摘?要：常微分方程是數(shù)學專業(yè)核心基礎課程之一，針對傳統(tǒng)常微分方程教學中存在的問題，嘗試將有實際社會、生活背景的幾個案例，包括傳染病傳播問題、星星之火可以燎原的論斷、糖尿病檢測問題，融入到一階微分方程及線性微分方程組的教學中，從而可以提高學生學以致用的能力和學習興趣，以達到更好的教學效果。

關鍵詞：常微分方程;案例分析;教學

常微分方程是伴隨著17世紀微積分的發(fā)展而興起的一門歷史悠久的學科，是高等學校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的基礎必修課程之一[1-2]。常微分方程既是數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何的后續(xù)課程，也是進一步學習泛函分析、數(shù)理方程、微分幾何的先修課程，因此，在本科教學中起著承上啟下的作用。常微分方程在自然科學與社會科學領域如物理、力學、工程、化工、乃至生物、醫(yī)學、經(jīng)濟等各領域都有著廣泛的應用。

一、傳統(tǒng)常微分方程教學中存在的問題

在傳統(tǒng)的常微分方程教學內容上，往往只講理論部分，不講微分方程的來源和對當今社會問題的應用。

有的教學內容讓學生誤認為微分方程只來源于自然現(xiàn)象，沒有強調這門學科不僅可以描述自然現(xiàn)象，還可以描述社會現(xiàn)象以及日常生活中的實際問題，導致學生認為常微分方程這一學科只是求解的技巧和提示的匯集，并說它之所以重要，是因為它能解決物理學、工程學方面的問題。比如多數(shù)高校所使用的常微分方程教材里首先提到的就是物理和力學中的例子RLC電路和數(shù)學擺問題，這些具有較強抽象性的知識一般很少會出現(xiàn)在人們生活實際當中，對相關專業(yè)外學生來說有很大的難度，很多學生對這些問題望而生畏，也大大降低了后續(xù)學習熱情和興趣。

另外有的教學內容選題過于陳舊，除了講解18世紀的案例外，沒有講述任何與當今社會和科技熱點有關的例子，使得同學們懷疑它對現(xiàn)實生活的應用型，從而失去了繼續(xù)學習的興趣。

有的教學內容過分偏理論，開課就是微分方程的概念和一階微分方程的解法定解問題，結果學生感覺到從數(shù)學分析課程到常微分方程的銜接不夠好，跳躍太大，導致學生們沒有信心和興趣深入學習，即使有極少數(shù)同學對細節(jié)能推導、能運算，但仍然不能理解這些理論與實際問題的聯(lián)系。

二、常微分方程教學中案例教學探索

常微分方程中許多模型都是為了解決實際問題而產(chǎn)生發(fā)展起來的，所以在講解具體方程（組）求解時先介紹實際背景，就能更好地引導學生從實際問題出發(fā)去學習相關理論，并用相關理論解釋、解決實際問題，可以學以致用，同時提高學生的學習興趣，增加學習的積極性和熱情，達到更好的學習效果。我們通過以下幾個例子做初步探討。

（一）傳染病傳播問題

下面基于微分方程的基本理論就一般的傳染規(guī)律討論傳染病的數(shù)學模型。

從式（5）可知方程的解是一個指數(shù)函數(shù)，不管開始時火星數(shù)量有多少，經(jīng)過一段時間后，就會產(chǎn)生巨大的火星數(shù)量，以至于可以燎原。

（三）糖尿病檢測問題

糖尿病是新陳代謝疾病，因病人體內不能提供足夠的胰島素，從而不能消耗完體內所有的糖，使病人血液和尿液中含有過多的糖。檢測糖尿病的常用方法是葡萄糖耐量檢查（GTT），通過禁食后輸入大劑量葡萄糖然后在不同時間檢測葡萄糖濃度（G）和激素凈濃度（H），視他們變化情況做出判斷。20世紀60年美國生物學家Ackerman提出簡易檢測模型，如下圖：

三、結語

上述案例有實際應用背景，貼近生活，容易為學生所接納，通過模型假設和分析將實際問題轉化為常微分方程問題，將常微分方程與實際生活緊密聯(lián)系起來，使學生了解微分方程源于生活實踐又應用于生產(chǎn)生活實踐，可以激發(fā)學生的求知欲與探究欲，提高了學習興趣。同時培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的素養(yǎng)，有利于提高學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學應用能力。

參考文獻：

[1]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

基金項目：2019年9月江蘇理工學院教改項目“大學數(shù)學課程案例式導入教學模式探索”（11611211946）

作者簡介：孟鳳娟（1982—?），女，漢族，山東單縣人，博士研究生，副教授，研究方向：非線性泛函分析。