劉奮榮 付小軒

(1.清華大學(xué) 人文學(xué)院， 北京 100084; 2.中國(guó)政法大學(xué) 人文學(xué)院， 北京 100088)

一、 引 言

在哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能等領(lǐng)域，對(duì)偏好概念的研究具有重要的理論價(jià)值，這些學(xué)科對(duì)偏好概念的分析方式各不相同。本文重點(diǎn)關(guān)注的是作為主觀評(píng)估的偏好概念，它往往與“主體”和“對(duì)象”概念聯(lián)系在一起。

一般而言，任取兩個(gè)對(duì)象X和Y，主體對(duì)它們的偏好大致存在以下三種關(guān)系：

(1)主體偏好X勝于Y；

(2)主體偏好Y勝于X；

(3)偏好X與偏好Y對(duì)主體而言都是一樣的。

利用數(shù)學(xué)表達(dá)式，這三種關(guān)系也可以分別表示為：Y

關(guān)于≤-關(guān)系的質(zhì)化與量化研究，由于研究方式上的差異，往往會(huì)產(chǎn)生不同的邏輯系統(tǒng)。本文將從兩個(gè)研究方向出發(fā)，基于不同的邏輯系統(tǒng)，分別介紹≤-關(guān)系從質(zhì)化到量化的研究以及從量化到質(zhì)化的研究。通過(guò)比較這兩類(lèi)研究方式，本文將提出一種結(jié)合質(zhì)化與量化研究的新方法——概率與偏好關(guān)系的結(jié)合，以探索質(zhì)化與量化研究之間的中間道路。

二、 ≤-關(guān)系從質(zhì)化到量化的研究

在邏輯層面，關(guān)于≤-關(guān)系的研究主要采取質(zhì)化分析。由于研究重點(diǎn)的不同，這些質(zhì)化分析可以大致分為兩種方式：一種是將≤-關(guān)系解釋為偏好關(guān)系，另一種是將≤-關(guān)系解釋為信念關(guān)系。前一種研究方式將在下一節(jié)具體討論，此處不贅述。后一種研究方式通常將≤-關(guān)系作為置信度關(guān)系引入。

從質(zhì)化研究的角度來(lái)說(shuō)，對(duì)任意的兩個(gè)對(duì)象X和Y而言，X≤Y表示的是：Y至少和X一樣可信?；谶@種定義，巴爾塔格(Baltag)等將其與信念更新理論相結(jié)合，提出了一套完備的信念邏輯系統(tǒng)[1]。范·本特姆(van Benthem)等進(jìn)一步將該定義擴(kuò)展到了動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯領(lǐng)域，并引入了概率來(lái)刻畫(huà)信念更新[2]。

≤-關(guān)系的量化研究可以追溯到德·菲尼蒂(de Finetti)1937年的工作[3]。他第一次將概率解釋與邏輯研究相結(jié)合，并提出了一個(gè)重要猜想,即給定一個(gè)任意非空有窮的集合S，以及其所有子集X和Y上的≤-關(guān)系，存在一個(gè)概率函數(shù)P，使以下命題成立：

X≤Y當(dāng)且僅當(dāng)P(X)≤P(Y)。

直觀上，這個(gè)命題表達(dá)的是：對(duì)任意兩個(gè)有窮子集X和Y，如果Y至少和X一樣好，那么一定可以找到一個(gè)概率分布P，它能保證Y出現(xiàn)的概率至少和X出現(xiàn)的概率一樣大。通過(guò)尋找這樣的概率分布，德·菲尼蒂將邏輯層面對(duì)≤-關(guān)系的質(zhì)化比較轉(zhuǎn)變?yōu)楦怕手g的量化比較。

與此同時(shí)，德·菲尼蒂也給出了滿(mǎn)足這個(gè)命題需要確保的五個(gè)條件，分別是：

(1)空集≤X。該條件既是為了滿(mǎn)足≤-關(guān)系的基本要求，也是為了契合概率分布的要求。因?yàn)榭占锩娌痪哂腥魏卧?，所以一個(gè)主體通常會(huì)認(rèn)為空集不會(huì)比有元素的其他集合更好。一般而言，一個(gè)概率分布必須是落在0到1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)，譬如0.1。而空集的概率的基本定義就是等于0。由此，借助以上命題，該條件表示的是：任意一個(gè)至少和空集一樣好的集合X，其概率大于等于0。

