沈習(xí)輝

[摘? 要] 中考對(duì)反比例函數(shù)內(nèi)容的考查常以綜合題的形式進(jìn)行，因此深入探究反比例函數(shù)的知識(shí)及常見(jiàn)綜合形式十分必要. 文章結(jié)合2020年江蘇省中考反比例函數(shù)綜合題開(kāi)展問(wèn)題解析、方法探究，以期對(duì)讀者有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 反比例函數(shù);圖像;性質(zhì);幾何;面積

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其知識(shí)內(nèi)容同數(shù)與式、方程、不等式、幾何圖形、三角函數(shù)等聯(lián)系緊密，是初高中知識(shí)的重要銜接部分. 中考對(duì)其的考查形式較為靈活，除了注重基礎(chǔ)知識(shí)外，還常與關(guān)聯(lián)知識(shí)相綜合，需要學(xué)生聯(lián)系知識(shí)考點(diǎn)，全方位審視問(wèn)題.

■ 與一次函數(shù)綜合，考查函數(shù)性質(zhì)

反比例函數(shù)是初中函數(shù)的重要組成部分. 在初中階段，需要掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像. 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題在中考中最為常見(jiàn)，解析問(wèn)題時(shí)需要把握兩種函數(shù)的性質(zhì)，以圖像交點(diǎn)為突破口構(gòu)建解析方程，分析圖像的位置關(guān)系.

例1（2020年泰州市中考數(shù)學(xué)卷第16題）如圖1，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=■的圖像上，且橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作兩條坐標(biāo)軸的平行線，與反比例函數(shù)y=■ （k<0）的圖像相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB與x軸所夾銳角的正切值為_(kāi)_____.

解析?因?yàn)辄c(diǎn)P在反比例函數(shù)y=■的圖像上，且橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）. 根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，連接AB，如圖2. 由題意易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為■ ，3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，k）. 則直線AB與x軸所成銳角可放在Rt△ABP中，其正切值可表示為■=■=3，所以所求正切值為3.

■ 以幾何動(dòng)點(diǎn)為載體，考查函數(shù)

解析式

反比例函數(shù)與幾何動(dòng)點(diǎn)結(jié)合是中考的重要綜合形式，常以反比例函數(shù)圖像為背景，設(shè)定相關(guān)動(dòng)點(diǎn)，以幾何運(yùn)動(dòng)為載體構(gòu)建模型，能全面考查反比例函數(shù)k的意義及解析式. 解析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)化“動(dòng)”為“靜”，立足曲線相交，借助方程確定交點(diǎn)坐標(biāo).

例2? （2020年淮安市中考數(shù)學(xué)卷第16題）如圖3，等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（-1，-4），B（-4，-1）均在反比例函數(shù)y=■（x<0）的圖像上，AC=BC. 過(guò)點(diǎn)C作邊AB的垂線交反比例函數(shù)y=■（x<0）的圖像于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線CD方向運(yùn)動(dòng)3■個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)反比例函數(shù)y=■（x>0）圖像上一點(diǎn)，則k■的值為_(kāi)_____.

解析? 設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為E. 分析可知△ABC為等腰三角形，CD為AB的垂直平分線，所以CD為反比例函數(shù)y=■（x<0）的對(duì)稱軸. 所以直線CD的解析式為y=x. 由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-4），其在y=■（x<0）的圖像上，所以k■=4. 又直線CD與y=■（x<0）的交點(diǎn)為D，所以可解得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-2）. 所以O(shè)D=2■. 點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線CD運(yùn)動(dòng)3■個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖像上，則OP=■. 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）. 將其坐標(biāo)代入y=■（x>0）中，解得k■的值為1.

■ 與不等式知識(shí)相聯(lián)系，考查數(shù)

式圖像轉(zhuǎn)化

反比例函數(shù)具有數(shù)式的特點(diǎn)，可用于研究方程、不等式的數(shù)量關(guān)系. 深入理解函數(shù)與不等式、數(shù)式之間的關(guān)系，有助于建立整個(gè)數(shù)學(xué)體系. 中考對(duì)該部分的考查除了注重對(duì)函數(shù)與數(shù)式、不等式關(guān)系的研究外，還側(cè)重考查數(shù)式圖像之間的轉(zhuǎn)化，如反比例函數(shù)、方程的解、數(shù)軸之間的轉(zhuǎn)化.

例3? （2020年南京市中考數(shù)學(xué)卷第20題）已知反比例函數(shù)y=■的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，-1）.

（1）求k的值.

（2）完成下面的解答.

解不等式組：2-x>1①■>1②

解：解不等式①，得______.

根據(jù)函數(shù)y=■的圖像，得不等式②的解集為_(kāi)_____.

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上（圖4）表示出來(lái).

從中可以找出兩個(gè)不等式解集的公共部分，得不等式組的解集為_(kāi)_________.

解析？搖 （1）因?yàn)辄c(diǎn)（-2，-1）在反比例函數(shù)y=■的圖像上，所以k=2.

（2）解不等式①，可得x<1. 由反比例函數(shù)y=■的圖像可知不等式②的解集為0

■ 與幾何最值相綜合，考查面積

模型

反比例函數(shù)與幾何聯(lián)系緊密，中考常聯(lián)系三角形考查面積，有時(shí)還會(huì)涉及幾何最值，能同時(shí)考查二次函數(shù)的性質(zhì). 該類問(wèn)題的突破需分三步進(jìn)行：第一步，解析圖像;第二步，構(gòu)建面積模型;第三步，完成面積最值分析.

例4? （2020年連云港市中考數(shù)學(xué)卷第24題）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=■ （x>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A4，■，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，AB交x軸于點(diǎn)C，C為線段AB的中點(diǎn).

（1）m=________，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______;

（2）若點(diǎn)D為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，求△ODE面積的最大值.

解析? （1）將4，■代入反比例函數(shù)y=■（x>0）中，可解得m=6. 由于點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)分別為4和0，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）.

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)后可求得直線AB的解析式為y=■x-■. 由條件設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為a，■a-■（0

■ 反思總結(jié)

中考對(duì)反比例函數(shù)內(nèi)容的考查常以知識(shí)綜合的形式進(jìn)行，涉及一次函數(shù)、幾何圖形、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、不等式組、圖形面積、最值探究等知識(shí)，問(wèn)題形式多樣，充分把握對(duì)應(yīng)知識(shí)的定理定義，逐步轉(zhuǎn)化分析，構(gòu)建條件與結(jié)論之間的關(guān)系是突破的關(guān)鍵. 對(duì)于一些命題形式較為抽象的問(wèn)題，建議采用數(shù)形結(jié)合的分析方法，合理添加輔助線構(gòu)建問(wèn)題模型，通過(guò)直觀的圖像來(lái)降低思維難度.

在教學(xué)實(shí)踐中，建議教師從與反比例函數(shù)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)入手，把握函數(shù)的數(shù)式特點(diǎn)、圖形特點(diǎn)，準(zhǔn)確定位函數(shù)的思想內(nèi)涵，然后把握知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生全方位地解析反比例函數(shù)，探究綜合性問(wèn)題的解析思路，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 由于綜合題所涉及的數(shù)學(xué)方法較多，所以教學(xué)中教師需注意總結(jié)常見(jiàn)問(wèn)題的解法，如待定系數(shù)法、中點(diǎn)坐標(biāo)公式法、點(diǎn)與直線的距離法、函數(shù)性質(zhì)分析法等，幫助學(xué)生強(qiáng)化類型問(wèn)題的解析方法，使學(xué)生形成反比例函數(shù)綜合題的解題策略.