劉洪順，王 喆，胡 琪，孫家成，鄧家春

(天津理工大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384)

1 引 言

在重現(xiàn)真實物理世界的光波場信息方面，先后出現(xiàn)了平面照相與顯示成像技術(shù)和3D立體成像顯示技術(shù)[1]。現(xiàn)如今3D技術(shù)多種多樣，如市面上流行的利用人的雙眼視差法制作的偏光鏡和利用兩束相干光在特制的化學(xué)材料上記錄與再現(xiàn)物體光波信息的全息術(shù)[2-4]。然而偏光鏡的缺點(diǎn)是使用時會令人產(chǎn)生眩暈和視覺疲勞，而相干法全息術(shù)的實現(xiàn)條件非?？量?，抗干擾性差，難以實現(xiàn)彩色和非相干光顯示成像。目前，具有較大發(fā)展前景的是通過全息再現(xiàn)方式實現(xiàn)裸眼3D技術(shù)的全息成像技術(shù)[3]。這種技術(shù)可以利用空間光調(diào)制器(Spatial Light Modulator,SLM)[5]良好的相位復(fù)原特性來實現(xiàn)[6-9]。韓國大學(xué)的Hwi Kim等人[10]提出利用兩臺空間光調(diào)制器(振幅型和相位型各一臺)，實現(xiàn)物光波前重現(xiàn)的全息技術(shù)。該技術(shù)使用計算機(jī)模擬出一個平面物光場，然后用第一個振幅型SLM加載光場強(qiáng)度信息，再利用第二臺相位型SLM加載相位信息，從而重現(xiàn)了模擬計算的物光光場。而后通過成像透鏡和CCD形成的成像系統(tǒng)對物光光場進(jìn)行探測。他們通過改變觀察視角分析了平面物光的立體全息性質(zhì)。但該研究僅停留在利用計算模擬物光光場的階段。與此同時，其重現(xiàn)的光場對于成像系統(tǒng)直接觀察具有較好的虛擬現(xiàn)實效果，但還不能通過漫反射體(如幕布)反射后被人眼觀看。

上述難點(diǎn)有兩部分原因：

(1)對于真實場景的物光波前進(jìn)行定量采集需要特殊的光學(xué)儀器；

(2)漫反射體會嚴(yán)重改變?nèi)肷涔鈭?，使得物光失去原有的波前分?就好像人們無法像使用鏡子一樣，用人眼從墻面直接看到物體的像一樣)。

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，人們已經(jīng)可以通過波前傳感器(Wave Front Sensor,WFS)對實物光場實現(xiàn)定量采集[11]。而計算全息與WFS的結(jié)合[11-12]，使得解決上述兩個難點(diǎn)成為可能。本文采用WFS定量采集真實物體的波前信息，然后利用兩臺SLM復(fù)合調(diào)制實現(xiàn)物光波前重現(xiàn)。同時，本文利用計算全息技術(shù)，將光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與物光波前進(jìn)行卷積運(yùn)算[13-15]，獲得了物光經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后的光場。本文通過模擬成像透鏡，設(shè)計了光學(xué)系統(tǒng)，通過加載它的傳遞函數(shù)，重現(xiàn)出了物光光場經(jīng)過透鏡后的表面波前效果。因此，在對物體進(jìn)行全息成像探測時，只需利用CCD觀察實驗成像結(jié)果，而不需要使用真實的透鏡，從而減少了實際成像系統(tǒng)引入的諸如色差、球差等像差效應(yīng)[16]。

通過靈活調(diào)整透鏡參數(shù)，并結(jié)合基于單次傅立葉變換的分段衍射算法[17]，本文根據(jù)CCD成像面元尺寸和成像面位置的需要，設(shè)計了與之相匹配的透鏡參數(shù)，以獲得理想的放大率和分辨率。該技術(shù)還可根據(jù)探測需要，用計算全息方法靈活更換探測方式(如光譜成像、特種顯示技術(shù)等)，該技術(shù)可在生物醫(yī)學(xué)、衛(wèi)星探測等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。這項研究把計算全息和實驗全息結(jié)合起來，受實驗環(huán)境影響較小，靈活性較大，前景廣闊，有望成為3D全息顯示技術(shù)的一個重要發(fā)展方向。