(2)S>空集。其中，>是并非≤的縮寫(xiě)。由于S是個(gè)非空集合，與第一個(gè)條件同理，該條件也需要保證S比空集更好。

(3)X≤Y，或者Y≤X。該條件被稱(chēng)作完全性，它表示的是：任意兩個(gè)集合之間都可以比較。

(4)如果X≤Y，并且Y≤Z，那么X≤Z。該條件被稱(chēng)作傳遞性，它表示的是：假定Y至少和X一樣好，又有至少和Y一樣好的Z，那么Z也至少和X一樣好。

(5)任取一個(gè)與X、Y都不相交的集合Z。X≤Y，當(dāng)且僅當(dāng)X與Z的并集≤Y與Z的并集。該條件被稱(chēng)作有窮求和性，它表示的是：假定Y至少和X一樣好，那么將同樣的元素都分別加進(jìn)這兩個(gè)集合，擴(kuò)充之后的Y集合依然至少和擴(kuò)充之后的X集合一樣好。同理，假定擴(kuò)充后的Y集合至少和擴(kuò)充后的X集合一樣好，那么去掉它們當(dāng)中共同新增的元素，Y依然至少和X一樣好。

德·菲尼蒂的這五個(gè)條件不僅保證了≤-關(guān)系的一般屬性，而且還契合了概率分布的定義。但是，他所提出的條件對(duì)概率分布而言不充分?？ǚ?Kraft)等給出了一個(gè)具有以下關(guān)系的集合S={p,q,r,s,t}:

{q,s}<{p}、{p,q}<{r,s}、{p,s}<{t,q}、{r,t}<{p,q,s}。(<-關(guān)系集)

他們證明了上述<-關(guān)系集可以擴(kuò)充成同時(shí)滿(mǎn)足德菲尼蒂五個(gè)條件的序列，然而，并不存在一個(gè)概率函數(shù)可以同時(shí)滿(mǎn)足這四個(gè)<-關(guān)系[4]。

為了避免這個(gè)問(wèn)題，斯科特(Scott)去掉了德·菲尼蒂的條件四，并加強(qiáng)了條件五[5]。他在考慮線(xiàn)性關(guān)系的基礎(chǔ)上找到了一個(gè)平衡性條件來(lái)保證：

{q,s}<{p}、{p,q}<{r,s}、{p,s}<{t,q}必然蘊(yùn)涵{p,q,s}<{r,t}。

因?yàn)閧r,t}<{p,q,s}與{p,q,s}<{r,t}無(wú)法同時(shí)成立，所以平衡性條件與<-關(guān)系集中的四個(gè)關(guān)系也就無(wú)法同時(shí)成立。由此，斯科特在德·菲尼蒂的前三個(gè)條件的基礎(chǔ)上加上了平衡性條件，不僅避免了卡夫等人所給出的反例，也保證了下述命題依然成立：

X≤Y當(dāng)且僅當(dāng)P(X)≤P(Y)。

借助斯科特的研究成果，范·?？?van Eijck)等從貝葉斯(主觀)概率出發(fā)，利用概率化的方式來(lái)表示置信度關(guān)系[6]。在他們看來(lái)，命題φ比命題ψ更可信，表達(dá)的是:命題φ的概率大于命題ψ的概率。由此，他們利用概率化的量化方式取代了質(zhì)化的置信度關(guān)系比較(1)范·埃克等人的這種量化定義方式還避免了純粹質(zhì)化定義方式(譬如KD45類(lèi)的信念模型)所面臨的“彩票悖論”。具體參見(jiàn)van Eijck J. & Renne B., ″Update, Probability, Knowledge and Belief,″ in Beklemishev L., Demri S. & Máté A. (eds.), Advances in Modal Logic： Volume 11, London: College Publications, 2016, pp.551-570。。而這種定義方式正好也契合了德·菲尼蒂的猜想。

