戴 敏

（浙大城市學(xué)院計算機(jī)與計算科學(xué)學(xué)院 浙江·杭州 310015）

0 引言

數(shù)學(xué)是一門從義務(wù)教育開始直至高等教育甚至持續(xù)終身的基礎(chǔ)學(xué)科。大部人都認(rèn)為初等數(shù)學(xué)尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相差甚遠(yuǎn)，事實(shí)上它們之間不僅在內(nèi)容、而且在思維上都存在密切聯(lián)系。Tall(1991)是一位從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)家，他提出了數(shù)學(xué)的三個世界的觀點(diǎn)。這個理論完全符合數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)以及人類的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。他在著作《高等數(shù)學(xué)思維》中告訴人們，高等數(shù)學(xué)是抽象的，而對應(yīng)的相對具體的概念是初等數(shù)學(xué)階段就逐漸熟悉的，也就是說高等數(shù)學(xué)思維不僅僅是高中以后才開始的事情，它完全可以浸入到小學(xué)一年級的學(xué)習(xí)。這就要求初等數(shù)學(xué)的教師尤其是小學(xué)一年級的數(shù)學(xué)教師，盡早從數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性等特點(diǎn)，去幫助學(xué)生自己建構(gòu)起數(shù)學(xué)思想，甚至是高等數(shù)學(xué)思想。

在我國初等教育階段，基礎(chǔ)課的授課老師是由熱愛這個學(xué)科、充分接受過該學(xué)科高等教育、同時有基本的兒童心理學(xué)的人來擔(dān)任。目前承擔(dān)我國基礎(chǔ)教育尤其是小學(xué)教育的老師，大都來自師范類學(xué)校。他們的優(yōu)點(diǎn)在于有充分的兒童心理學(xué)知識，對學(xué)生有愛心，這在小學(xué)低齡階段確實(shí)是最重要的。但是由于教學(xué)內(nèi)容的限制以及部分教師的全局?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)欠缺，不能引導(dǎo)學(xué)生建立起全局的知識觀，這也是目前針對義務(wù)教育的課外興趣班遍地開花的原因之一。好在，很多民辦小學(xué)、公辦小學(xué)的興趣課，已經(jīng)有向強(qiáng)調(diào)知識的系統(tǒng)性這個方向發(fā)展的趨勢了。引導(dǎo)學(xué)生探究每門學(xué)科的本質(zhì)，支持學(xué)生犯錯、不輕易相信書上寫的結(jié)論，才是我們應(yīng)該給予孩子的教育環(huán)境。

1 實(shí)證分析

小學(xué)生的思維特點(diǎn)是非常具體的，他們思考問題時相信自己看到的事實(shí)，而不是老師說的結(jié)論。作為教師，要回答孩子們提出的任何“為什么”，比如“1+1為什么等于2”等等。如果教師本人學(xué)術(shù)造詣不夠，對解釋不了的問題進(jìn)行無法自圓其說的科普，將會對孩子的興趣造成巨大傷害，會被認(rèn)為是在用老師的身份強(qiáng)行灌輸。每一個孩子都像一塊美玉需要老師去雕琢，雖然不是每個孩子都有數(shù)學(xué)的天賦，但是引導(dǎo)每一個孩子體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的魅力，是教學(xué)的一大難點(diǎn)，也是挖掘孩子身上數(shù)學(xué)天賦的必經(jīng)之路。筆者嘗試在兩所公辦小學(xué)、一所民辦小學(xué)擔(dān)任了一周一次的數(shù)學(xué)興趣課老師，將高等數(shù)學(xué)的思維融入到初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，收獲頗多。整理了以下幾個數(shù)學(xué)概念的實(shí)例。

1.1 無窮與有限

小學(xué)低年級階段的學(xué)生，對自然數(shù)的概念可以嘗試達(dá)到兩個認(rèn)識上的飛躍：從正整數(shù)到0到負(fù)整數(shù)的認(rèn)識，以及從有限到無窮的認(rèn)識。

問題一：如果不一一數(shù)清楚，怎樣判斷兩個學(xué)生的筆袋里的筆誰更多？

學(xué)生回答：兩個人依次從自己的筆袋里拿一支筆出來，誰先取完，而對方還能拿出下一支來，則誰的筆少。如果同時取完則兩人筆一樣多。

這顯然是一個很簡單的能夠比較出誰的筆更多的做法。

問題二：偶數(shù)和自然數(shù)誰更多？

學(xué)生提出了兩個似乎都對的結(jié)論：

結(jié)論一：一個偶數(shù)1，能對應(yīng)一個自然數(shù)2；一個偶數(shù)2，能對應(yīng)一個自然數(shù)4；一個偶數(shù)3，能對應(yīng)一個自然數(shù)6…以此進(jìn)行下去，和剛才取筆的做法一致，偶數(shù)堆里拿一個來，自然數(shù)堆里都能夠拿出相應(yīng)的一個來應(yīng)對，所以它們是一樣多的。

