徐大專 羅 浩，2

（1.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211106；2.江蘇科技大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，鎮(zhèn)江，212003）

引 言

雷達(dá)、聲納和醫(yī)學(xué)成像等目標(biāo)探測系統(tǒng)可以從反射信號中獲取目標(biāo)的距離、方向和幅度等空間信息，正在國防和國民經(jīng)濟(jì)部門發(fā)揮越來越重要的作用。雷達(dá)探測的主要任務(wù)是目標(biāo)的檢測、估計和成像，除距離和散射信息之外，相控陣?yán)走_(dá)和合成孔徑雷達(dá)還可獲得目標(biāo)的方向信息，或者對觀測區(qū)域進(jìn)行成像。干涉合成孔徑雷達(dá)甚至可以獲得觀測區(qū)域的三維空間信息。目前，雷達(dá)與通信技術(shù)相融合的趨勢越來越明顯，隨著MIMO多天線技術(shù)在雷達(dá)和通信系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用[1-6]，雷達(dá)通信一體化技術(shù)[7-14]迅速發(fā)展，從共用天線、到共用射頻、再到共用波形，融合的程度不斷加深。雷達(dá)是一種典型的信息獲取系統(tǒng)，而通信是一種信息傳輸系統(tǒng)，那么，雷達(dá)和通信兩種信息系統(tǒng)能否在信息理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)一的描述和刻畫呢？

空間信息論正是以香農(nóng)信息論為基礎(chǔ)，研究探測系統(tǒng)中目標(biāo)空間信息問題的基礎(chǔ)理論，這里的空間信息指被測目標(biāo)相對于雷達(dá)的距離、方向和散射信息?？臻g信息論中“空間”這一名稱是本文首次提出的，其意義與空間譜估計中“空間”一詞的意義是一致的。

空間信息論所研究的基礎(chǔ)理論問題可概括如下：

(1)空間信息的概念，即目標(biāo)探測系統(tǒng)中，感知信息的本質(zhì)是什么，怎樣對空間信息進(jìn)行嚴(yán)格的、科學(xué)的定義。

(2)空間信息的定量問題，即，空間信息的理論公式及閉合表達(dá)式。

(3)探測精度問題，即空間信息量與探測精度的關(guān)系問題。探測系統(tǒng)中，目標(biāo)的參數(shù)估計精度是最基本的性能指標(biāo)，空間信息論能否從信息論的觀點解釋估計精度問題。

(4)分辨率問題，即空間信息量與分辨率的關(guān)系問題。分辨率是目標(biāo)探測系統(tǒng)特有的性能指標(biāo)，空間信息論能否從信息論的觀點解釋分辨率問題。

近年來，作者的研究團(tuán)隊對空間信息論涉及的基本理論問題開展研究工作，并取得了一系列研究結(jié)果。針對上述基礎(chǔ)理論問題，本文將給出本團(tuán)隊最新的研究成果。作者相信，空間信息論將形成新的基礎(chǔ)學(xué)科，本文的工作當(dāng)然是階段性的，不可能對上述一系列基本問題給出全部答案。本文的研究工作中甚至還存在一定的錯誤，希望信息理論與雷達(dá)信號處理領(lǐng)域的學(xué)者共同探討空間信息論這一新興主題。

