齊暢 章葉璐 晏建學(xué)

摘 要：學(xué)生成績(jī)是衡量學(xué)生對(duì)課程的掌握情況及教師的教學(xué)效果最直接的指標(biāo)，傳統(tǒng)的成績(jī)分析方法是按分?jǐn)?shù)段劃分并根據(jù)正態(tài)分布計(jì)算平均成績(jī)和方差。本文主要從正態(tài)分布模型檢驗(yàn)及聚類分析兩方面入手，利用SPSS軟件對(duì)財(cái)經(jīng)大學(xué)2010學(xué)年至2017學(xué)年部分班級(jí)公共數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，更科學(xué)、合理地反映學(xué)生對(duì)課程的掌握情況，并檢驗(yàn)教師的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：正態(tài)模型檢驗(yàn) 聚類分析 SPSS

基金項(xiàng)目：本文為“第十三屆云南財(cái)經(jīng)大學(xué)本科生科研訓(xùn)練計(jì)劃（SRTP）（項(xiàng)目編號(hào)47《云南財(cái)經(jīng)大學(xué)近年來(lái)公共數(shù)學(xué)成績(jī)聚類分析》）”項(xiàng)目成果。

本文以2010～2017級(jí)部分授課班級(jí)成績(jī)?yōu)槔?，?shù)據(jù)包括學(xué)號(hào)、姓名、班級(jí)編號(hào)、課程名稱、教學(xué)老師、年級(jí)、學(xué)生總成績(jī)等。數(shù)據(jù)情況如下：

首先檢驗(yàn)學(xué)生成績(jī)是否服從正態(tài)分布，然后用聚類分析功能對(duì)學(xué)生成績(jī)進(jìn)行分析，并檢驗(yàn)不同班級(jí)、年級(jí)、教師之間學(xué)生成績(jī)分布差異是否明顯，同一老師所帶不同班級(jí)、不同年級(jí)學(xué)生成績(jī)差異是否明顯，不同老師不同學(xué)院不同班級(jí)學(xué)生成績(jī)差異是否明顯，不同年級(jí)之間學(xué)生成績(jī)差異是否明顯。用聚類分析彌補(bǔ)傳統(tǒng)按分?jǐn)?shù)段劃分及根據(jù)正態(tài)分布計(jì)算平均成績(jī)和方差的不足，更加科學(xué)、合理地反映學(xué)生對(duì)課程的掌握情況及教師的教學(xué)成果。

1 對(duì)數(shù)據(jù)分課程進(jìn)行正態(tài)分布模型檢驗(yàn)

將2010～2017級(jí)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（理工類）、微積分（經(jīng)管類）、微積分（理工類）、線性代數(shù)（經(jīng)管類）、線性代數(shù)（理工類）這五門不同的公共數(shù)學(xué)課程作為分類的依據(jù)。

分別對(duì)上述課程的學(xué)生成績(jī)進(jìn)行正態(tài)分布模型檢驗(yàn)。按照“分析-描述統(tǒng)計(jì)-探索”的步驟進(jìn)行操作，將“成績(jī)”作為因變量，得到輸出結(jié)果（詳見附錄）。對(duì)數(shù)據(jù)的正態(tài)性進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，首先進(jìn)行“數(shù)據(jù)-加權(quán)個(gè)案”操作，再由“分析-非參數(shù)檢驗(yàn)-卡方”進(jìn)行操作，將“成績(jī)”作為因變量，得到輸出結(jié)果（詳見附錄）。

從輸出結(jié)果中，可以看到各個(gè)課程的成績(jī)都沒有均勻地分布在某個(gè)特定的區(qū)間內(nèi)，而是存在有很多偏離區(qū)域很大的點(diǎn)。同時(shí)，可以看到各個(gè)課程的成績(jī)漸進(jìn)顯著性均為0，而卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中，該項(xiàng)值小于0.05即視為不滿足預(yù)期頻數(shù)，因此可以得出：成績(jī)沒有服從正態(tài)分布。

2 采用K-Means聚類對(duì)成績(jī)分課程進(jìn)行聚類分析

經(jīng)過多次嘗試，最終確定聚類數(shù)目為3類，以下進(jìn)描述聚類數(shù)目為的聚類結(jié)果。

將上述不同課程的學(xué)成成績(jī)進(jìn)行聚類分析。按照“分析-分類-聚類”步驟操作，將“成績(jī)”作為變量，并將聚類數(shù)設(shè)置3，勾選“保存”中的“聚類成員”“與聚類中心的距離”項(xiàng)目和“選項(xiàng)”中的“每個(gè)個(gè)案的聚類信息”項(xiàng)目，得到輸出結(jié)果。