2 衍射理論算法

從已知空間平面經(jīng)后續(xù)介質(zhì)傳播至任意觀察位置上的光波復(fù)振幅表達(dá)式可通過惠更斯-菲涅耳原理來計算[18-20]。

菲涅耳衍射坐標(biāo)示意圖如圖1所示，可見，光經(jīng)自由空間傳播距離d后在x-y衍射平面上p點(diǎn)處的光場U(p)是x0-y0平面上面元dS內(nèi)發(fā)出的所有光波復(fù)振幅U0(x0,y0)在衍射面p點(diǎn)處的相干疊加。所以p點(diǎn)的合振動等于整個S面上各點(diǎn)傳播到x-y平面上p點(diǎn)處光振動的積分：

U(p)exp(i2πvt)=

(1)

式中，k(φ)為并未作嚴(yán)格定義的傾斜因子，v為光波的頻率[17]。

圖1 菲涅耳衍射坐標(biāo)示意圖 Fig.1 Fresnel diffraction coordinate diagram

根據(jù)標(biāo)量衍射理論，在傍軸近似的情況下[18,19]菲涅耳衍射積分可變?yōu)椋?/p>

(2)

式中，k=2π/λz，λz為光波長λ沿z軸方向的分量，λ為光的波長。

將式(2)展開，并把與積分無關(guān)的x2和y2項提到積分號外，可得：

(3)

(4)

公式(4)稱為“單次快速傅里葉變換算法”(Single Fast Fourier Transform Algorithm，S-FFT)[21-22]。由于該算法僅使用單次快速傅立葉變換，所以其計算速度較快，失真率較低[21]。

3 衍射受限透鏡成像系統(tǒng)

運(yùn)用S-FFT算法結(jié)合透鏡的相位變換作用，就可以模擬出光波通過透鏡成像系統(tǒng)后得到的光波復(fù)振幅信息，從而可以對物光光場進(jìn)行成像研究。

已知光波在透鏡后表面的光波復(fù)振幅可通過透鏡的相位變換因子t(x,y)計算。

圖2 透鏡的相位變換作用示意圖 Fig.2 Schematic diagram of lens phase shift transformation

如圖2所示，設(shè)對稱透鏡的焦距為f,物距為p，像距為q。在傍軸近似的情況下，點(diǎn)光源S產(chǎn)生的發(fā)散球面波在透鏡前表面P1上的復(fù)振幅為：

(5)

在傍軸近似情況下，忽略透鏡的吸收，通過透鏡后的匯聚球面波會在像點(diǎn)S′處交為一點(diǎn)。因此其在透鏡后表面P2上的復(fù)振幅分布應(yīng)為：

(6)

引入復(fù)振幅透過率函數(shù)t(x,y)來表達(dá)透鏡的變換作用：

(7)

所以復(fù)振幅透過率函數(shù)可表示為：

(8)

再由透鏡的成像公式：

(9)

可將式(8)改寫為：

(10)

考慮無像差薄透鏡的孔徑尺寸有限，用P(x,y)表示孔徑函數(shù)(或光瞳函數(shù))，其可定義為[18]：

(11)

于是無像差的透鏡相位變換因子為：

(12)

因此，物光傳播距離d，經(jīng)過透鏡后，表面的光場復(fù)振幅為：

(13)

其中，U1(x,y)為式(4)通過S-FFT算法獲得的自由空間傳播后的光場。

4 強(qiáng)度-相位復(fù)合調(diào)制的SLM波前再現(xiàn)成像

實驗中將兩片相距為25 mm的金屬片錯位擺放。片上分別鏤空刻有英文字母“F”和“L”，如圖3所示。這樣在光照下，就構(gòu)建了一個簡單的立體物，它在兩個不同視覺深度平面上形成了不同的清晰像，而且其包含著其他平面上物光光場的衍射光場，“F”尺寸為0.7 mm×2.6 mm,“L”尺寸0.6 mm×2.0 mm。

圖3 字母“F”和“L”組成的立體物 Fig.3 A 3-D structure composed by letters “F” and “L”