1 信息論在雷達(dá)探測系統(tǒng)中的前期研究工作

信息論與雷達(dá)的關(guān)系是國際學(xué)術(shù)界長期關(guān)注，而未能解決的基礎(chǔ)理論問題。2017年，國際信息論期刊《Entropy“radar and information theory”》特刊的征稿啟示[15]中寫到：“自 Woodward和 Davies開創(chuàng)性地研究雷達(dá)信息理論的半個多世紀(jì)以來，信息理論已廣泛應(yīng)用于雷達(dá)信號處理中。然而，由于在雷達(dá)和通信領(lǐng)域中“信息”概念的內(nèi)在差異，對雷達(dá)應(yīng)用中信息理論的研究并不如其在通信領(lǐng)域中來的深入。雷達(dá)系統(tǒng)的唯一目的是尋找關(guān)于目標(biāo)的信息，通常意義上是非合作的，而通信系統(tǒng)的目的是提取有關(guān)發(fā)射信號的信息。隨后，Bell的開創(chuàng)性論文，即以信息論測度自適應(yīng)地設(shè)計發(fā)射波形，進(jìn)而從接收到的測量信號中提取更多的目標(biāo)信息，使得信息論在雷達(dá)信號處理中重新站穩(wěn)了腳跟。自此以后，信息理論準(zhǔn)則，特別是互信息和相對熵（又稱之為Kullback-Leibler散度），已成為自適應(yīng)雷達(dá)波形設(shè)計算法的核心?！薄Ｔ搫t啟示充分表達(dá)了國際學(xué)術(shù)界開展“雷達(dá)與信息論”主題研究的迫切愿望！下面綜述信息論在雷達(dá)系統(tǒng)中的主要研究工作及最新進(jìn)展。

從Woodward＆Davies研究距離信息[16-19]至今已有近70年歷史，特別是Bell的研究工作[20]發(fā)表后，以互信息和相對熵為測度進(jìn)行雷達(dá)系統(tǒng)的波形設(shè)計引起了國內(nèi)外學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。近兩年來，本項目組在雷達(dá)探測的空間信息理論方面也取得了部分研究成果?，F(xiàn)將相關(guān)研究工作分述如下：

1.1 距離互信息

距離互信息的研究可追溯至20世紀(jì)50年代。針對單目標(biāo)和幅度為常數(shù)條件下，Woodward和Davies[16-19]采用逆概率原理得到時延τ和散射系數(shù)α的聯(lián)合后驗概率密度

式中：p0(x,α)表示先驗概率密度，u和z分別表示發(fā)射和接收的低頻信號矢量，M為實噪聲的平均功率。在此基礎(chǔ)上得到了距離互信息與信噪比的近似關(guān)系

式中：ρ2表示平均信噪比，T表示觀測時間長度，β表示信號的均方根帶寬。

Woodward和Davies只研究了雷達(dá)探測系統(tǒng)中目標(biāo)的距離信息問題，而沒有涉及散射信息問題。而且，由于逆概率研究方法的局限，在他們的研究方向近70年以來沒有取得進(jìn)一步發(fā)展。

1.2 以互信息和相對熵為測度的雷達(dá)波形設(shè)計

1988年，Bell首先將互信息測度用于雷達(dá)系統(tǒng)的波形設(shè)計[20]，其系統(tǒng)模型如圖1所示。其中，x(t)表示發(fā)射信號，g(t)表示目標(biāo)沖激響應(yīng)，回波信號z(t)是發(fā)射信號x(t)與目標(biāo)沖激響應(yīng)g(t)的卷積。z(t)疊加高斯白噪聲n(t)，并經(jīng)過匹配濾波器B(f)后得到信號y(t)。根據(jù)Neyman-Pearson準(zhǔn)則，最佳目標(biāo)檢測的任務(wù)是設(shè)計發(fā)射信號x(t)和匹配濾波器B(f)，最大化信號y(t)和目標(biāo)g(t)之間的互信息Imax(y(t)；g(t)|x(t))。Bell證明了最佳波形設(shè)計對應(yīng)于信道容量的最優(yōu)功率注水解[21]，即

圖1 Bell的雷達(dá)目標(biāo)信道模型Fig.1 Bell′s target channel model of radar

式（3）正好與通信系統(tǒng)的最優(yōu)功率分配問題相吻合。

在Bell的系統(tǒng)模型中，目標(biāo)的距離信息隱含于沖激響應(yīng)g(t)中。由于實際環(huán)境中目標(biāo)位置是不斷變化的，因此，必須采用自適應(yīng)的波形設(shè)計方法。由于Bell的工作是針對目標(biāo)檢測問題提出來的，其模型并不區(qū)分不同的目標(biāo)，因此，從本質(zhì)上說，Bell的工作只研究了空間信息中的散射信息問題，而沒有涉及雷達(dá)探測系統(tǒng)中更重要的距離信息問題。