從輸出結(jié)果中以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（理工類）學(xué)生成績(jī)聚類分析結(jié)果”為例可以看到，三個(gè)類的聚類中心點(diǎn)，分別是29、63、80。最終聚類中心間的距離，第一類與第二類的距離為34.527，第一類和第三類之間的距離為51.458，第二類和第三類之間的距離為16.931。

從輸出結(jié)果還可以看出，在以63為聚類中心點(diǎn)的第二類數(shù)據(jù)樣本數(shù)是最多的，而以80為聚類中心點(diǎn)的第三類數(shù)據(jù)樣本數(shù)次之，以29為聚類中心點(diǎn)的第一類數(shù)據(jù)樣本數(shù)最少。

縱觀另外四組輸出結(jié)果，除了微積分（理工類）和線性代數(shù)（經(jīng)管類）之外，微積分（經(jīng)管類）和線性代數(shù)（理工類）均符合這樣的規(guī)律。因此我們將對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分課程、年級(jí)、老師進(jìn)行聚類分析，以期得到一個(gè)普適的規(guī)律。

3 采用K-Means聚類對(duì)成績(jī)分課程、年級(jí)、老師進(jìn)行聚類

通過2010～2017年公共數(shù)學(xué)學(xué)生成績(jī)，進(jìn)行分課程、老師、年級(jí)，再對(duì)每組數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析。具體操作步驟如上所述，得到輸出結(jié)果：當(dāng)以課程、年級(jí)、老師作為分類的依據(jù)，對(duì)學(xué)生成績(jī)以3個(gè)類進(jìn)行聚類時(shí)，基本上剛好可以劃分為不及格，剛及格，高分這三個(gè)類別。其中，不及格的聚點(diǎn)在8～56之間，其中33為眾數(shù)。及格的聚點(diǎn)在60～73之間，其中62、64為眾數(shù)。高分的聚點(diǎn)在75～87之間，其中77為眾數(shù)。自2010年起到2017年的八年中，不及格的學(xué)生成績(jī)雖有略微提高，但是變化不大。及格的學(xué)生成績(jī)則變化較大，提升了6～7分。高分組的學(xué)生成績(jī)比較穩(wěn)定，上下浮動(dòng)不大。同時(shí)從輸出結(jié)果中可以看到教師的不同對(duì)學(xué)生成績(jī)的分布并無(wú)太大影響。

4 采用K-Means聚類對(duì)成績(jī)分課程、老師進(jìn)行聚類

由于考慮到不同老師的教學(xué)方法的不同，將所采集到的數(shù)據(jù)分老師、課程再次進(jìn)行聚類分析。具體操作步驟如上所述，得到輸出結(jié)果如下：

通過對(duì)不同老師相同課程的橫向比較發(fā)現(xiàn)：每位老師的各個(gè)課程的橫向比較，學(xué)生成績(jī)的劃分大致相同，且所占比例最多的聚類中心點(diǎn)在成績(jī)65左右。

5 對(duì)數(shù)據(jù)分課程得出的聚類進(jìn)行正態(tài)分布模型檢驗(yàn)

從正態(tài)分布模型中看出雖然整體并不服從正態(tài)分布，現(xiàn)探究是否存在某一定區(qū)域內(nèi)的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。

將2010～2017級(jí)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（理工類）、微積分（經(jīng)管類）、微積分（理工類）、線性代數(shù)（理工類）這四門不同的公共數(shù)學(xué)課程對(duì)按3類聚類進(jìn)行聚類分析輸出的結(jié)果再次根據(jù)各自的聚類再次進(jìn)行正態(tài)分布模型檢驗(yàn)。

從輸出結(jié)果中，可以看到各個(gè)課程的每個(gè)聚類成績(jī)都是均勻地分布在某個(gè)特定的區(qū)間內(nèi)，并沒有存在有很多偏離區(qū)域很大的點(diǎn)。同時(shí)，可以看到各個(gè)課程的成績(jī)漸進(jìn)顯著性，該項(xiàng)值均大于0.05，即視為滿足預(yù)期頻數(shù)。

