎn)為M(xM,yM,zM)，定義數(shù)據(jù)點(diǎn)P(xP,yP,zP)與M點(diǎn)的距離為橢球擬合殘差f(P,M)，則

(27)

分析圖4，可以發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后橢球擬合標(biāo)定法的殘差要比傳統(tǒng)方法波動的幅度小，說明改進(jìn)后橢球體法擬合的情況要比傳統(tǒng)橢球體法更加穩(wěn)定。

標(biāo)定誤差gv是指加速度計(jì)補(bǔ)償后的輸出gx(以x軸為例)與當(dāng)?shù)丶铀俣扔?jì)重力值的差值，即

gv=gx-g.

(28)

圖5為同一組數(shù)據(jù)分別采用傳統(tǒng)方法和改進(jìn)方法得出的標(biāo)定誤差曲線，可以看出改進(jìn)后的方法要比傳統(tǒng)方法的精度更高。表4為兩種方法得出的標(biāo)定誤差均值及均方差統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的方法求得的數(shù)據(jù)更接近理論值，且精度提升了一倍。

3.2 時間累積標(biāo)定實(shí)驗(yàn)比較

由于MEMS加速度計(jì)的標(biāo)定參數(shù)會隨著時間發(fā)生一定的變化，為了分析其參數(shù)變化大小程度，需要進(jìn)行一個時間累積的標(biāo)定比較實(shí)驗(yàn)。首先把慣性導(dǎo)航系統(tǒng)放置在轉(zhuǎn)臺上的六面體中，再通過6位置高精度轉(zhuǎn)臺標(biāo)定法對慣性導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定，得到其標(biāo)定參數(shù)(見表5)。

圖5 兩種方法標(biāo)定誤差的比較

表4 兩種方法標(biāo)定誤差的均值及均方差統(tǒng)計(jì)

表5 前期轉(zhuǎn)臺的標(biāo)定參數(shù)

把慣性導(dǎo)航系統(tǒng)放置20 d后，將安裝加速度計(jì)的各軸分別垂直靜置在高精度轉(zhuǎn)臺上，通過采集軟件采集其重力加速度數(shù)據(jù)，并上傳到上位機(jī)中，繼而再通過改進(jìn)后橢球擬合標(biāo)定法對其進(jìn)行現(xiàn)場標(biāo)定，得到其標(biāo)定參數(shù)。標(biāo)定完成后，用同樣方法獲得其他各軸的標(biāo)定參數(shù)(見表6)。

采集改進(jìn)后橢球擬合標(biāo)定法標(biāo)定的靜態(tài)數(shù)據(jù)后，對MEMS加速度計(jì)的標(biāo)定參數(shù)重置，再通過6位置高精度轉(zhuǎn)臺標(biāo)定法對MEMS加速度計(jì)進(jìn)行重新標(biāo)定，繼而獲得其各軸標(biāo)定參數(shù)(見表7)。

表6 20 d后本文方法的標(biāo)定參數(shù)

表7 20 d后轉(zhuǎn)臺的標(biāo)定參數(shù)

通過MATLAB軟件對3組采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理(以x軸為例)，如圖6所示。

圖6 標(biāo)定后輸出比較

通過表8記錄6位置高精度轉(zhuǎn)臺標(biāo)定方法與本文標(biāo)定方法在標(biāo)定加速度計(jì)時使用的時間，為了時間記錄的準(zhǔn)確性，將3個加速度計(jì)按照1～3的序號進(jìn)行標(biāo)號，記錄每種方法對這3個加速度計(jì)進(jìn)行標(biāo)定的時間。

表8 標(biāo)定時間

綜合分析表5、表6、表7和表8，隨著時間的推移，加速度計(jì)的零位漂移波動較大，標(biāo)度因數(shù)次之，而軸間交叉耦合因數(shù)變化最小。通過觀察圖6，可以清晰看出靜置20 d后MEMS加速度計(jì)的輸出精度明顯降低。本文標(biāo)定的加速度計(jì)與20 d后6位置高精度轉(zhuǎn)臺標(biāo)定的加速度計(jì)相比，精度雖然有所下降，但是精度下降幅度較小。此外，本文方法標(biāo)定的時間要比6位置高精度轉(zhuǎn)臺標(biāo)定的時間縮短7倍多。盡管本文方法比高精度轉(zhuǎn)臺標(biāo)定精度略有下降，但是本文方法的標(biāo)定精度比加速度計(jì)原始輸出的精度要高得多，并且有著其他方法無法比擬的優(yōu)勢，如在任意環(huán)境下皆可進(jìn)行標(biāo)定，且標(biāo)定方法簡單可靠。

4 結(jié)論

本文主要針對戰(zhàn)時或者復(fù)雜條件下高精度轉(zhuǎn)臺無法對裝備進(jìn)行標(biāo)定的情況下，創(chuàng)新性地提出一種便捷式現(xiàn)場標(biāo)定。采取基于支持度的橢球現(xiàn)場標(biāo)定，既能夠完成高精度轉(zhuǎn)臺在復(fù)雜環(huán)境下無法完成的標(biāo)定任務(wù)，又能夠滿足這些設(shè)備的精度要求。通過兩組實(shí)驗(yàn)證實(shí)了其有效性和優(yōu)越性。主要得到如下結(jié)論：

1)通過擬合實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)后橢球擬合標(biāo)定法能夠解決傳統(tǒng)橢球擬合標(biāo)定法異常值點(diǎn)的問題，其擬合結(jié)果較傳統(tǒng)方法效果更好，且又能進(jìn)一步提高標(biāo)定精度。

2)通過時間累積標(biāo)定實(shí)驗(yàn)看出，本文提出的改進(jìn)后橢球擬合標(biāo)定法，既可以繼承原傳統(tǒng)方法的現(xiàn)場可操作性，又能夠解決該方法精度不足的問題。實(shí)驗(yàn)表明，其標(biāo)定精度與高精度轉(zhuǎn)臺標(biāo)定相差不大，完全可以滿足設(shè)備需要的精度要求。綜上所述，改進(jìn)后橢球擬合標(biāo)定法的標(biāo)定時間較短、精度較高，在未來戰(zhàn)爭中具有一定的價(jià)值。