葉中付 朱星宇

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，合肥，230027）

引 言

自適應(yīng)波束形成(Adaptive beamforming)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，其廣泛用于雷達(dá)、聲吶、通信、探測(cè)、語音信號(hào)處理以及醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域[1-4]。自適應(yīng)波束形成本質(zhì)上是一種空域?yàn)V波技術(shù)，它基于一定的準(zhǔn)則來設(shè)計(jì)獲得波束形成器的權(quán)矢量，使得波束主瓣對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)方向，同時(shí)最大可能地抑制其他方向的干擾信號(hào)和背景噪聲。當(dāng)陣列結(jié)構(gòu)和接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣準(zhǔn)確已知時(shí)，Capon波束形成器被證明理論最優(yōu)[5]。然而當(dāng)存在模型失配誤差時(shí)，例如方向誤差、傳感器位置誤差、幅相誤差等，這些將會(huì)導(dǎo)致Capon波束形成器的性能嚴(yán)重下降。此外在實(shí)際應(yīng)用中，接收信號(hào)的理論協(xié)方差矩陣未知，一般使用樣本協(xié)方差矩陣代替，當(dāng)樣本快拍數(shù)較小時(shí)，也會(huì)導(dǎo)致波束形成器的性能下降。Capon波束形成器可以保證對(duì)期望信號(hào)方向的無失真接收前提下最小化輸出功率，因此Capon波束形成器與MVDR(Minimum variance distortionless response)波束形成器等價(jià)[6]。針對(duì)于非理想情況下的自適應(yīng)波束形成算法性能下降問題，一系列穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法相繼被提出。這包括對(duì)角加載(Diagonal loading,DL)算法[7-11]、特征子空間(Eigenspace)算法[12-15]、不確定集算法(Uncertainty set,US)算法[16-18]、最差情況性能最優(yōu)(Worst-case performance optimization,WPO)算法[19-20]和協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法(Covariance matrix reconstruction,CMR)算法等[21-29]。對(duì)角加載算法是在樣本協(xié)方差矩陣上加上一個(gè)對(duì)角陣，可以認(rèn)為是通過增加噪聲功率來提高波束形成器的穩(wěn)健性；但是合適的對(duì)角加載量很難選擇，加載參數(shù)過小時(shí)對(duì)性能改善很小，加載量過大時(shí)會(huì)減弱對(duì)干擾信號(hào)的抑制。特征子空間算法通過對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解來劃分出不同的信號(hào)子空間，其中大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的空間認(rèn)為是期望信號(hào)加干擾子空間，小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的空間認(rèn)為是噪聲子空間。而期望信號(hào)加干擾子空間也是由期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量和干擾的導(dǎo)向矢量所張成的空間，故真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量一定落在期望信號(hào)加干擾子空間內(nèi)。所以可以將存在誤差的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量向期望信號(hào)加干擾子空間內(nèi)進(jìn)行投影來消除誤差，從而提高波束形成器的穩(wěn)健性。但是在低信噪比條件下，樣本協(xié)方差矩陣的特征值大小非常接近，很難準(zhǔn)確地區(qū)分出期望信號(hào)加干擾子空間和噪聲子空間。不確定集算法主要是根據(jù)凸優(yōu)化理論將期望信號(hào)導(dǎo)向矢量約束在一個(gè)可能的空間范圍內(nèi)來建立不確定集模型，通過優(yōu)化算法在不確定集中找到真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。但是由于不確定集的大小很難選擇，此類算法在各種誤差條件下只能保證一定的穩(wěn)健性。最差情況性能最優(yōu)算法可以被認(rèn)為是一類特殊的不確定集算法，它通過對(duì)不確定集中所有可能的導(dǎo)向矢量進(jìn)行無失真響應(yīng)約束，保證對(duì)期望信號(hào)的無失真接收同時(shí)最小化輸出功率，進(jìn)一步改善了波束形成器的穩(wěn)健性。