Bell的研究工作被進(jìn)一步推廣到不同雷達(dá)系統(tǒng)的波形優(yōu)化設(shè)計中，但相關(guān)研究工作在本質(zhì)上都不考慮距離信息。Leshem等[22-23]首先提出了一種針對單目標(biāo)的頻域波形設(shè)計方法，并進(jìn)一步推廣到多目標(biāo)系統(tǒng)中。類似地，Setlur等[24]利用最大化幅度互信息測度，使得雷達(dá)系統(tǒng)可以從預(yù)先確定的波形集合中進(jìn)行自適應(yīng)選擇。Wang等[25]針對常散射系數(shù)模型，建立認(rèn)知雷達(dá)的幅度互信息表達(dá)式，并用于波形的自適應(yīng)設(shè)計。根據(jù)Neyman-Pearson準(zhǔn)則，相對熵（Kullback-Leibler散度）越大，目標(biāo)檢測器的性能越好。因此，相對熵及相關(guān)的互信息準(zhǔn)則也被應(yīng)用于雷達(dá)系統(tǒng)的波形設(shè)計。針對多基地雷達(dá)的目標(biāo)檢測問題，Kay[26]建立了假設(shè)檢驗的相對熵表達(dá)式，并在能量約束條件下，通過最大化相對熵對多基地雷達(dá)的發(fā)射信號進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。Sowelam等[27]通過最大化Kullback-Leibler散度，研究固定和變化兩種不同的目標(biāo)環(huán)境中雷達(dá)目標(biāo)分類的波形選擇問題。Zhu等[28]在有色噪聲環(huán)境中，研究擴(kuò)展目標(biāo)檢測時的最佳雷達(dá)波形問題，比較了輸出信噪比、Kullback-Leibler散度和互信息3種現(xiàn)有波形設(shè)計度量之間的關(guān)系。針對基于假設(shè)檢驗的擴(kuò)展目標(biāo)識別問題，Xin等[29]利用相對熵準(zhǔn)則研究信號相關(guān)干擾下的波形設(shè)計問題。

目前互信息準(zhǔn)則也廣泛應(yīng)用與多載波和MIMO雷達(dá)等系統(tǒng)中。Sen等[30-31]研究了基于互信息準(zhǔn)則的OFDM雷達(dá)波形設(shè)計問題。通過優(yōu)化當(dāng)前OFDM信號波形，使下一個脈沖狀態(tài)矢量和測量矢量之間的互信息達(dá)到最大。在MIMO雷達(dá)中，Yang和Blum[32-33]研究與雷達(dá)波形設(shè)計相關(guān)的目標(biāo)識別和分類問題。Yang等在傳輸功率約束條件下，以最大化隨機(jī)目標(biāo)沖激響應(yīng)與反射波形之間的條件互信息作為波形設(shè)計準(zhǔn)則，根據(jù)注水原理進(jìn)行功率分配。他們發(fā)現(xiàn)，在相同的功率約束下，最大化互信息的設(shè)計方法同最小化均方誤差所得到的優(yōu)化波形相同。Tang等[34-36]進(jìn)一步研究了MIMO雷達(dá)在有色噪聲中的波形設(shè)計問題。他們分別采用互信息測度和相對熵測度作為最優(yōu)波形設(shè)計準(zhǔn)則。盡管兩種最優(yōu)解導(dǎo)致了不同的功率分配策略，但都要求傳輸波形與目標(biāo)/噪聲特性相匹配。Liu等[6]研究自適應(yīng)OFDM雷達(dá)通信一體化系統(tǒng)波形設(shè)計，以提高頻譜效率，解決了雷達(dá)的條件互信息和通信的信息速率的優(yōu)化問題。Chen等[37]利用互信息準(zhǔn)則研究自適應(yīng)分布式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的波形優(yōu)化問題，可以有效地改善目標(biāo)檢測和特征提取性能。