三、 ≤-關(guān)系從量化到質(zhì)化的研究

≤-關(guān)系作為偏好關(guān)系的量化研究，主要集中于經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域尤其是決策論方面。在決策論中，效用函數(shù)可以看作其量化研究的起點(diǎn)。而效用函數(shù)主要分為三類(lèi)：第一類(lèi)是序數(shù)效用，第二類(lèi)是區(qū)間值效用，第三類(lèi)是比值效用。在使用序數(shù)解釋效用時(shí)，對(duì)于任意集合S以及其中的任意元素x和y:

U(x)≤U(y)當(dāng)且僅當(dāng)x≤y。

例如，假設(shè)U(x)=5并且U(y)=10，那么就有x≤y。不過(guò)，當(dāng)開(kāi)始考慮具體差異時(shí)，自然會(huì)出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：假設(shè)U(x)=6并且U(y)=10，那么也有x≤y，它與前一個(gè)例子有什么區(qū)別？為了回答這個(gè)問(wèn)題，哈里森-崔那(Harrison-Trainor)提出了所謂的區(qū)間值效用，以此來(lái)表示效用值之間的“距離”也至關(guān)重要[7]。比值效用也是類(lèi)似的解決方案，它通過(guò)計(jì)算效用值的比率來(lái)比較偏好。例如，10的效用是5的兩倍。

在決策論中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們更關(guān)心主體在不確定情境下的偏好關(guān)系。因此決策論在效用函數(shù)的基礎(chǔ)上加入了概率，由此引入了期望效用。此時(shí)主體的偏好關(guān)系通過(guò)期望效用值之間的大小比較體現(xiàn)出來(lái)。而其中作為奠基性工作的正是馮·諾伊曼(von Neumann)等人所提出的計(jì)算方式：

EU(L)=∑kU(Ok)·Pk。

在該公式中，EU表示的是一個(gè)從彩票集合到實(shí)數(shù)集合的期望值函數(shù)[8]。對(duì)每張彩票L而言，考慮所有可能的結(jié)果O及每個(gè)Ok的效用值，概率分布P都給予每一個(gè)可能結(jié)果Ok發(fā)生的客觀概率Pk。直觀上，這個(gè)公式表達(dá)的是：一張彩票的期望效用值需要綜合考慮開(kāi)獎(jiǎng)后的所有可能結(jié)果與這些結(jié)果發(fā)生的概率，以判斷該彩票是不是比其他彩票更好。用≤-關(guān)系來(lái)表示的話(huà)，亦即對(duì)其他的彩票L′而言，是否滿(mǎn)足L′≤L。

區(qū)別于客觀概率，利用主觀概率來(lái)定義期望效用主要有以下兩種方式：

一種是沿襲了馮·諾伊曼的定義方式，由薩維奇(Savage)提出的計(jì)算方式[9]。薩維奇將等式中的彩票L轉(zhuǎn)變?yōu)樾袨镕，而Pk所表達(dá)的是主體相信某個(gè)結(jié)果有多大概率可能發(fā)生。那么薩維奇提出的計(jì)算方式所要比較的就是：主體基于自身的信念會(huì)更偏好哪個(gè)行為。薩維奇的理論不僅引入了概率來(lái)表示某個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的置信程度，也通過(guò)效用函數(shù)揭示出了主體對(duì)某個(gè)行為(或行為的結(jié)果)的偏好程度。由此，利用薩維奇的定義方式，主體就能比較不同行為的期望效用值，從而推導(dǎo)出自身應(yīng)該偏好哪個(gè)行為(實(shí)際上就是期望效用值最大的行為)。

另一種是杰弗里(Jeffrey)所提出的計(jì)算方式[10]。區(qū)別于前面兩者，杰弗里將命題作為偏好關(guān)系的基本組成部分。主體的行為和可能的結(jié)果都通通被看作命題。對(duì)于每個(gè)可能結(jié)果的概率，杰弗里利用條件概率來(lái)區(qū)分。例如，主體需要選擇是否帶傘，可能的結(jié)果是下雨或者不下雨，那么條件概率就能表示在帶傘(或者不帶傘)的情況下下雨以及不下雨的概率。