在經(jīng)過對(duì)穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法的深入研究之后發(fā)現(xiàn)，影響波束形成器的性能的最大原因在于樣本協(xié)方差矩陣中包含有期望信號(hào)成分。根據(jù)Capon波束形成器和MVDR波束形成器的對(duì)權(quán)矢量是等價(jià)的，可以通過重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣來改善波束形成器的穩(wěn)健性。文獻(xiàn)[21]首先提出利用Capon功率譜在非期望信號(hào)角度區(qū)域內(nèi)積分來重構(gòu)出干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。重構(gòu)出的協(xié)方差矩陣可以保證沒有包含期望信號(hào)成分，同時(shí)利用重構(gòu)出的協(xié)方差矩陣對(duì)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量進(jìn)行約束優(yōu)化，該算法有效地提升了波束形成器的性能。文獻(xiàn)[21]中的積分重構(gòu)算法可以理解為是一種線性積分，它通過線性積分來消除陣列導(dǎo)向矢量的方向誤差。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[22]提出了一種體積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法，該算法將陣列存在的誤差約束在一個(gè)空間不確定集內(nèi)同時(shí)確保所有的干擾導(dǎo)向矢量都落在該不確定集內(nèi)，然后再利用Capon功率譜在干擾角度范圍內(nèi)積分，重構(gòu)出干擾協(xié)方差矩陣。文獻(xiàn)[22]相比于文獻(xiàn)[21]將積分形式由線性積分?jǐn)U展到體積積分，不僅消除了方向誤差、還消除了幅相誤差，但是在改善算法性能的同時(shí)增加了算法復(fù)雜度。文獻(xiàn)[23]利用文獻(xiàn)[24]中的方法從兩個(gè)子空間矩陣中重構(gòu)出期望信號(hào)協(xié)方差矩陣，從而獲得期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量。文獻(xiàn)[25]利用陣列導(dǎo)向矢量的選擇屬性來采樣出樣本協(xié)方差矩陣中的信號(hào)功率來重構(gòu)出干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。文獻(xiàn)[26]將互素陣分解成兩個(gè)子陣列來重構(gòu)出噪聲協(xié)方差矩陣。文獻(xiàn)[27]提出了基于干擾導(dǎo)向矢量和功率估計(jì)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法，該算法首先利用Capon功率譜進(jìn)行譜峰搜所來獲得所有信號(hào)的導(dǎo)向矢量，然后利用文獻(xiàn)[9]的算法對(duì)搜索出的導(dǎo)向矢量進(jìn)行優(yōu)化；接著再利用導(dǎo)向矢量之間的近似正交性來估計(jì)出干擾的功率從而重構(gòu)出干擾協(xié)方差矩陣，該算法重構(gòu)出的干擾協(xié)方差矩陣與理論上的干擾協(xié)方差矩陣有相同的表達(dá)形式，進(jìn)一步消除了重構(gòu)帶來的誤差、提升了算法的性能。文獻(xiàn)[28]提出了基于殘留噪聲功率消除和干擾功率估計(jì)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法，它首先分析了Capon功率的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)在每一個(gè)譜峰處功率值是期望信號(hào)功率和殘留噪聲功率的疊加，在非信號(hào)角度區(qū)域內(nèi)Capon功率譜代表的是殘留噪聲功率。接著該算法分析了殘留噪聲功率和實(shí)際噪聲功率的關(guān)系，在消除殘留噪聲功率后估計(jì)出期望信號(hào)導(dǎo)向矢量和相應(yīng)的子空間，然后利用子空間投影來估計(jì)出干擾信號(hào)的功率，最終重構(gòu)出干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。文獻(xiàn)[29]利用已知的陣列結(jié)構(gòu)構(gòu)造出投影矩陣，對(duì)接收到的數(shù)據(jù)快拍進(jìn)行投影來重構(gòu)出干擾協(xié)方差矩陣。

本文介紹了波束形成的信號(hào)模型及相關(guān)基礎(chǔ)，對(duì)基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的波束形成算法進(jìn)行綜述并總結(jié)。最后對(duì)波束形成的下一步研究方向進(jìn)行了展望。

1 信號(hào)模型

考慮一個(gè)由M個(gè)全向陣元組成的均勻線性陣列，陣元間距為d。假設(shè)空間中有L個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)sl(t),l=0,1,…,L-1入射到該陣列，其中只有一個(gè)期望信號(hào)s0(t)，其余L-1個(gè)信號(hào)均為干擾，所有信號(hào)之間互不相關(guān)。背景噪聲為高斯白噪聲，信號(hào)與噪聲之間也互不相關(guān)。在t時(shí)刻陣列接收數(shù)據(jù)x可以表示為