1.3 信息論在雷達(dá)信號處理相關(guān)領(lǐng)域中的應(yīng)用

Paul等[38]建立了恒定信息雷達(dá)的模型和概念，并提出基于互信息準(zhǔn)則的雷達(dá)目標(biāo)調(diào)度算法。Talantzis等[39]利用互信息測度進(jìn)行聲學(xué)DOA估計，以兩個接收傳感器信號之間的互信息作為統(tǒng)計量提出了一種聲學(xué)傳感器中DOA估計算法。此外，信息論方法還被用于異常信號的檢測[40-42]。

1.4 國內(nèi)在信息論與雷達(dá)領(lǐng)域的研究工作

國內(nèi)學(xué)者的研究工作主要集中在雷達(dá)波形設(shè)計方面。國防科技大學(xué)程永強(qiáng)教授團(tuán)隊[43-46]研究信息幾何理論在雷達(dá)信號檢測和信號處理中的應(yīng)用。采用Kullback-Leibler散度對檢測器及性能進(jìn)行幾何闡述，為雷達(dá)信號檢測問題提供一種更全面的描述方法。針對認(rèn)知雷達(dá)中多個擴(kuò)展目標(biāo)的波形優(yōu)化設(shè)計問題，上海交通大學(xué)劉興釗教授等[47]基于最大化接收回波的檢測概率策略，通過引入附加權(quán)重向量提高了目標(biāo)檢測和估計的精度，結(jié)果表明與線性調(diào)頻信號相比，基于最大檢測概率和最大互信息準(zhǔn)則，可以使雷達(dá)回波包含更豐富的多目標(biāo)信息，從而提高雷達(dá)檢測性能。哈爾濱工程大學(xué)齊琳等[48]提出基于信息熵和集成學(xué)習(xí)的調(diào)制信號識別方法，通過特征選擇算法獲得最優(yōu)特征子集和最佳分類器。西安電子科技大學(xué)劉宏偉教授團(tuán)隊[49]針對擴(kuò)展目標(biāo)識別中距離敏感性的波形優(yōu)化問題，在傳統(tǒng)的注水原理基礎(chǔ)上提出了特征互信息方法，通過最大化識別特征與目標(biāo)特性之間的互信息提高目標(biāo)的可分性。針對多個雷達(dá)目標(biāo)的識別問題，國防科技大學(xué)廖東平等[50]研究基于互信息準(zhǔn)則的認(rèn)知雷達(dá)自適應(yīng)波形設(shè)計方法，明顯提高了多目標(biāo)的識別性能。時晨光等[51-52]研究魯棒雷達(dá)波形設(shè)計方法，在目標(biāo)特征的互信息和通信系統(tǒng)的最小容量閾值約束條件下，通過優(yōu)化OFDM雷達(dá)波形，最小化雷達(dá)發(fā)射功率。他們還利用互信息準(zhǔn)則研究雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)中的低截獲概率問題，并給出了波形優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。

1.5 作者研究團(tuán)隊在空間信息理論方面的研究工作

作者首次研究了雷達(dá)探測的距離信息和散射信息問題[53]。針對一般的雷達(dá)目標(biāo)探測系統(tǒng)，建立了探測信息的理論公式，即雷達(dá)探測的距離信息量和散射信息量[54]，目標(biāo)的散射系數(shù)為常數(shù)或服從瑞利分布。在高信噪比條件下，獲得了散射系數(shù)為常數(shù)情況下距離信息的解析表達(dá)式。本文證明，距離信息量與雷達(dá)系統(tǒng)的時間、帶寬和信噪比乘積的對數(shù)成正比，并且，距離信息上界與均方誤差的克拉美羅下界是一致的。