結(jié)論二：自然數(shù)除了偶數(shù)還有奇數(shù)，所以偶數(shù)個數(shù)加奇數(shù)個數(shù)才是自然數(shù)個數(shù)。所以自然數(shù)比偶數(shù)多。

孩子們有爭論，最后老師和學(xué)生能夠達(dá)成一致的是，如果某一事物，雙方都是有限個，那就能比較多少；如果一方是有限個，一方是無窮多個的話，那有限的一方一定會先取完，它一定是少的那方；如果雙方都是無窮多個的話，那就沒法比較了。

小學(xué)生當(dāng)然不能理解“比較可數(shù)無窮和不可數(shù)無窮之間有沒有意義、或者誰多誰少”，但是他們能理解可數(shù)無窮的字面意思——可以數(shù)！什么是可以數(shù)的？就是一個、兩個、三個、四個等等，能夠和自然數(shù)一樣1、2、3、4等等可以一個個由小到大數(shù)出來的。

1.2 極限

極限是高等數(shù)學(xué)的思維。大部分學(xué)生從高中才開始接觸到極限，比如考慮等比數(shù)列的無窮多項(xiàng)求和、求平面曲線在一點(diǎn)處的切線斜率等問題。但是同樣可以引導(dǎo)小學(xué)生作類似的思考。

問題一：0.9999…和1如何比較大??？

結(jié)論一：因?yàn)?-0.9999…=0.0000…1是大于0的數(shù)，所以0.9999…當(dāng)然比1小。

反駁：沒有0.0000…1這個數(shù)。因?yàn)?.0000…1表示的是在無窮多個0后面加一個1，但是無窮多個0本身沒有最后一個，也就沒有“最后一個后面加一個1”的意義。

結(jié)論二：0.9999…=1。因?yàn)樵?.9999…和1之間不能夾任何數(shù)，使得這個數(shù)比0.9999…大且比1小。

結(jié)論三：0.9999…=1。因?yàn)?0.3…=1/3，所以 0.9999…=1/3*3=1

結(jié)論二和三都是小學(xué)生對這個問題的很好的理解。

問題二：面積單位的定義和圓面積。

首先引導(dǎo)低年級學(xué)生定義出面積（大?。┑膯挝唬热?厘米*1厘米的正方形的面積就是1平方厘米。那么長度、寬度分別為a，b厘米（取整數(shù)）的矩形的面積可以通過分割得到是ab平方厘米。然后對長寬分別是0.5和4厘米的矩形，可以分割成4個0.5厘米*1厘米的矩形，再拼接成2*1厘米的矩形，所以它的面積是2平方厘米。由此可以得到長寬為a，b厘米的矩形面積是ab平方厘米。

每個同學(xué)隨機(jī)得到半徑分別為5厘米、10厘米、20厘米的圓各5個（指圓盤，大多數(shù)小學(xué)生把圓周和圓盤都稱為圓），將圓切割成無窮多個矩形，估算出每個圓的面積。同學(xué)們估算得到三種半徑的圓的面積的平均值，然后尋找面積和半徑的關(guān)系。無需計算，大多數(shù)同學(xué)都能猜到面積應(yīng)該和半徑的平方成比例，比例系數(shù)在2與4之間。通過計算，得到的圓面積/半徑平方的比例最接近的是3.18。這就是圓周率的近似計算。

1.3 邏輯悖論

類似于中國的自相矛盾，數(shù)學(xué)上也有類似悖論。比如，公元前四世紀(jì)的悖論：我現(xiàn)在說的是謊言。教師可以引導(dǎo)學(xué)生也講出類似的悖論。

學(xué)生舉了自己從課外書上看到過的事例：（1）自相矛盾；（2）理發(fā)師自述，村子里所有不是自己理發(fā)的男人的頭發(fā)都由我來理。

在講邏輯悖論這堂課中，幾乎沒有學(xué)生能自己想出悖論來，這完全符合他們的年齡特點(diǎn)。所以教師要以引導(dǎo)學(xué)生明白悖論的相互矛盾的兩方面為目的。

1.4 定義決定結(jié)論

任何事物都有兩面性。根據(jù)定義的不同，結(jié)論也不同。比如，在高等數(shù)學(xué)中，“距離”一詞不僅適用于直線、平面或者空間幾何體，也適用于集合中的元素。