實驗中首先使用物光波前采集設(shè)備采集波前的數(shù)據(jù)信息，所用的為美國Thorlabs公司生產(chǎn)的WFS300-14AR型波前傳感器，微透鏡陣列的面元個數(shù)為17×13，利用該設(shè)備可對立體物的物光波前信息進(jìn)行定量采集，包括強(qiáng)度信息和相位信息，如圖4所示。入射均勻光(波長為532 nm，功率為100 mW)照射到兩個平面金屬片上，經(jīng)過鏤空的字母“F”和“L”，透射出的衍射光場變成畸變的波前。兩個畸變的物光光場再經(jīng)過一段衍射距離后(該距離為第二塊金屬片“L”到WFS間的距離，為125 mm，圖4)被WFS收集，采集到其波前數(shù)據(jù)信息。

圖4 波前信息采集示意圖 Fig.4 Schematic of wavefront information acquisition

用WFS采集該物體的波陣面分布圖，如圖5所示。由于波前傳感器采集的相位精度較高，其空間像素數(shù)量并不多，僅有17×13。因此需要對采集到的波前數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，本文運(yùn)用線性插值算法[23]將數(shù)據(jù)擴(kuò)展為170×128。

圖5 WFS波前信息采集數(shù)據(jù)圖 Fig.5 Acquisition data map of WFS wavefront information

后面實驗用到的強(qiáng)度灰度圖是由波前采集到的物光強(qiáng)度數(shù)據(jù)制成的，如圖6所示。相位灰度圖則是根據(jù)WFS采集的相位數(shù)據(jù)，由公式(13)用S-FFT算法計算物光場到達(dá)焦距為150 mm的透鏡后表面的相位項得到(如圖7所示)。

圖6 含有物光波前信息的強(qiáng)度灰度圖 Fig.6 Intensity grayscale image containing object wavefront information

圖4中物1“F”到WFS的距離為150 mm，兩物的距離為25 mm，入射光波長為λ=532 nm，透鏡焦距為f=150 mm。通過計算原物光波場到達(dá)透鏡后表面的復(fù)振幅，得到其相位分布信息，制作成相位灰度圖，如圖7所示。

圖7 d1=150 mm處透鏡后表面光場相位分布灰度圖 Fig.7 Phase distribution gray image on the back surface of the lens at d1=150 mm

接著，利用得到的光場強(qiáng)度和相位分布生成強(qiáng)度灰度圖和相位灰度圖，并將這兩項分別加載到兩臺SLM(如圖8所示)的芯片上進(jìn)行光波調(diào)制，從而實現(xiàn)波前重現(xiàn)。實驗中采用的是德國HOLOEYE公司的純相位型的空間光調(diào)制器(PLUTO-NIR-011)，有效面元尺寸為15.36 mm×8.64 mm。其中，強(qiáng)度調(diào)制是通過一個相位型SLM與一個偏振分光棱鏡(Polarizing Beam Splitter,PBS)實現(xiàn)的[24]，相位調(diào)制使用了另一個空間光調(diào)制器。其空間分辨率為1 920 pixel×1 080 pixel，計算時運(yùn)用了分段衍射算法[17]來靈活調(diào)節(jié)強(qiáng)度圖和相位圖的畫幅尺寸和空間分辨率。

圖8 SLM強(qiáng)度-相位復(fù)合調(diào)制的波前再現(xiàn)成像示意圖 Fig.8 Schematic diagram of wavefront reproduction imaging of SLM intensity-phase composite modulation

經(jīng)過強(qiáng)度圖和相位圖復(fù)合調(diào)制后，激光器出射的均勻平行光形成原物光通過透鏡后的波前光場分布，在空間中形成了該物體的波前重現(xiàn)全息層析像。

圖9 現(xiàn)有SLM全息術(shù)實驗效果的示意圖 Fig.9 Schematic diagram of experimental results by existing SLM holography

由于實驗中已經(jīng)加入了成像透鏡的相位變換因子，用CCD直接在像面上探測即可觀察到物體的像。通過調(diào)節(jié)虛擬透鏡的物距或CCD與SLM之間的像距，即可看到物體不同深度平面的清晰像(如圖9所示)。

最終通過CCD采集得到的圖像如圖10所示。該結(jié)果表明，光場經(jīng)SLM調(diào)制后在像空間形成了三維物體的立體全息像，且不同深度下離像光場發(fā)散劇烈，軸向分辨率較高。

