陳 俁

（南瑞集團有限公司/國網(wǎng)電力科學研究院有限公司，南京，211000）

引 言

陣列信號處理技術(shù)經(jīng)過了幾十年的研究，目前被廣泛運用在語音信號處理、無線通信、雷達和聲納等多個領(lǐng)域。陣列測向是陣列信號處理中的重要研究方向，已發(fā)展出了大量的經(jīng)典方法[1]，如多重信號分 類 法（Multiple signal classification，MUSIC）[2]、旋 轉(zhuǎn) 不 變 法（Rotational invariant techniques，ESPRIT）[3]等。這些子空間類測向方法通過探索信號子空間和噪聲子空間之間的正交性來實現(xiàn)角度的精確估計，具有比波束成形方法更加精確的超分辨率能力，能夠區(qū)分出角度間隔較近的兩個信號。子空間類方法在信號不相關(guān)的場景中可以看作是一種最大似然方法的大塊拍實現(xiàn)，其估計能力能夠逼近克拉美羅下界。然而，子空間方法的缺點也比較明顯：由于這類方法的估計過程建立在噪聲子空間和信號子空間的正交性之上，當這種正交性得不到保證時，子空間類方法很容易失效[4]。因此，子空間類方法難以適用于諸如小快拍、高相關(guān)性等場景。盡管通過諸如空間平滑等方法能夠降低相關(guān)性，但同時也損失了陣列孔徑，其應(yīng)用場景受到了局限[5]。

為了克服子空間類方法的這些缺點，近些年來研究者從壓縮感知算法中受到啟發(fā)，根據(jù)入射信號來向在整個空間角度域中的稀疏特性，提出了基于壓縮感知的陣列測向方法[6-10]。這一類方法充分利用了角域稀疏性，而不是信號子空間和噪聲子空間之間的正交性，因此從原理上有別于傳統(tǒng)的子空間類測向方法，也能夠有效克服子空間類方法的各種缺點。壓縮感知類方法能夠適用于高相干性，甚至是相干信號，也能夠適用于小快拍，甚至是單快拍場景，從而大大擴展了測向方法的適用范圍?；谶@一原理，近10年來已經(jīng)發(fā)展出了大量的測向方法，如以l1范數(shù)奇異值分解重構(gòu)法（l1reconstruction after singular value decomposition，L1SVD）為代表的l1范數(shù)類測向方法[6-8]和以相關(guān)向量機（Relevance vector machine，RVM）為代表的稀疏貝葉斯學習（Sparse Bayesian learning，SBL）類測向方法[9-10]。L1SVD不僅可以適用于單快拍和相干信號場景，同時由于SVD技術(shù)的使用，L1SVD的信號重構(gòu)模型維數(shù)得到了大幅降低，因此其計算量不受限于快拍數(shù)的大小，在大快拍的場景中仍然能夠保持較小的計算量。但L1SVD的求解過程需要已知信號個數(shù)，而這一先驗知識在實際應(yīng)用中通常難以獲取。同時，在L1SVD中還需要涉及到正則化因子的選取，而正則化因子最優(yōu)選取的問題還沒有得到較好的解決，不合適的正則化因子會對估計結(jié)果產(chǎn)生不良影響。基于SBL的RVM方法被證明與l0范數(shù)具有相同的全局收斂性[11]，因此能夠獲得比L1SVD更加精確的估計結(jié)果，但SBL的計算復(fù)雜度較高。

需要注意的是，現(xiàn)在已有的壓縮感知類測向方法均基于網(wǎng)格劃分，即預(yù)先用大量網(wǎng)格對空間域進行劃分，并假設(shè)入射信號無誤差地落在預(yù)設(shè)的網(wǎng)格之上。這一假設(shè)顯然與物理場景相違背，因為入射信號來向在整個角度域內(nèi)是連續(xù)分布的。如果信號來向偏離預(yù)先劃分的網(wǎng)格，就會使得信號模型與真實模型之間存在誤差[12]。雖然可以通過增加網(wǎng)格數(shù)來減小這一誤差，但由于有限等距準則（Restricted isometry property，RIP）準則的存在，這一減小量也非常有限。同時，大量的網(wǎng)格劃分還會帶來高計算量，從而進一步降低了這一模型的適用場景。

針對這一問題，研究者提出了基于一階泰勒展開的離格類DOA估計方法：離格稀疏貝葉斯推斷法（Off-grid sparse Bayesian inference，OGSBI）[13]。該方法利用泰勒展開式，引入量化誤差參數(shù)對真實的陣列流形進行逼近，從而能夠更好地擬合真實信號模型。由于量化參數(shù)的引入使得優(yōu)化模型為非凸模型，該方法引入稀疏貝葉斯學習理論對測向問題進行求解。然而，該方法在很多情況下無法達到理論下界。