雖然以上三種計(jì)算方式在表達(dá)形式上有所不同，但它們本質(zhì)上都是一樣的理念：通過(guò)考慮每個(gè)行為(或命題)所產(chǎn)生的效用值，以及所發(fā)生行為的狀態(tài)出現(xiàn)的概率，來(lái)計(jì)算這個(gè)行為的最終期望值。

≤-關(guān)系作為偏好關(guān)系的質(zhì)化研究，可以追溯到馮·賴(lài)特(von Wright)對(duì)它的邏輯研究[11]。他第一次為偏好邏輯提供了完全的系統(tǒng)?；谒墓ぷ?，劉奮榮區(qū)分了靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的偏好模型，并進(jìn)一步為偏好邏輯的動(dòng)態(tài)變化提供了完全的系統(tǒng)[12]?；衾?Holiday)等為了避免亞爾欽(Yalcin)所提出的蘊(yùn)涵問(wèn)題[13]，提出了定義≤-關(guān)系的新方法：X≤Y當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)從X到Y(jié)的通脹函數(shù)，并且該函數(shù)是單射[14]。其中，從X到Y(jié)的函數(shù)f是通脹的，指的是：對(duì)X中每一個(gè)x而言，x≤f(x)都成立?；衾系日J(rèn)為主體根本不會(huì)有足夠的信息來(lái)完全確定命題(或狀態(tài))的總體排序，因此允許了許多不可比性。哈里森-崔那等認(rèn)為霍利迪等所提出的這個(gè)新方法相對(duì)于埃隆(Alon)等所提出的不精確概率的比較邏輯是可靠并且完全的[15]。而最為重要的是：通過(guò)這些設(shè)定，他們以純粹質(zhì)化的形式表達(dá)了≤-關(guān)系的概率化解釋。

實(shí)質(zhì)上，在偏好關(guān)系的研究中，邏輯學(xué)家們更多關(guān)注的是≤-關(guān)系應(yīng)該滿(mǎn)足的性質(zhì)。一般而言，這些性質(zhì)主要是：

(1)自反性。該性質(zhì)表示的是一個(gè)對(duì)象(或命題)至少和自身一樣被偏好。

(2)完全性。該性質(zhì)表示的是任意兩個(gè)對(duì)象(或命題)都可以比較。

(3)傳遞性。該性質(zhì)表示的是：假定一個(gè)對(duì)象(或命題)A至少和一個(gè)對(duì)象(或命題)B一樣被偏好，又有一個(gè)對(duì)象(或命題)C至少和A一樣被偏好，那么C至少和B一樣被偏好。

在關(guān)于≤-關(guān)系的研究中，邏輯學(xué)家們著重考慮≤-關(guān)系是否滿(mǎn)足以上這些性質(zhì)，從而將≤-關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榧兇獾馁|(zhì)化研究。

四、 新道路: 量化與質(zhì)化方式的結(jié)合

綜合以上討論可以看出，質(zhì)化與量化的研究方式都在邏輯層面有所運(yùn)用。但量化方式主要局限于將≤-關(guān)系作為信念關(guān)系來(lái)考量，而質(zhì)化方式主要局限于將≤-關(guān)系作為偏好關(guān)系來(lái)分析。那么一個(gè)問(wèn)題就自然而然地產(chǎn)生了：當(dāng)≤-關(guān)系作為偏好關(guān)系時(shí)，是否也能類(lèi)似于信念關(guān)系那樣，利用概率化的形式表現(xiàn)？

舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：X≤Y當(dāng)且僅當(dāng)P(X)≤P(Y)這樣的定義方式是否能直接應(yīng)用到偏好關(guān)系上？假如可以的話(huà)，這個(gè)關(guān)系所表達(dá)的就是：如果集合Y至少和集合X一樣被偏好，那么Y出現(xiàn)的概率至少和X出現(xiàn)的概率一樣大。反之也成立。

當(dāng)然，這種假定的方式和偏好關(guān)系的邏輯性質(zhì)并不矛盾，也與概率的定義相一致。借助斯科特的條件，確實(shí)也能找到唯一的概率函數(shù)來(lái)表示該關(guān)系。但是，這種定義方式不僅與信念的概率化定義雷同，而且遺漏了個(gè)體之間的偏好關(guān)系。例如，集合Y至少和集合X一樣被偏好，直觀上，往往是需要集合Y里面被偏好的元素出現(xiàn)的概率至少與集合X里面被偏好的元素出現(xiàn)的概率一樣大。

那么該如何既保留個(gè)體之間的偏好關(guān)系，又將概率納入偏好邏輯中考量?這里就面臨一個(gè)挑戰(zhàn)：如何將質(zhì)化的≤-關(guān)系與概率相結(jié)合?