針對陣列傳感器，進(jìn)一步研究信號的波達(dá)方向（Direction of arrival,DOA）信息和散射信息問題[55]，給出了陣列傳感器場景下空間信息的定義，并推導(dǎo)出理論表達(dá)式和DOA信息的漸近上界。研究了非相關(guān)多源場景中，散射信息的信息量。提出了熵誤差概念，用來作為性能指標(biāo)評估傳感器陣列的信息獲取能力。

本文還研究了多載波雷達(dá)探測系統(tǒng)中信息量與最大似然估計的關(guān)系，設(shè)計了一種基于頻域均衡和移相峰值搜索的最大似然估計(Maximum likelihood estimation,MLE)算法[56]。還研究了通用的多載波雷達(dá)目標(biāo)探測系統(tǒng)的信息理論的分析框架，推導(dǎo)了距離信息、散射信息在恒模和高斯散射系數(shù)模型下的表達(dá)式，并給出了距離信息的近似解的閉式表達(dá)式，研究了距離分辨率的新的定義。

本文圍繞空間信息論的基本問題論述了在空間信息論方面的研究工作，致力于建立目標(biāo)空間信息的統(tǒng)一描述方法和空間信息論的理論框架，以期推動空間信息論在雷達(dá)信號處理領(lǐng)域的應(yīng)用。

2 雷達(dá)目標(biāo)探測系統(tǒng)

2.1 雷達(dá)目標(biāo)探測系統(tǒng)模型

雷達(dá)目標(biāo)探測系統(tǒng)模型如圖2所示。

圖2 雷達(dá)探測系統(tǒng)模型Fig.2 System model of radar detection

在圖2中，ψ(t)表示發(fā)送的基帶信號，當(dāng)載波頻率為fc，初始相位為φ0時，發(fā)射信號可以寫為假設(shè)觀測區(qū)間為[-D 2,D 2)，參考點是觀測區(qū)間的中心，v表示信號傳播速度，則時延范圍為[-T 2,T 2)，T=2D v。考慮零均值，實部和虛部方差均為N02的復(fù)高斯加性白噪聲信道，將接收信號下變頻到基帶，并通過帶寬為B 2的理想低通濾波器，可以得到

式中：sl= αlejφl為第 l個目標(biāo)的幅度模型，αl表示第 l個目標(biāo)的散射系數(shù)，φl=-2πfcτl+ φ0為第 l個目標(biāo)的相位，τl=2dlv表示第l個目標(biāo)的時延，dl表示第l個目標(biāo)與接收機(jī)間的距離，w(t)為帶寬B 2的復(fù)高斯噪聲。目標(biāo)探測的目的就是從接收信號中獲得目標(biāo)的幅度、相位和距離信息，這樣就與通信系統(tǒng)中的信道響應(yīng)相類似，可以將雷達(dá)探測系統(tǒng)等效為一個信息傳輸系統(tǒng)，如圖3所示。這里ψ(t)表示通信系統(tǒng)的基帶信號，w(t)表示信道產(chǎn)生的復(fù)高斯噪聲。雷達(dá)探測系統(tǒng)中目標(biāo)散射模型s帶來的散射信息等效于通信系統(tǒng)中調(diào)制基帶信號的幅度和相位，而目標(biāo)的距離信息則等效于通信系統(tǒng)中調(diào)制基帶信號ψ(t)的時延τ。

圖3 雷達(dá)探測系統(tǒng)等效通信系統(tǒng)模型Fig.3 The equivalent communication system model of radar detection system

為便于理論分析，假設(shè)雷達(dá)發(fā)射信號為理想低通信號ψ(t)=sinc(Bt),-T/2≤t≤T/2，其中，T表示觀測時間。假設(shè)1/B?T，即，信號能量幾乎全部位于觀測區(qū)間內(nèi)。本文的分析結(jié)果也適用于線性調(diào)頻信號和多載波信號。ψ(t)的帶寬為B 2，本文以奈奎斯特采樣率B對信號z(t)進(jìn)行采樣，采樣序列為