針對以上問題，本文提出了一種基于迭代優(yōu)化的離格測向方法。首先，利用接收信號建立起基于壓縮感知的在格信號模型，再將模型中的流形矩陣運用泰勒公式進行一階展開，從而建立起離格信號模型。為了實現(xiàn)模型求解，本文利用交替迭代法來求解對應(yīng)的網(wǎng)格角度和偏差大小，同時通過降低模型維數(shù)、推導(dǎo)閉式解等方法來降低迭代過程中的計算復(fù)雜度。仿真結(jié)果驗證了所提出方法的有效性。

1 信號模型

1.1 物理模型

如圖1所示，有k個遠場窄帶信號sk()t,k=1,…,K以入射角θk,k=1,…,K入射到一個均勻線陣上。該線陣由N個全向接收陣元所組成。這一模型的陣列輸出x(t)=[x1(t),…,xN(t)]T為

圖1 均勻線陣中DOA估計示意圖Fig.1 Illustration of DOA estimation with ULA

式 中 ：A=[a(θ1),…,a(θK)] 為 陣 列 流 形 矩 陣 ；s(t)=為 入 射 信 號為第k個入射信號來向所對應(yīng)的陣列導(dǎo)向矢量；v(t)為加性高斯白噪聲。當陣列接收到L個快拍時，陣列信號模型式(1)可以表示為

1.2 擴展模型

根據(jù)壓縮感知原理，利用入射信號來向的角域稀疏性，本文對整個角度域空間[-90°,90°]進行網(wǎng)格劃分，得到一個超完備的角度集合={?1,…,?~N}。在格類測向方法的基本假設(shè)是信號來向落在網(wǎng)格之上，即從而可以得到擴展的陣列輸出模型為

該模型為典型的LASSO問題，可以用CVX等工具箱進行求解[14]，進而畫出空間功率譜便可以得到角度的估計值。然而，這種擴展模型與真實模型直接存在一個擬合誤差，因此該模型將始終無法得到真實的測向結(jié)果，當網(wǎng)格劃分不夠密時，所得到的結(jié)果會更加偏離真實方向。

1.3 離格擴展模型

在離格信號模型中，入射信號來向不再假設(shè)精確落在網(wǎng)格之上，而是采用更加一般的假設(shè)，即入射信號來向集合不再屬于預(yù)先劃分好的超完備角度集合，即基于這一假設(shè)，本文從式(3)出發(fā)得到離格條件下的信號模型為

模型的量化誤差。結(jié)合式(3)可以看到，在格類信號模型可以看成是離格類信號模型的一種特殊形式：當量化誤差Δ為零時，式(6)與式(3)等價[13]。由于真實信號來向是分布在一個連續(xù)的角度域空間，因此式(6)能夠更加精確地模擬真實信號模型，進而得到更加精確的估計結(jié)果。根據(jù)式(5)的推導(dǎo)，可以得到如下用以求解式(6)的優(yōu)化模型

2 交替迭代方法

第1步：保持δ的大小不變，對S~進行更新

式中上標(q)表示第q次迭代過程。

在第1步中，模型的維數(shù)取決于快拍數(shù)L。而在測向過程中，快拍數(shù)通常遠大于陣元數(shù)，因此求解該問題需要大量的計算量。為了避免高計算復(fù)雜度，參考L1SVD方法，本文利用SVD方法來降低模型維數(shù)。將X進行SVD分解得到

而在第2步對δ的優(yōu)化過程中，式(9)是一個關(guān)于δ的加權(quán)最小二乘問題，可以通過類似文獻[14,15]的方法求得最優(yōu)解。為了對式(9)求得閉式解以簡化計算，本文先將其中的目標函數(shù)進行如下轉(zhuǎn)換（為了簡化表述，式(9)忽略了上標表示）

式中：?和*分別表示哈達瑪乘積和共軛運算；tr和R分別表示求矩陣的跡和取實部運算；diag表示取矩陣的對角線元素。根據(jù)式(12)，對式(9)的求解可通過對式(12)中的δ進行求導(dǎo)得到，即