式中：xs(t)=s0(t)a0為期望信號(hào)成分；為干擾信號(hào)成分；n(t)=為相互獨(dú)立、功率同為的零均值平穩(wěn)噪聲；其中a(θ)=為陣列導(dǎo)向矢量，(·)T代表轉(zhuǎn)置，λ為信號(hào)波長，θ為信號(hào)入射方向。波束形成器的輸出為各個(gè)陣元接收到的信號(hào)加權(quán)求和

式中：w=[w0,w1,…,wM-1]T為波束形成器的權(quán)矢量；(·)H代表轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置。Capon波束形成器的權(quán)矢量在保證期望信號(hào)無失真接收同時(shí)最小化陣列輸出功率的條件下求得

然而在實(shí)際中，不論是Ri+n還是R以及理論上的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量均難以獲得，故采用樣本協(xié)方差矩陣R^和名義導(dǎo)向矢量aˉ0進(jìn)行代替

2 基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

2.1 基于線性積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法

根據(jù)文獻(xiàn)[30]，Capon功率譜表示為

由于使用樣本協(xié)方差矩陣和名義導(dǎo)向矢量代替理想的信號(hào)協(xié)方差矩陣和準(zhǔn)確的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量，式（7）改寫為

文獻(xiàn)[21]首先提出：使用Capon功率譜在期望信號(hào)角度區(qū)域內(nèi)積分重構(gòu)出干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，即

上述約束可理解為防止修正后的導(dǎo)向矢量aˉ0+e收斂到干擾信號(hào)的角度區(qū)域內(nèi)，其中e=a^0-aˉ0是失配誤差，a^0是待估計(jì)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。根據(jù)矢量分解的性質(zhì)，失配誤差e可分解為兩個(gè)相互正交的分量e∥和e⊥，其中e∥是平行于aˉ0的分量、e⊥是垂直于aˉ0的分量。并且平行分量e∥不會(huì)影響期望信號(hào)導(dǎo)向矢量的修正以及波束形成器的輸出信噪比，因此只需求解出垂直分量e⊥，故上述優(yōu)化問題可改寫為

該優(yōu)化問題是一個(gè)二次約束二次規(guī)劃問題，可以通過凸優(yōu)化工具包進(jìn)行求解[31]，故得到修正后的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量

結(jié)合通過線性積分重構(gòu)得到的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，可獲得波束形成器的權(quán)矢量

2.2 基于體積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法

文獻(xiàn)[22]指出，入射信號(hào)在整個(gè)空間范圍內(nèi)來說是稀疏的，因此積分區(qū)域越大，會(huì)造成收集到的冗余信息越多，可利用測(cè)向算法分辨出只含有干擾信號(hào)的角度范圍Θint，陣列的導(dǎo)向矢量不僅僅存在方向誤差，還存在其他形式的誤差。將干擾區(qū)域內(nèi)的導(dǎo)向矢量約束在一個(gè)不確定集內(nèi)，可有效地包括其他形式的誤差

式中ε為常數(shù)，為了使得每一個(gè)干擾的導(dǎo)向矢量都能被約束在一個(gè)同樣大小的球形不確定集中，ε應(yīng)滿足以下不等式

所有這樣的球形不確定集可以合并成為一個(gè)大的圓環(huán)形不確定集

由于真實(shí)的干擾導(dǎo)向矢量一定位于不確定集Sa(θ∈Θint)中，一個(gè)直觀的估計(jì)干擾協(xié)方差矩陣的方法是在整個(gè)不確定集Sa(θ∈Θint) 上對(duì)Capon功率譜進(jìn)行積分運(yùn)算，即

式中dν表示Sa(θ∈Θint)上的積分單元。然而，積分區(qū)域中含有許多共線的導(dǎo)向矢量，因此上述積分中含有太多的冗余信，故將式(17)的積分簡化為

對(duì)于某一任意角度θi∈Θint，式(19)中r(θ)的積分可以通過離散取點(diǎn)求和求解

式中：N 為 ?Sa(θ)上的采樣點(diǎn)數(shù),ain∈ ?Sa(θi)為以 aˉ(θi)為球心、ε為半徑的球面采樣點(diǎn)。故式(18)可簡化為

式中I表示角度區(qū)域Θint上的采樣點(diǎn)數(shù)。對(duì)于噪聲協(xié)方差矩陣，可認(rèn)為樣本協(xié)方差矩陣特征分解后獲得的最小特征值即為噪聲功率，那么重構(gòu)出的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣可表示為