式中：N=TB稱為時間帶寬積(Time bandwidth product,TBP)。圖4(a)表示目標(biāo)在距離維上的探測范圍，其位于探測范圍的中點；圖4(b)表示在時間維上目標(biāo)的回波信號；圖4(c)表示將帶寬歸一化后，目標(biāo)的探測范圍和離散回波信號。

圖4 3種觀測區(qū)間與信號波形Fig.4 Three observation intervals and signal waveforms

接收信號z(t)能夠完全由N點離散序列z(n)重建，且w(n)的采樣值之間相互獨立。令xl=Bτl表示第l個目標(biāo)的歸一化時延，式(5)可簡化為

為了更好地表達(dá)和分析信號之間的關(guān)系，用X=[x1,x2,…,xL]T表示歸一化時延矢量，則可寫為矩陣形式

式(7)系統(tǒng)地描述了接收信號與目標(biāo)的位置參數(shù)及散射信號之間的關(guān)系，在本文后面的分析中占有重要的位置。

2.2 空間信息的定義

雷達(dá)信號處理的目的是采用特定的方法或算法，從接收矢量Z中估計位置參數(shù)X和散射參數(shù)S。而空間信息論研究從接收矢量Z中獲得的目標(biāo)位置信息和散射信息，與具體的估計方法及算法無關(guān)。

設(shè)噪聲是均值為0，方差為N0的復(fù)高斯白噪聲，且各分量獨立同分布，N維噪聲矢量W的概率密度為

再由式(7)，給定目標(biāo)距離x和散射信號s條件下，接收序列z的多維概率密度p(z|x,s)為

空間信息定義接收序列與目標(biāo)距離X和散射S的聯(lián)合互信息I(Z；X,S)，又稱距離-散射信息，即

式中：E[·]為數(shù)學(xué)期望，并且有

由于目標(biāo)距離x和散射特性s相互獨立，故有p(x,s)=p(x)p(s)。

根據(jù)互信息的可加性原理

式中：I(Z；X)表示目標(biāo)的距離信息，I(Z；S|X)表示距離已知條件下目標(biāo)的散射信息。式（12）表明，研究空間信息可分為兩個步驟，首先確定目標(biāo)的距離信息I(Z；X)，然后在已知目標(biāo)位置條件下確定目標(biāo)的散射信息I(Z；S|X)。

一方面，Woodward和Davies只研究了雷達(dá)探測系統(tǒng)中單個目標(biāo)的距離信息問題，即式(12)中的I(Z；X)，而沒有涉及散射信息的問題，并且其方法無法直接推廣到多目標(biāo)場景。另一方面，Bell的研究工作以散射信息I(Z；S|X)最大化為目標(biāo)進(jìn)行雷達(dá)系統(tǒng)的波形設(shè)計，以提高目標(biāo)檢測的性能。Bell的研究工作把雷達(dá)探測系統(tǒng)等效為一個多徑信道（并不需要知道目標(biāo)的位置），這樣I(Z；S|X)最大化等效于通信系統(tǒng)中在發(fā)送端進(jìn)行功率分配（波形設(shè)計），使信道容量最大化。由于實際中探測目標(biāo)位置的變化，雷達(dá)波形設(shè)計是自適應(yīng)的，正如，通信系統(tǒng)需要不斷進(jìn)行信道估計和反饋，進(jìn)行自適應(yīng)功率分配一樣。與通信系統(tǒng)的不同之處在于，雷達(dá)可以直接從目標(biāo)反射信號中估計信道狀態(tài)信息，而不需要反饋信道提供信道狀態(tài)信息。以上分析表明，Bell的工作并沒有涉及雷達(dá)探測的距離信息問題。

(1)目標(biāo)散射模型

在此類問題中，對于目標(biāo)散射統(tǒng)計模型，主要考慮和研究Swerling 0和Swerling 1兩種模型。

（a）Swerling 0模型

非起伏，回波信號的功率恒定，雷達(dá)和目標(biāo)都處于完全靜止的狀態(tài)，目標(biāo)模型建模為恒模散射系數(shù)模型，目標(biāo)的相位φ，建模為區(qū)間[0,2π]上均勻分布的隨機(jī)變量，概率密度可以表示為