當?shù)K止時，陣列測向結(jié)果可表示為

式中：θ為迭代終止時對進行一維譜峰搜索得到的角度粗估值；δ^final為迭代終止時式(13)的輸出。

該算法的流程圖如表1所示。

表1 算法流程Tab.1 Flow of the proposed algorithm

3 仿真實驗

本文將通過若干仿真實驗來驗證所提出算法的有效性。為了進行對比，本文在實驗中加入了子空間類代表性方法MUSIC、在格類代表性方法L1SVD和離格類代表性方法OGSBI等測向方法，并且選用7陣元的均勻線陣作為接收陣列。壓縮感知類方法均采用網(wǎng)格~?={-90°,-88°,…,88°,90°}對整個空間域進行角度劃分，同時L1SVD還引入迭代網(wǎng)格優(yōu)化的思想對其進行網(wǎng)格細分[6]。MUSIC方法在一維搜索中的搜索步長依據(jù)信噪比選取為本文所提方法將最大迭代次數(shù)設(shè)置為50，并且采用測向均方根誤差（Root mean square error，RMSE）對各方法的估計性能進行評估，表達式為

實驗1收斂情況驗證。假設(shè)兩個不相關(guān)信號以[-5°,5°]的方向入射，快拍數(shù)為100。本文方法在迭代過程中的RMSE如圖2所示，可以看出，本文方法具有較好的收斂性，且大約在30次迭代時能夠接近收斂。

實驗2估計精度驗證。本文假設(shè)2個窄帶不相關(guān)信號以[-5°,5°]的入射角射入接收陣列上。陣列接收到200個快拍且接收信噪比為0dB。本文對比MUSIC，L1SVD，OGSBI和本文方法的空間譜如圖3所示。可以看出，4種方法均能夠?qū)@2個信號進行正確測向。相比較MUSIC和OGSBI來說，本文方法具有更加尖銳的譜峰。同時，從2個子圖可以看出，本文方法的估計精度優(yōu)于其他方法。

實驗3不同信噪比下的RMSE對比。假設(shè)2個不相關(guān)信號以[-5°,5°]的入射角射入接收陣列上。接收快拍數(shù)為200。本文比較了上述4種方法的RMSE，其結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，本文方法能夠始終具有最佳的估計性能，并且在信噪比大于5dB時就能夠貼近克拉美羅下界（Cramer-Rao lower bound，CRLB）。相比之下，MUSIC在低信噪比時的性能不佳，而L1SVD和OGSBI則始終不能達到CRLB。

實驗4不同相關(guān)性下的RMSE對比。假設(shè)2個相關(guān)信號以[-15°,5°]入射到接收陣列上，快拍數(shù)為100，信噪比為10dB。本文對各方法RMSE隨信號相關(guān)性的變化情況進行了研究，結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯觯S著相關(guān)性的不斷增強，各個方法的估計性能都在不斷惡化。MUSIC和L1SVD在信號高度相關(guān)時的估計性能嚴重下降。相比之下，本文方法仍然能夠貼近CRLB且要優(yōu)于OGSBI，體現(xiàn)出了良好的抗相干特性。

圖2 本文方法的收斂性分析Fig.2 Convergence analysis of the proposed method

實驗5 不同快拍數(shù)下的RMSE對比。假設(shè)兩個不相關(guān)信號以[-5°,5°]的入射角射入接收陣列上，且信噪比為10dB。本文對不同快拍數(shù)下各方法的RMSE進行比較。如圖6所示，L1SVD和OGSBI均不能達到誤差下界，并且在這種情況下，其精度沒有隨著快拍數(shù)的增加而提高。而MUSIC和本文方法能夠較好地逼近CRLB，并且精度隨著快拍數(shù)的增加而提高。

圖3 MUSIC，L1SVD，OGSBI和本文方法的空間譜Fig.3 Spectra comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI

圖4 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文方法在不同信噪比下的估計性能比較Fig.4 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with different SNRs

圖5 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文提出方法在相關(guān)信號場景下的估計性能比較Fig.5 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with correlated sources

圖6 MUSIC、L1SVD、OGSBI和本文提出方法在不同快拍數(shù)下的估計性能比較Fig.6 Estimation performance comparison of the proposed method,MUSIC,L1SVD and OGSBI with different number of snapshots

4 結(jié)束語

本文研究了基于壓縮感知的陣列測向方法中的網(wǎng)格失配情況。在分析在格類模型存在缺陷的基礎(chǔ)上提出了一種離格類測向模型，該模型可以看成是在格類模型的一般化形式。在特定場景中，所提模型可退化為在格類模型。同時，針對這一模型，本文提出了基于交替迭代優(yōu)化的測向算法。該算法可以實現(xiàn)對信號來向的精確估計，仿真實驗結(jié)果也驗證了所提方法的有效性。