下面將針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，以集合X和集合Y中的元素之間的兩兩對(duì)比為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)定義一種概率化偏好比較方法，將元素之間的≤-關(guān)系與它們出現(xiàn)的概率結(jié)合起來(lái)，以此來(lái)定義兩個(gè)集合之間的偏好關(guān)系。

這種結(jié)合量化與質(zhì)化方式的概率化偏好比較方法的定義如下：

對(duì)任意兩個(gè)集合X和Y而言，如果Y比X更被偏好，亦即X≤Y，當(dāng)且僅當(dāng)如下條件被滿(mǎn)足：

∑xXyYP(x)P(y)y≤x≤∑xXyYP(x)P(y)x≤y。

其中，P(x)是元素x出現(xiàn)在集合X中的概率，P(y)是元素y出現(xiàn)在集合Y中的概率。y≤x是個(gè)分段函數(shù)，它表示的是：如果Y≤X成立，那么y≤x的值等于1；反之，y≤x的值等于0。

這個(gè)定義表達(dá)的是：任取集合X和集合Y中的一對(duì)元素x和y，如果y≤x這類(lèi)關(guān)系出現(xiàn)的概率比x≤y這類(lèi)關(guān)系出現(xiàn)的概率小，那么集合Y就更被偏好。反之同理。此定義的重點(diǎn)在于計(jì)算y≤x以及x≤y這兩類(lèi)關(guān)系各自出現(xiàn)的概率。若前者出現(xiàn)得更多，則集合X就更被偏好；若后者出現(xiàn)得更多，則集合Y就更被偏好。

例如，假定集合X={x,x′}且集合Y={y,y′}，兩個(gè)集合的元素之間的偏好關(guān)系分別是：x≤y、x≤y′、x′≤y、y′≤x′。不妨假定這四組關(guān)系出現(xiàn)的概率相同，那么通過(guò)以上概率化偏好比較方法的計(jì)算可以得出：主體會(huì)更加偏好Y。此處當(dāng)然也可以假定每對(duì)關(guān)系出現(xiàn)的概率不一樣，它們具體的概率都取決于主體對(duì)每個(gè)狀態(tài)(或結(jié)果)的置信度。

與≤-關(guān)系作為偏好關(guān)系的質(zhì)化研究相比較，上述定義方式保留了元素之間的≤-關(guān)系和該關(guān)系對(duì)應(yīng)的邏輯性質(zhì)，以保證元素之間的偏好關(guān)系能夠在最終的計(jì)算結(jié)果中體現(xiàn)出來(lái)。與此同時(shí)，上述定義方式在質(zhì)化研究的基礎(chǔ)上增加了概率的維度。也就是說(shuō)，一個(gè)集合是否更被偏好，不僅僅需要考慮該集合中更被偏好的元素有哪些，還需要計(jì)算這些元素出現(xiàn)的概率是否更大。由此，這種定義方式既保證了元素之間的偏好關(guān)系滿(mǎn)足邏輯上的性質(zhì)，又能保證集合之間的偏好關(guān)系綜合考慮了元素之間的對(duì)比與每個(gè)元素各自出現(xiàn)的概率。