問題一：如何來比較班里兩個同學(xué)的頭發(fā)誰長？學(xué)生討論后出現(xiàn)了很多結(jié)論。

結(jié)論一：找到兩人最長的頭發(fā)，誰的那根頭發(fā)最長，他（她）的頭發(fā)就最長；

結(jié)論二：找到兩人最短的頭發(fā)，誰的那根頭發(fā)最長，他（她）的頭發(fā)就最長；

結(jié)論三：比較兩人的大多數(shù)頭發(fā)，誰的大多數(shù)頭發(fā)比另一個人長，他（她）的頭發(fā)就最長。

……

這些結(jié)論按照不同的定義下的結(jié)論都是對的。數(shù)學(xué)也沒有標(biāo)準(zhǔn)的答案，只要有道理，都是合理的思路。當(dāng)然這不是告訴孩子們“任何事情都可以顛倒黑白”，而是遇到問題可以用自己的邏輯方式嚴(yán)密思考。

問題二：既然在空間中，兩點(diǎn)之間直線段最短，那么在球面上呢？比如從中國上海到美國洛杉磯，飛機(jī)的航線怎么畫才能使飛行路程最短呢？

結(jié)論：學(xué)生通過觀察標(biāo)準(zhǔn)球形的地球儀，在圖像中畫出了最短的距離，即我們理解的球面上的兩點(diǎn)，走大圓最短。

1.5 推導(dǎo)

同樣的數(shù)學(xué)問題，在不同年齡階段的學(xué)生看來，甚至同一個年齡階段不同的學(xué)生看來，可能想法是完全不同的。教師需要尊重每個學(xué)生的想法，不能隨意下結(jié)論判斷“結(jié)論的對錯”和“方法的簡單、復(fù)雜”，把一些很有價值的奇思妙想扼殺在萌芽中。在小學(xué)數(shù)學(xué)課上，老師是把“三角形的內(nèi)角和是180度”當(dāng)作事實(shí)來使用的，教課書上采用的方法也是很直觀的，通過三角形內(nèi)一點(diǎn)，將三角形分成三個部分，然后重新組合成一條直線來得到三角形的三個內(nèi)角構(gòu)成了一個平角，所以是180度。但是有沒有學(xué)生曾經(jīng)問過為什么呢？

問題：為什么三角形的內(nèi)角和是180度？同理，為什么任意的凸邊n形的內(nèi)角和是180(n 2)度呢？

學(xué)生們的討論之后得出的一些觀點(diǎn)：

結(jié)論一：一個直角是90度，那矩形內(nèi)角和是360度。所以把矩形分成兩個三角形，所以三角形內(nèi)角和是180度。

反駁：不對。只能說明直角三角形內(nèi)角和是180度。

結(jié)論二：把矩形拉成平時四邊形，再分成兩個三角形。這樣的到的就是普通的斜三角形。

反駁：不對。按問題描述，必須說明任意三角形的內(nèi)角和都是180度才行。

一個學(xué)生的證明方法：

步驟一：畫出任意的三角形，凸四邊形，凸五邊形，凸六邊形等等，測量出每一個圖形的所有的外角和，都約為360度。

步驟二：由于任意的凸n邊形的所有外角及內(nèi)角和是180n度，所以內(nèi)角和是180(n 2)度。

依然存在的問題：為什么測量得到有限個凸n邊形的外角和是360度，就能說明任意的凸n邊形的外角和就一定是360度呢？這種做法，和“測量有限個三角形得到三角形的內(nèi)角和是180度”沒有本質(zhì)差別。

步驟三：能否用歸納法證明任意的凸n邊形的外角和一定是360度？

反駁：證明過程中需要用到三角形的某一個外角等于它的不相鄰的兩內(nèi)角和這個定理。而這個結(jié)論的證明似乎要用到三角形的內(nèi)角和是180度。在做一些證明時，往往會在過程中已經(jīng)不經(jīng)意地用到了需要證明的結(jié)論，這是很常見的邏輯錯誤。

這節(jié)課沒有得到最后的結(jié)論，而且使同學(xué)陷入了原來“有些數(shù)學(xué)問題看似簡單，但是卻得不到合理的結(jié)論?！钡目鄲?，一直問“那該怎么辦呢？”。

一般來說，數(shù)學(xué)上的公理是不需要證明的，比如“1+1=2”，因?yàn)檫@就是2的定義；再比如歐幾里得的有關(guān)平面幾何的五條公理（包括公理5：若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個直角和180度，則這兩條直線在這一邊必定相交），也是默認(rèn)成立無需證明的。其他任何定理、命題、推論都可以通過公理以及已經(jīng)證明成立的定理來證明。事實(shí)上，三角形內(nèi)角和問題，在平面幾何的發(fā)展過程中，我們由公理5推導(dǎo)出“若平行的兩條直線與第三條直線相交，則內(nèi)角之和等于兩個直角”，再推導(dǎo)出“兩直線平行，則內(nèi)錯角相等”，再推導(dǎo)出“三角形的內(nèi)角和是180度?！?/p>