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ε=0時(shí)，圓環(huán)收斂于一條aˉ(θ)所對(duì)應(yīng)的空間曲線，此是相等的。因此該算法可以看做是文獻(xiàn)[21]所提算法的推廣。接著利用重構(gòu)后的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣修正期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量,主要思想與文獻(xiàn)[21]類似，即

上述優(yōu)化問題可以通過凸優(yōu)化工具包進(jìn)行求解，得到修正后的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量a^0=aˉ0+e⊥，最后得到波束形成器的權(quán)矢量

2.3 基于干擾導(dǎo)向矢量和功率估計(jì)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法

文獻(xiàn)[27]提出了一種基于干擾導(dǎo)向矢量和功率估計(jì)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法。利用Capon功率譜在整個(gè)空間內(nèi)的功率分布，進(jìn)行譜峰搜所便可以獲得干擾的入射角度。假設(shè)通過搜索獲得到的角度分別Q為搜索到的干擾信號(hào)的峰值個(gè)數(shù)。再根據(jù)已知的陣列結(jié)構(gòu)信息，便可以獲得相應(yīng)的干擾導(dǎo)向矢量很顯然，由于陣列結(jié)構(gòu)存在誤差、這些估計(jì)的干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量是不準(zhǔn)確的，為了消除存在的誤差，可以借鑒文獻(xiàn)[9]中提出的方法。將這些估計(jì)的干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量都約束在一個(gè)不確定集內(nèi)，通過如下約束條件進(jìn)行優(yōu)化

式中δ為常數(shù)，代表不確定集的大小。上述優(yōu)化問題的解可以寫為

式中：aj和al代表從不同方向入射信號(hào)的導(dǎo)向矢量，并且當(dāng)aj和al代表的入射方向相距很遠(yuǎn)時(shí)，可認(rèn)為他們是相互正交的，即或者近似正交，即，所以式(28)等號(hào)右邊僅存在其余項(xiàng)可以被忽略，式(28)即變?yōu)?/p>

因此,可以計(jì)算出第l個(gè)干擾的功率

將式(26)中估計(jì)出的干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量代入式（30），并且將Rs+i近似為最終干擾的功率估計(jì)為

在估計(jì)出干擾導(dǎo)向矢量和功率后，便可重構(gòu)出干擾加噪聲協(xié)方差矩陣

文獻(xiàn)[27]中關(guān)于期望導(dǎo)向矢量的估計(jì)方法也有別于文獻(xiàn)[21,22]。根據(jù)已知的陣列結(jié)構(gòu)，可以獲得協(xié)方差矩陣為C的小特征值張成的子空間。顯然，真實(shí)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量是與空間U相互正交的,或者aˉ0+e屬于I-UUH張成的子空間。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以對(duì)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量設(shè)置如下約束

上述優(yōu)化問題可以通過凸優(yōu)化工具包進(jìn)行求解，在獲得估計(jì)后的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量aˇ0=aˉ0+e⊥后，結(jié)合式(32)重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，可獲得波束形成的權(quán)矢量

2.4 基于殘留噪聲消除和干擾功率估計(jì)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法

文獻(xiàn)[28]提出Capon功率譜的功率分布中有殘留噪聲存在。假如只有一個(gè)信號(hào)從角度θi1入射、功率為 σ2，那么協(xié)方差矩陣為代入式(7)得

當(dāng)θ=θi1時(shí)，式（35）變?yōu)?/p>

式(36)表示，在每個(gè)譜峰處，其代表的功率值是入射的信號(hào)功率和殘留的噪聲功率之和，并且殘留噪聲的功率為實(shí)際噪聲功率的1M。殘留噪聲的存在還可以從另外一個(gè)角度進(jìn)行證明。假設(shè)只有高斯白噪聲存在，沒有入射信號(hào)，那么協(xié)方差矩陣變?yōu)榇胧?7)，可得

式(37)證明殘留噪聲存在于整個(gè)空間內(nèi)，因此可以推斷，在每個(gè)信號(hào)譜峰處，其功率值都是入射的信號(hào)功率和殘留噪聲功率之和。殘留噪聲功率可以利用Capon功率譜在非信號(hào)區(qū)域進(jìn)行估計(jì)

式中：Θn為非信號(hào)角度區(qū)域；θt是在Θn的采樣點(diǎn)；T為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。根據(jù)式(36，37)，可獲得實(shí)際的噪聲功率和噪聲協(xié)方差矩陣