圖10 層析成像實驗結(jié)果 Fig.10 Tomography experiment results

對于圖10的實驗結(jié)果，將從以下幾個方面加以分析：

(1)計算成像的縱向拉伸度

“F”和“L”的物距之差為25 mm，而根據(jù)透鏡的成像公式計算出的“F”和“L”的理論像距分別為VF=300.0 mm和VL=340.0 mm，像距之差為40.0 mm，而實驗測得的像距之差為39.1 mm，立體物整體縱向拉伸度的理論值和實驗值分別約為1.6和1.156 4，相對誤差為2.25%。實驗與理論符合較好。

需要說明的是，因為像距與物距的變化關(guān)系并非線性關(guān)系，因此理論上立體物在縱向上的像點(diǎn)間距會產(chǎn)生畸變。技術(shù)上是可以通過組合透鏡來消除這種縱向畸變的，但由于這項研究并非本文重點(diǎn)研究內(nèi)容，實驗中并未做過多說明。

(2)計算全息像的橫向放大率

利用成像公式理論計算出的字母“F”的橫向放大率βF=VF/UF=1，字母“L”的橫向放大率βL=VL/UL=1.2，兩者的放大率比值約為0.83。這個比值可以反映立體物在不同深度像面處產(chǎn)生的橫向畸變，也就是說一個立方體在空間中所成的立體像本身就存在畸變，像距越大，橫向放大率也越大。

實驗中，首先測量了WFS采集到的物光強(qiáng)度占總畫幅的比例，如表1所示。其中，“F”的水平(x軸)和豎直(y軸)方向比例分別為35%和86%；“L”在兩個方向上的比例分別為32%和72%。接著，將比例值分別乘以WFS的真實面元尺寸(5.95 mm×4.76 mm)，得到采集的物光空間中“F”和“L”的尺寸分別為2.09 mm×4.11 mm和1.90 mm×3.40 mm。

表1 WFS采集到的光強(qiáng)分布比例

然后，利用SLM和WFS的有效面元以及像素之比得到兩儀器之間的空間換算放大率，如表2所示，x、y軸方向分別為322∶1和182∶1。接下來，用金屬片上“F”和“L”實際物的尺寸(分別為0.7 mm×2.6 mm和0.6 mm×2.0 mm)分別乘以空間換算放大率，得到實驗中前后兩物的大小分別為2.25 mm×4.73 mm和1.93 mm×4.19 mm。

表2 SLM實驗中的重現(xiàn)物尺寸

通過測量得知，CCD采集到的“F”和“L”的像面圖案在x軸、y軸上占畫幅的比例分別為(29%，75%)和(30%，67%)。將上述比例乘以CCD的面元尺寸(8.5 mm×6.8 mm)，就得到了實驗中“F”和“L”像的尺寸，分別為2.49 mm×5.11 mm和2.59 mm×4.58 mm。最后，將實驗中的像尺寸除以物尺寸，即可得到全息層析成像后“F”和“L”在x軸、y軸方向上的橫向放大率，分別為(110%，108%)和(134%，109%)，其相對誤差分別為(10.6%，8%)和(11.7%，9%)。實驗的相對誤差較小，實驗結(jié)果與理論值較符合。

表3 CCD采集的像尺寸及其計算參數(shù)

(3)計算全息成像后的角擴(kuò)散度分布

根據(jù)實驗中“F”和“L”的離像面圖像，可獲得角擴(kuò)散度，也就是像點(diǎn)發(fā)散光的發(fā)散角。理論上這個發(fā)散角同樣與像距相關(guān)，其與像距的關(guān)系如圖11中實線所示。由于實驗中僅對兩個面進(jìn)行成像，所以僅分析“F”和“L”所在像面處角擴(kuò)散度的實驗值(圖11中“*”號數(shù)據(jù)點(diǎn))。其分析過程如下：

實驗中所用設(shè)備SLM的有效面元尺寸為15.36 mm×8.64 mm，CCD的有效面元尺寸為8.5 mm×6.8 mm。在(1)中測量了兩個字母在清晰像位置的橫向?qū)挾?，所以這里仍然取橫向?qū)挾茸鳛閰⒖肌Ｍㄟ^實際設(shè)備的面元尺寸可計算得到“F”和“L”在兩成像面位置的尺寸寬度(下面僅以x軸方向為例)：

而根據(jù)SLM的面元尺寸計算可得，tanθ=15.36/q，q為像距，得到在x軸方向上“F”和“L”處的角擴(kuò)散度理論值分別為2.95°和2.61°，其曲線分布如圖11所示。