與將≤-關(guān)系作為偏好關(guān)系的量化研究相比較，上述定義方式把決策論中求解期望效用的比較方式分解成以下三個(gè)步驟：

第一步，考慮兩個(gè)集合中所有元素的可能配對(duì)組合；

第二步，考慮每組元素之間的大小關(guān)系，并乘以該組兩個(gè)元素各自出現(xiàn)的概率；

第三步，分別計(jì)算出x≤y以及y≤x這兩類(lèi)關(guān)系出現(xiàn)的概率總和，再進(jìn)一步進(jìn)行比較。

其中第三個(gè)步驟是重點(diǎn)：此處拋棄了決策論中對(duì)≤-關(guān)系的賦值(亦即并沒(méi)有將該二元關(guān)系轉(zhuǎn)化為效用函數(shù)來(lái)表示)，而直接利用集合中元素之間的大小關(guān)系，將它們用-函數(shù)計(jì)算出來(lái)。對(duì)任意兩個(gè)元素x和y而言，如果x≤y成立，那么x≤y就需要“記錄”這個(gè)關(guān)系(用1表示)，從而通過(guò)乘以這組關(guān)系出現(xiàn)的概率，作為最終求和的一部分；反之，x≤y則不需要“記錄”該關(guān)系(用0表示)。因而在最終對(duì)比x≤y和y≤x這兩類(lèi)關(guān)系的概率總和時(shí)，-函數(shù)就有效記錄了這兩類(lèi)關(guān)系所出現(xiàn)的總次數(shù)。

不過(guò)，這種概率化偏好比較方法與純量化的計(jì)算方式還是存在一些區(qū)別：將概率加入≤-關(guān)系考量之后，集合之間的≤-關(guān)系不再具備傳遞性(2)滿(mǎn)足概率化偏好比較方法定義的≤-關(guān)系并不傳遞。對(duì)于這個(gè)結(jié)論可以舉出三類(lèi)反例：(1)假設(shè)X={2}，Y={3}且Z={1，4}，這些元素之間的偏好關(guān)系是1<2<3<4，并且對(duì)其中的任意兩個(gè)集合而言，每一對(duì)元素出現(xiàn)的概率都是它們?cè)诟髯约现斜怀槌龅目陀^概率。那么根據(jù)概率化偏好比較方法可以得出：X=Z，Y=Z并且X

接下來(lái)簡(jiǎn)單介紹這個(gè)方法在概率悖論方面的一個(gè)應(yīng)用即擲骰子游戲：

張三邀請(qǐng)李四玩骰子?，F(xiàn)在桌子上有三個(gè)骰子：A、B和C。它們分別是：

A={3,3,5,5,7,7}；B={2,2,4,4,9,9}；C={1,1,6,6,8,8}。

張三要求李四首先選擇一個(gè)骰子，然后他選擇剩下兩個(gè)中的一個(gè)。在投擲兩個(gè)骰子的過(guò)程中，擲出更大數(shù)字的人就是勝利者。那么張三應(yīng)該選擇哪一個(gè)骰子？

在以上游戲中，無(wú)論李四選擇了哪個(gè)骰子，張三都可以有獲勝的策略。通過(guò)對(duì)任意兩個(gè)骰子之間的點(diǎn)數(shù)以及出現(xiàn)概率的比較，并且計(jì)算每個(gè)骰子各自點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率，可以推斷出：

A

因此，如果李四選A，那么張三將選擇C；如果李四選擇B，那么張三將選擇A；如果李四選擇C，那么張三將選擇B。顯然，這三組之間的偏好并不具有傳遞性，而本節(jié)所定義的概率化偏好比較方法恰好可以用來(lái)解釋這種概率悖論。

基于以上對(duì)概率化偏好比較方法的闡釋?zhuān)酉聛?lái)引入概率偏好模型。

首先，需要對(duì)命題邏輯語(yǔ)言進(jìn)行擴(kuò)充，引入形如φ≤ψ這樣的公式。其中，φ和ψ都是由命題變號(hào)或者僅僅是由布爾運(yùn)算構(gòu)成的命題。在語(yǔ)義上，φ≤ψ這個(gè)公式表達(dá)的是：公式ψ至少和公式φ一樣被偏好。

接下來(lái)給出關(guān)于概率偏好模型的定義：

概率偏好模型M是一個(gè)四元組M=。其中，S是一個(gè)非空且有窮的狀態(tài)集；?是S上的一個(gè)自反且傳遞的二元關(guān)系；V指派給每個(gè)命題變號(hào)一個(gè)S的子集；P是從S到[0,1]的一個(gè)概率分布。