因此可以得出結(jié)論：各個(gè)課程聚類分析后每個(gè)聚類成績(jī)各自服從正態(tài)分布。

6 對(duì)各個(gè)課程聚類分析后每個(gè)聚類各自再次進(jìn)行K-Means聚類

經(jīng)過多次的嘗試，最終確定聚類數(shù)目仍為3類。

具體操作步驟如上所述，得到的輸出結(jié)果如下所示：

從輸出結(jié)果來(lái)看，通過將各個(gè)課程的聚類分析后得到的每個(gè)聚類再次進(jìn)行聚類分析，聚類中心點(diǎn)以及每個(gè)聚類所占比例均沒有明顯的差別。

7 結(jié)論

本文中共統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)7854條：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（理工類）課程學(xué)生成績(jī)1871條，微積分（經(jīng)管類）課程學(xué)生成績(jī)1684條，微積分（理工類）學(xué)生成績(jī)1725條，線性代數(shù)（經(jīng)管類）學(xué)生成績(jī)539條，線性代數(shù)（理工類）學(xué)生成績(jī)2035條。

對(duì)所得數(shù)據(jù)通過正態(tài)分布模型檢驗(yàn)得到，學(xué)生成績(jī)并不像預(yù)計(jì)的一樣服從正態(tài)分布。

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析發(fā)現(xiàn)：

基本上每個(gè)課程的學(xué)生成績(jī)都呈現(xiàn)“不及格—及格—高分”這三個(gè)成績(jī)區(qū)間，且處于“及格”區(qū)間的人數(shù)多于其他區(qū)間。

之后，通過課程、老師、年級(jí)分類，再進(jìn)行聚類分析。分析輸出的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不同課程、老師、年級(jí)的學(xué)生成績(jī)基本上剛好可以劃分為“不及格—及格—高分”這三個(gè)類別。其中不及格的聚點(diǎn)在8～56之間，其中33為眾數(shù)。及格的聚點(diǎn)在60～73之間，其中62、64為眾數(shù)。高分的聚點(diǎn)在75～87之間，其中77為眾數(shù)。

自2010年起到2017年的八年中，不及格學(xué)生的成績(jī)雖有略微提高，但是變化不大。及格學(xué)生的成績(jī)則變化較大，提升了6～7分。高分組學(xué)生的成績(jī)比較穩(wěn)定，上下浮動(dòng)不大。

通過課程、老師分類，再進(jìn)行聚類分析。分析輸出結(jié)果顯示，教師的不同對(duì)學(xué)生成績(jī)的劃分并無(wú)太大影響，不同課程對(duì)學(xué)生成績(jī)的劃分也不存在太大的影響。

鑒于通過對(duì)各個(gè)課程的正態(tài)分布模型檢驗(yàn)看到整體雖然不服從正態(tài)分布，但通過對(duì)各個(gè)課程聚類分析后得出的聚類再次進(jìn)行正態(tài)分布模型檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)各個(gè)聚類中的成績(jī)是服從正態(tài)分布。

因此，對(duì)各個(gè)課程聚類分析后每個(gè)聚類各自再次進(jìn)行K-Means聚類。通過輸出結(jié)果可以看到聚類中心點(diǎn)以及每個(gè)聚類所占比例均沒有明顯的差別。由此可得出結(jié)論：不同班級(jí)、年級(jí)、教師之間學(xué)生成績(jī)分布差異不明顯。

綜上所述，近年來(lái)，該校學(xué)生公共數(shù)學(xué)成績(jī)60多分人數(shù)居多，80分以上高分人數(shù)相對(duì)較少。原因之一是在時(shí)間安排上，十八周課程一結(jié)束就開始考試，考試時(shí)間、科目密集，學(xué)生缺乏充足的考前復(fù)習(xí)歸納總結(jié)時(shí)間，使得學(xué)生往往考前突擊復(fù)習(xí)，導(dǎo)致大部分學(xué)生考試成績(jī)普遍偏低，高分相對(duì)較少；近年來(lái)學(xué)校擴(kuò)招，降低了生源的準(zhǔn)入門檻，導(dǎo)致學(xué)生總體素質(zhì)下降，成績(jī)出現(xiàn)在高分區(qū)間的數(shù)量也就相應(yīng)下降；另外，學(xué)校設(shè)置計(jì)算總成績(jī)的方法是當(dāng)學(xué)生期末成績(jī)高于50分，將平時(shí)、期中、期末成績(jī)加權(quán)平均為總成績(jī)，導(dǎo)致總成績(jī)?cè)?0～59分?jǐn)?shù)段的數(shù)據(jù)缺失。

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◇責(zé)任編輯 趙麗斌◇