為了得到準(zhǔn)確的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量，文獻(xiàn)[28]在消除殘留噪聲成分后重構(gòu)期望信號(hào)協(xié)方差矩陣，其最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量可認(rèn)為是期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。與之前的重構(gòu)方法不同

B1代表著前J個(gè)大特征值代表的特征矢量，顯然0是在B1張成的子空間內(nèi)，并且與I-B1張成的子空間正交。因此對(duì)每一次接收到的數(shù)據(jù)快拍x(t)，可利用構(gòu)造投影矩陣來消除期望信號(hào)成分

可以發(fā)現(xiàn)P為B1子空間的投影補(bǔ)矩陣，所以其不會(huì)改變導(dǎo)向矢量的模值大小。故可將PHP近似為，結(jié)合式(42,43),可得到

式（46）可以理解為，當(dāng)獲得干擾的導(dǎo)向矢量以及干擾協(xié)方差矩陣時(shí)，便可以求得干擾的功率。將Ai用 Capon 功率譜所到的譜峰對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量代替[27]、Ri用式(44)中的替代，可得

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為了驗(yàn)證算法的有效性和穩(wěn)健性，對(duì)文獻(xiàn)[21,22,28]中的算法進(jìn)行仿真分析。在實(shí)驗(yàn)仿真部分，考慮一個(gè)由M=10個(gè)全向陣元組成的均勻線陣，陣元之間的間距是d=λ 2，噪聲為零均值的加性高斯白噪聲?？臻g中存在兩個(gè)來自θ1=-30°和θ2=40°干擾信號(hào)源，干噪比為30dB，同時(shí)期望信號(hào)位于θs=-5°。假設(shè)存在 -3°的估計(jì)誤差，即相應(yīng)的估計(jì)的角度分別為：θˉs=-5°，θ1=-33°和 θ2=37°。其中，期望信號(hào)的角度范圍被認(rèn)為是 Θs=[θˉs-8°,θˉs+8°]，干擾的角度范圍是 Θ1=[θˉ1-8°,θˉ1+8°]，Θ2=[θˉ2-8°,θˉ2+8°]，Θi= Θ1∪ Θ2。期望信號(hào)、干擾信號(hào)、噪聲之間均互不相關(guān)。當(dāng)比較自適應(yīng)波束形成算法的性能與快拍數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，信噪比固定在20dB；當(dāng)比較平均輸出信干噪比與輸入信噪比之間的關(guān)系時(shí)，快拍數(shù)固定為20。在給定條件下，所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均由100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)平均所得。在仿真實(shí)驗(yàn)中，將特征子空間(Eigenspace)算法[15]、最差情況性能最優(yōu)(Worst-case performance optimization,WPO)算法[19]、基于功率譜采樣(Spatial power spectrum sampling,SPSS)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法[25]作為對(duì)比算法。

在文獻(xiàn)[15]中，參數(shù)ρ設(shè)置為ρ=0.9；文獻(xiàn)[19]中的不確定集設(shè)置為ε=0.3M；文獻(xiàn)[25]中 α0=0°并且 δ =arcsin(M/2)。文獻(xiàn)[22]中ε設(shè)置為 ε=0.1；文獻(xiàn)[28]中N被設(shè)為N=3。

3.1 方向誤差條件下的自適應(yīng)波束形成算法性能分析

在蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)期望信號(hào)和干擾信號(hào)的波達(dá)方向誤差服從[-4°,4°]上的均勻分布。圖1比較了各個(gè)波束形成器的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化的曲線，可以看出文獻(xiàn)[28]中的算法不管是在低輸入信噪比還是在高輸入信噪比的情況下，都能取得最高的輸出信干噪比。圖2則給出了陣列快拍數(shù)對(duì)波束形成器輸出信干噪比的影響，可以看出去快拍數(shù)的變化對(duì)各個(gè)算法的輸出信干噪比沒有太大的影響，其中文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[28]之間性能差距很小。

3.2 幅相誤差條件下的自適應(yīng)波束形成算法性能分析

在本實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)均勻線陣中的每個(gè)陣元的幅度和相位均存在一定的誤差，并且分別服從的高斯分布，而且在每次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)中對(duì)每個(gè)快拍來說是恒定不變的。圖3中的曲線表示了所提算法與各種對(duì)比算法的輸出信干噪比與輸入信噪比之間的關(guān)系曲線，可以看出在低信噪比的條件下，文獻(xiàn)[15,19]中的算法比文獻(xiàn)[21,22,25,28]的算法獲得更高的輸出信干噪比；而在高信噪比的條件下，文獻(xiàn)[21,22,25,28]算法可以獲得更好的性能。圖4給出了各個(gè)算法的輸出信干噪比與快拍數(shù)之間的變化曲線，進(jìn)一步體現(xiàn)了文獻(xiàn)[21,22,28]中所提算法的優(yōu)越性，然而相比于理論上最優(yōu)的輸出信干噪比，仍存在一定的差距。