再次，根據(jù)模型的定義給出模型上的可滿(mǎn)足關(guān)系。命題變號(hào)以及布爾運(yùn)算按照通常的定義。其中，最為關(guān)鍵的是定義φ≤ψ這類(lèi)公式如何在模型M上被滿(mǎn)足。依然借助概率化偏好比較方法，模型M上的一個(gè)狀態(tài)滿(mǎn)足φ≤ψ公式，當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足ψ公式的那些狀態(tài)y以及滿(mǎn)足φ公式的那些狀態(tài)x，能夠保證x≤y這類(lèi)關(guān)系出現(xiàn)的總概率至少和y≤x這類(lèi)關(guān)系出現(xiàn)的總概率一樣大。這個(gè)定義方式在直觀上與概率化偏好比較方法的定義相同。它們之間唯一的差異在于：此處x和y的概率是分別基于φ公式和ψ公式的條件概率。這是因?yàn)樵诙x模型M時(shí)，P是從S到[0,1]的一個(gè)概率分布，由此必須首先計(jì)算出在S中分別滿(mǎn)足φ公式和ψ公式的那些狀態(tài)的概率，再來(lái)各自計(jì)算它們中每個(gè)元素出現(xiàn)的概率。

最后，根據(jù)以上關(guān)于概率偏好模型的定義以及模型上可滿(mǎn)足關(guān)系的定義，接下來(lái)列舉該邏輯的一些有效式和非有效式，并以此來(lái)解釋該模型的一些邏輯性質(zhì)。

概率偏好模型中的有效式枚舉如下，我們省略證明：

(φ≤ψ)(ψ≤φ)。該公式表示的是：概率偏好模型保證了偏好關(guān)系的完全性。

φ≤φ。該公式表示的是：概率偏好模型保證了偏好關(guān)系的自反性。

(φ≤ψ)((φ)≤(ψ))。該公式表示的是：概率偏好模型保證了偏好關(guān)系的有窮求和屬性。

(φ≤ψ)(φ≤(φψ)≤ψ)。該公式表示的是：概率偏好模型滿(mǎn)足了決策論所關(guān)心的獨(dú)立性條件，它也是杰弗里在考慮量化的偏好關(guān)系時(shí)所提出的必要條件。

(φ≤ψ)(≤ψ)((φ)≤ψ)。該公式表示的是：對(duì)三個(gè)對(duì)象(或公式)而言，假如主體有個(gè)最偏好的對(duì)象，那么即使將另外兩個(gè)對(duì)象結(jié)合在一起，主體依然會(huì)選擇他最偏好的那個(gè)對(duì)象。

概率偏好模型中的非有效式枚舉如下，同樣省略證明：

φ≤┬。該公式不是有效的，它表示的是：存在一些公式使得它們的概率至少和重言式一樣大。

(φ≤ψ)(ψ≤)(φ≤)。該公式不是有效的，它表示的是：概率偏好模型的偏好關(guān)系并不傳遞。

由此可見(jiàn)，概率偏好模型滿(mǎn)足了第三節(jié)探討偏好邏輯時(shí)所提到的偏好關(guān)系應(yīng)該具有的大部分性質(zhì)，并且去除了那些顯然不應(yīng)該具有的性質(zhì)。雖然這種定義方式不能保證傳遞性，但也不失為一種統(tǒng)一邏輯和概率的新方法。

五、 結(jié) 論

本文遵循了兩個(gè)研究方向，具體探討了≤-關(guān)系在質(zhì)化和量化兩方面的研究成果，引入了概率與≤-關(guān)系相結(jié)合的中間道路，詳細(xì)介紹了其中的-函數(shù)及其具體應(yīng)用。作為一種初步嘗試，本文試圖將量化的研究方式引入偏好邏輯的研究中。除此之外，本文還為這種新方式提供了邏輯模型，并探討了該概率偏好模型所具有的邏輯性質(zhì)。

當(dāng)然，針對(duì)偏好邏輯的概率化研究，邏輯定義方面可以做更多的嘗試。本文主要是通過(guò)回顧質(zhì)化以及量化方法，揭示出了兩種截然不同的思維方式，并展示了這兩種方式結(jié)合的可能性。雖然完全公理化仍然是一個(gè)未解決的問(wèn)題，但總體而言，本文所提出的研究方式為偏好邏輯的研究提供了一個(gè)新的維度，也為邏輯的概率化研究指出了一條中間道路。