圖11 角擴(kuò)散度隨像距變化圖 Fig.11 Angular spread varies with image distance

可以看到理論值與實驗值的角擴(kuò)散度差距較小，相對誤差分別為2.6%和0.7%，實驗結(jié)果基本符合理論預(yù)期。其誤差主要來自兩個方面：

(1)空間光調(diào)制器的相位調(diào)制精度、反射面元的平整度及其光滑程度。實驗中不夠光滑的鏡面反射可能帶來散射效應(yīng)，而相位上的微擾動足以改變成像質(zhì)量。

(2)對于模糊像的散斑寬度的測量會因測試者不同而有差別。實驗中首先將兩個圖像歸一化并平方后相減得到方差圖，再通過原位多次測量取平均的方法消除隨機(jī)誤差(隨機(jī)誤差主要是由CCD的暗噪聲和光源的穩(wěn)定性差產(chǎn)生的)。然后再提取出清晰像邊界以外的光強(qiáng)分布曲線，選擇曲線最大值的1/e為邊界測量到的寬度。

5 計算全息仿真成像

為了進(jìn)一步說明實驗原理和這項技術(shù)的有效性，采用第三章的衍射受限系統(tǒng)，模擬出通過WFS采集到的層析物體字母“F”和“L”，利用其強(qiáng)度信息和相位信息復(fù)原出其通過虛擬透鏡后的層析成像結(jié)果，如圖12所示。

圖12 仿真成像實驗結(jié)果 Fig.12 Simulation results

由圖12可以看出，清晰像有一定程度的虛化，這與靠近光源物的物光經(jīng)過遠(yuǎn)離光源物后的衍射效應(yīng)有關(guān)，是由一些高空間頻率的物光發(fā)生了遮擋和衍射效應(yīng)導(dǎo)致的。同時(以圖12(b)為例)，遠(yuǎn)離光源物(“L”)的清晰像也會受到影響，因為照射在遠(yuǎn)離光源物(“L”)的光場中存在一部分靠近光源物(“F”)的物光，而這部分光線已經(jīng)帶有靠近光源物(“F”)的光場信息。所以在三維立體成像或者多層平面物體成像中，圖像清晰度會受到三維物體結(jié)構(gòu)的影響。利用該衍射算法計算出的成像結(jié)果與SLM實驗觀察到的圖10的層析實驗結(jié)果比較符合。

6 結(jié) 論

本文利用波前傳感器對實物光場進(jìn)行了定量采集，并利用分段衍射算法對光場衍射及其經(jīng)過成像系統(tǒng)后的衍射光場進(jìn)行了理論計算。在此基礎(chǔ)上，通過兩個空間光調(diào)制器在實驗上實現(xiàn)了物光波場及其透鏡后表面光場的波前重現(xiàn)，并形成了空間立體的全息層析像。

通過對成像數(shù)據(jù)的定量分析可知，在物光衍射距離為150 mm的情況下，在298.5 mm和337.6 mm處可以分別得到“F”和“L”的清晰的全息層析像。立體物前后不同深度在兩個成像面x、y方向上的橫向放大率分別為(1.1，1.08)和(1.34，1.09)，與透鏡成像公式計算得到的橫向放大率(1，1.2)相比，相對誤差為(10.6%，8%)和(11.7%，8%)。角擴(kuò)散度分別為2.95°和2.61°，其相對誤差分別為2.6%和0.7%。實驗結(jié)果與理論值較符合。

分段衍射算法是波前重現(xiàn)技術(shù)中的一項關(guān)鍵技術(shù)，它有效改善了S-FFT算法在模擬衍射中畫幅尺寸和圖像分辨率，使圖像失真度大幅下降。此外，可知用計算全息方法對波前經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)衍射后的光場進(jìn)行模擬計算是可行的，該方法可進(jìn)一步擴(kuò)展，以解決真實光學(xué)系統(tǒng)難以滿足光學(xué)探測需要的問題，在光譜分辨成像、時域分辨光譜成像、零梯形校正成像等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。該研究成果是上述問題得以實現(xiàn)的關(guān)鍵前提和重要基礎(chǔ)，且可在生物醫(yī)學(xué)成像、衛(wèi)星探測等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，具有較高的使用價值和發(fā)展空間。