李小朝

(黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 駐馬店 463000)

在文獻[1,2]中，山東大學(xué)史開泉教授改進有限普通集合X，把動態(tài)特性引入到該集合X內(nèi)，提出P-集合的概念.P-集合是動態(tài)集合，可以在一定條件下還原為普通集合，其在數(shù)據(jù)恢復(fù)、圖像處理等動態(tài)信息系統(tǒng)方面中獲得應(yīng)用[3-8].上述研究文獻中的P-集合都是有限元素集，我們當然可以把它推廣為無限元素集,或者是向量空間的情形.假設(shè)集合X中的元素都具有屬性(或限制條件)集合α，通過補充屬性，滿足這些屬性的元素當然會減少，也即是有元素遷出，得到內(nèi)P-集合.反之刪除屬性，會有元素遷入得到外P-集合.然而屬性集合α={α1,α2,…,αk}中的屬性并不一定都是有效的，例如一堆蘋果具有屬性：α1=紅色，α2=味甜，α3=產(chǎn)自煙臺，α4=產(chǎn)自山東；由于產(chǎn)自煙臺肯定產(chǎn)自山東，因此α4是無效屬性可以刪去，對集合沒有影響.這些特性可以在代數(shù)中找到例子，也就是要找的代數(shù)模型.本文結(jié)合線性方程組解空間的理論，把P-集合的概念引入到向量空間上，給出含有無限元素的P-集合的代數(shù)模型——P-向量空間，并研究了該模型的一些基本性質(zhì).

1 基本概念

(1)

(2)

給定具有有限元素的普通集合X={x1,x2,…,xq}?U,α={α1,α2,…,αk}?V是集合X的屬性集合，稱XF是被X生成的外P-集合

XF=X∪X+,

(3)

(4)

(5)

(6)

2 P-集合的代數(shù)模型

本節(jié)考慮齊次線性方程組的解空間，引入動態(tài)特性，給出P-集合的一個具體代數(shù)模型，也就是P-向量空間.設(shè)在數(shù)域P上，齊次線性方程組的一般形式為

(7)

設(shè)Pn={(a1,a2,…,an)T|a1,a2,…,an∈P}是n維列向量空間，Y=(y1,y2,…,yn)T.令αi=(ai1,ai2,…,ain)T,i=1,2,…,m，則線性方程組(7)即為

(8)

定義1中的論域U,V都是有限元素的，我們當然可以把它推廣為無限元素的情形，這里U,V都取n維向量空間Pn.我們把P-集合推廣為含有無限元素的P-向量空間情形.

設(shè)線性方程組(7)或(8)的解空間為S(S?U)，則S中的元素滿足方程組(7)，或者具有屬性集合α={α1,α2,…,αm}?V，此時稱向量空間S具有屬性集合α.屬性集合α中屬性α1,α2,…,αm的秩稱為α的秩，可以看到它也是線性方程組(7)系數(shù)矩陣的秩.

2.1 內(nèi)P-集合的代數(shù)模型

這里的內(nèi)P-向量空間即為一個具體的含有無限元素的內(nèi)P-集合的代數(shù)模型.

定義3若屬性αi′可以由屬性集合α中的屬性線性表出，則稱αi′是無效屬性；若αi′不能由屬性集合α中的屬性線性表出，則稱αi′是有效屬性.

證明 由于αi′是有效屬性，則屬性集合αF的秩等于α的秩加1.又解空間的維數(shù)等于未知量個數(shù)n減去系數(shù)矩陣的秩，結(jié)論顯然成立.

同樣容易得到如下結(jié)論：

2.2 外P-集合的代數(shù)模型

定義4若屬性αj′可以由屬性集合α中其余的屬性線性表出，則稱αj′是無效屬性；若αj′不能由屬性集合α中其余的屬性線性表出，則稱αj′是有效屬性.

這里的外P-向量空間即為一個具體的含有無限元素的外P-集合的代數(shù)模型.

定理4若屬性αj′是無效屬性，則有外P-向量空間SF=S.

定理5設(shè)屬性αj′是有效屬性.則有外P-向量空間SF的維數(shù)等于向量空間S的維數(shù)加1，即dimSF=dimS+1.

同樣容易得到如下結(jié)論：

定理6若屬性集合αF的秩等于0，則有外P-向量空間SF=Pn.

3 小 結(jié)

P-集合是一個新的數(shù)學(xué)概念，盡管已有許多應(yīng)用，但是尋找更多的代數(shù)模型很有必要.這些代數(shù)模型可以為P-集合提供更好的理論保障，使P-集合建立在更扎實的理論基礎(chǔ)之上.本文即是開展這些重要研究的一個開始.