通常雷達(dá)系統(tǒng)的工作頻率非常高，微小的時延將導(dǎo)致相位的巨大變化。因此，視φ為[0,2π]上均勻分布隨機(jī)變量是合理的。

（b）Swerling1模型

具有許多隨機(jī)分布的散射體，且沒有占主導(dǎo)作用的強(qiáng)散射體。散射系數(shù)幅度服從瑞利分布，概率密度可以表示為

相位服從均勻分布，在這種情況下，S可被建模為復(fù)高斯矢量。

假設(shè)目標(biāo)間的散射是不相關(guān)的，目標(biāo)相位矢量Φ=[φ1,φ2,…,φL]T的先驗概率分布可建模為

式中：p(φl)=12π，l=1,2,…,L。

(2)目標(biāo)位置的先驗統(tǒng)計模型

對于目標(biāo)位置距離的統(tǒng)計模型，假設(shè)目標(biāo)在觀測區(qū)間上相互獨立，并服從均勻分布，則距離參數(shù)x的先驗概率分布為

3 單目標(biāo)探測系統(tǒng)的空間信息量

針對單目標(biāo)探測系統(tǒng)，可得在給定α，x和φ的條件下，z的多維概率密度函數(shù)為

在該模型中，以上的概率密度函數(shù)定義了一個多參數(shù)調(diào)制的通信信道，這樣，雷達(dá)探測的空間信息就等效于該多參數(shù)調(diào)制通信系統(tǒng)傳輸?shù)男畔⒘俊?/p>

3.1 距離信息量的理論公式

目標(biāo)的距離信息I(Z；X)的理論表達(dá)式可表示為

式中：h(X)為目標(biāo)距離的先驗信息，h(X|Z)為目標(biāo)距離的后驗信息。那么單目標(biāo)探測下的距離信息量I(Z；X)為

(1)恒模散射目標(biāo)

假設(shè)目標(biāo)的歸一化時延為x，目標(biāo)的散射系數(shù)的模α為常數(shù)；如果噪聲為復(fù)高斯分布，那么在給定x,φ的條件下，接收矢量Z的多維概率密度函數(shù)為

由貝葉斯公式，已知接收信號Z條件下目標(biāo)位置X的后驗概率密度為[53]

式（21）也稱為似然函數(shù)，其中I0(·)表示第1類零階修正貝塞爾函數(shù)，代入式(19)即可求出恒模散射目標(biāo)的距離信息量。

在高SNR條件下可以證明位置x的后驗概率密度近似為高斯分布，即

式中：σ2=(ρ2β2)-1表示目標(biāo)估計的均方誤差，信噪比ρ2定義為發(fā)射信號能量歸一化時，回波信號的能量εs和復(fù)高斯噪聲實部功率的比值ρ2=εs/(N0/2)，從而得到恒模散射目標(biāo)距離信息I(Z；X)的上界為

以時間帶寬積為參數(shù)，距離信息與信噪比的關(guān)系如圖5所示。可以看出，距離信息與時間帶寬積N=TB的對數(shù)成線性關(guān)系，并隨著信噪比的增大而增大。圖5中的虛直線是距離信息的上界。

可以從空間信息論角度來解釋雷達(dá)目標(biāo)探測過程。如圖5所示，當(dāng)SNR較小時，由于噪聲的影響，距離信息很小，無法發(fā)現(xiàn)目標(biāo)。當(dāng)SNR超過0dB之后，距離信息隨著SNR以較大的斜率增加，距離信息描述雷達(dá)探測的兩個重要的階段，即目標(biāo)捕獲階段和目標(biāo)跟蹤階段。在目標(biāo)捕獲階段，距離信息每增加1bit，意味著目標(biāo)的觀測區(qū)間縮小為原來的一半。當(dāng)距離信息等于log2TB時，觀測區(qū)間達(dá)到1TB，即達(dá)到了雷達(dá)系統(tǒng)的距離分辨率1B；在目標(biāo)跟蹤階段，通過相干累積可以大幅提高信噪比，這時，距離信息與時間帶寬積的對數(shù)呈線性變化，且隨著信息量的增加，觀測精度越來越高，從而突破帶寬分辨率1B的限制。