圖1 角度誤差情況下輸出信干噪比相對(duì)于輸入信干噪比的變化Fig.1 Output SINR versus the input SNR in case of look direction error

圖2 角度誤差情況下輸出信干噪比相對(duì)于快拍數(shù)的變化Fig.2 Output SINR versus the number of snapshots in case of look direction error

圖3 幅相誤差情況下輸出信干噪比相對(duì)于輸入信干噪比的變化Fig.3 Output SINR versus the input SNR in case of amplitude and phase perturbations

圖4 幅相誤差情況下輸出信干噪比相對(duì)于快拍數(shù)的變化Fig.4 Output SINR versus the number of snapshots in case of amplitude and phase perturbations

4 結(jié)束語

本文主要對(duì)4種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法進(jìn)行綜述。前兩種基于線性積分和基于體積積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)可認(rèn)為是同一類算法。基于線性積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法首先提出在非期望信號(hào)角度區(qū)域內(nèi)利用Capon功率譜積分重構(gòu)出干擾加噪聲協(xié)方差矩陣；基于體積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法將導(dǎo)向矢量約束在一個(gè)空間圓環(huán)內(nèi)，然后在干擾角度區(qū)域內(nèi)利用Capon功率譜積分重構(gòu)出干擾協(xié)方差矩陣，將導(dǎo)向矢量存在的誤差推廣至更加一般的模型；當(dāng)約束的空間圓環(huán)為零時(shí)，基于體積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)和基于線積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)為同一個(gè)算法。接著本文介紹了基于干擾導(dǎo)向矢量和功率估計(jì)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法，該算法利用Capon功率譜進(jìn)行譜峰搜索得到干擾導(dǎo)向矢量，并通過優(yōu)化來消除誤差，然后利用導(dǎo)向矢量的近似正交性質(zhì)來估計(jì)干擾功率，最后重構(gòu)出干擾協(xié)方差矩陣。最后本文介紹了基于殘留噪聲消除和干擾功率估計(jì)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法，該算法首先證明Capon功率譜中包含有殘留噪聲，接著分析其數(shù)值變化；然后在消除殘留噪聲的影響后重構(gòu)期望信號(hào)協(xié)方差矩陣來獲得期望信號(hào)導(dǎo)向矢量；最后通過對(duì)數(shù)據(jù)快拍投影獲得干擾功率來重構(gòu)出干擾協(xié)方差矩陣。后兩種算法可認(rèn)為是一類算法，它們根據(jù)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的理論形式進(jìn)行重構(gòu)，進(jìn)一步提高了算法的性能。

波束形成作為陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，經(jīng)過了幾十年的研究，現(xiàn)如今已經(jīng)取得了非常顯著的成果。近年來穩(wěn)健性更是成為波束形成中的研究熱點(diǎn)，本文介紹的4種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的自適應(yīng)波束形算法均能在誤差情況下取的較好的性能。盡管如此，依然存在一些問題值得進(jìn)一步研究:(1)目前大部分的波束算法都是針對(duì)均勻線陣下的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)。然而在實(shí)際應(yīng)用中，陣列接收寬帶近場(chǎng)信號(hào)的場(chǎng)景越來越多。針對(duì)寬帶信號(hào)，尤其是針對(duì)語音信號(hào)，此類算法是能還能適用。(2)本文介紹的4種算法中采用的都是均勻線陣，對(duì)于非均勻線陣、圓陣或者是矩形陣，能否將這些算法與陣列的特點(diǎn)相結(jié)合，提出更加一般性的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法。(3)總體來說基于積分重構(gòu)協(xié)方差矩陣的算法均具有較高的計(jì)算復(fù)雜度，針對(duì)大規(guī)模天線陣列，很難應(yīng)用于實(shí)際的系統(tǒng)。(4)當(dāng)期望信號(hào)和干擾之間非?？拷鼤r(shí)，此類算法是否還能夠有效地將干擾抑制并保留期望信號(hào)。