1.6 數(shù)學(xué)文化

我們早就意識到數(shù)學(xué)是一門非常重要的基礎(chǔ)學(xué)科，有些家長怕自己孩子的數(shù)學(xué)從小落后于別人，甚至從幼兒園起就會選擇許多數(shù)學(xué)繪本給孩子開拓眼界，用游戲的方式培養(yǎng)孩子對數(shù)學(xué)的興趣。父母都希望孩子能夠首先對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，接下來能夠發(fā)自內(nèi)心地熬過寒窗讀書的辛苦，實(shí)現(xiàn)自己的理想。筆者認(rèn)為，與其告訴孩子學(xué)習(xí)是快樂的，不如用講故事的方式展示給他們看，歷史上的基礎(chǔ)學(xué)科工作者，為了得到我們今天看到的一點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)步付出了多長時間的不求回報的努力。

比如，數(shù)學(xué)家歐拉。他在59歲左右雙目失明了。但是在此之后的17年，他依舊靠著強(qiáng)大的記憶力和心算能力，做出了很多重大貢獻(xiàn)。他能夠記住那個時代里所有重要的研究成果，能夠復(fù)述年輕時候的工作筆記，甚至能夠直接心算高等數(shù)學(xué)。此外，為了能讓丈夫安心工作，他的妻子也為歐拉的成就做出了極大的貢獻(xiàn)，撫育了家里的13個孩子及孫輩。

比如，天文學(xué)家第谷布拉赫。他是最后一位也是最偉大的一位用肉眼觀測的天文學(xué)家。1576年到1599年，第谷在丹麥與瑞典間的汶島的天文臺（丹麥國王為他建造的世界上最早的大型天文臺）工作20多年，取得了一系列重要成果，創(chuàng)制了大量的先進(jìn)天文儀器。在1577年通過對兩顆明亮的彗星的觀察，他得出了彗星比月亮遠(yuǎn)許多倍的結(jié)論，這一重要結(jié)論對于幫助人們正確認(rèn)識天文現(xiàn)象，產(chǎn)生了很大影響。

比如，俄國女?dāng)?shù)學(xué)家柯瓦列夫斯卡婭。她從小喜愛、擅長數(shù)學(xué)，有父親的支持可以堅(jiān)持學(xué)習(xí)，可是當(dāng)時的俄國不允許女性接受高等教育。通過婚姻，她跟隨丈夫來到德國，但是依然不被允許進(jìn)入大學(xué)課堂。于是，她憑借出色的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和熱愛數(shù)學(xué)的堅(jiān)韌精神，得到了數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯課堂外的單獨(dú)輔導(dǎo)。最后雖然柯瓦列夫斯卡婭本人沒有在大學(xué)里上過一節(jié)課，但是卻因?yàn)樗膬?yōu)秀論文得到了博士學(xué)位，也隨后成了斯德哥爾摩大學(xué)的一位數(shù)學(xué)老師。

2 結(jié)論

笛卡爾的《方法論》告訴每個一個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)乃至其他學(xué)科的人：

（1）凡是我沒有明確地認(rèn)識到的真理，我絕不把它當(dāng)成真的接受；

（2）要研究的復(fù)雜問題，盡量分解為多個比較簡單的小問題，一個一個地分開解決；

（3）小問題從簡單到復(fù)雜排列，先從容易解決的問題著手；

（4）問題解決后，再綜合起來檢驗(yàn)，看是否完全，是否將問題徹底解決了。

這幾條基本的想法，看似平淡無奇，其實(shí)凝聚了前人千百年來的智慧，值得今天每一個科學(xué)工作者當(dāng)做座右銘來恪守。

數(shù)學(xué)成績很多時候成為當(dāng)作用來判斷一個學(xué)生聰明或者笨的標(biāo)準(zhǔn)，這是不合理的，因?yàn)楹芏嗪⒆拥臄?shù)學(xué)思維從一開始就被禁錮住了，他們的發(fā)散性思維被簡單地用“錯”而否定了，這是我們義務(wù)教育的弊端。

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不是在基本公理上簡單的邏輯推理演繹，而是在證明和反駁的過程中不斷修正和完善的體系。今天學(xué)生們的看似幼稚的想法、做法，正是千百年來數(shù)學(xué)工作者們思想的必經(jīng)之路。即使如數(shù)學(xué)這樣建立在公理體系上的邏輯學(xué)，也不是完全確定的，仍然有極大的未知等待探索。不輕易否定孩子的思路，尊重他們的奇思妙想，引導(dǎo)他們開拓思維，是數(shù)學(xué)工作者的初心。