(2)復(fù)高斯散射目標(biāo)

針對高斯散射目標(biāo)，給定接收矢量Z條件下目標(biāo)位置X的后驗概率密度為

圖5 不同時間帶寬積下恒模散射模型的距離互信息與SNR的關(guān)系Fig.5 Relationship between range information and SNR for constant module scattering model at different time bandwidth product configurations

式中：ρ-2=1/ρ2，由于在復(fù)高斯散射場景下，散射系數(shù)是隨機(jī)變量，則ρ2定義為目標(biāo)的平均信噪比。然后將p(x|z)代入式(19)即可求出復(fù)高斯散射目標(biāo)的距離信息量。

圖6是恒模散射目標(biāo)和復(fù)高斯散射目標(biāo)的距離信息量對比曲線，時間帶寬積N=32。從圖6可以看出，在高信噪比（20dB以上）條件下，高斯目標(biāo)的距離信息上界低于恒模目標(biāo)，這是因為，即使平均信噪比很高，復(fù)高斯目標(biāo)也存在大量小信號樣本，從而影響平均距離信息量。

為了獲得復(fù)高斯目標(biāo)距離信息量的上界，將信噪比看作指數(shù)分布的隨機(jī)變量，方差為2ρ2/N0，其上界為

式中γ=0.5772156…為歐拉常數(shù)。

高斯散射目標(biāo)與恒模散射目標(biāo)距離信息量上界的比較如圖7所示，可見，高斯目標(biāo)距離信息量上界比恒模散射目標(biāo)低0.416bit，換句話說，達(dá)到相同信息量時信噪比相差約2.5dB。

圖6 恒模和復(fù)高斯散射模型的距離信息量Fig.6 Range information of constant module and complex Gaussian scattering model

圖7 恒模和復(fù)高斯散射模型的距離信息量上界Fig.7 Upper bound of range information for constant module and complex Gaussian scattering model

3.2 距離信息的閉合表達(dá)式

距離的概率密度由信號的自相關(guān)、信號與噪聲的互相關(guān)兩部分決定。恒模散射目標(biāo)距離信息的閉合表達(dá)式通過歸一化方法進(jìn)行近似計算。p(x|z)的數(shù)值集中在目標(biāo)所在的位置x0附近，因此在計算微分熵時對x積分的區(qū)間可以劃分為信號區(qū)間和噪聲區(qū)間。從而距離信息近似為

式中：Hs和Hw分別為高、低信噪比情況下的后驗熵。高信噪比情況下p(x|w)近似服從方差為σ2=(ρ2β2)-1的高斯分布

低信噪比情況下，可以得到噪聲部分的熵

式中ps為準(zhǔn)確度，表達(dá)式為

值得注意的是，當(dāng)信噪比足夠低，可以認(rèn)為積分區(qū)間內(nèi)只有噪聲，此時不確定性達(dá)到最大。這意味著獲得的距離互信息在這種情況下趨于零。式（29）具有明確的物理意義，距離信息理論公式的數(shù)值結(jié)果和近似解如圖8所示。結(jié)果表明，得到的近似解在整個信噪比區(qū)間和理論結(jié)果吻合較好，明顯優(yōu)于Woodward結(jié)果。

圖8 距離信息的理論解和近似解N=128Fig.8 Theoretical and approximate results of range information with N=128

3.3 目標(biāo)的散射信息

在獲取目標(biāo)位置的條件下確定目標(biāo)的幅度和相位信息I(Z；S|X)，可得

式中：h(S|X)和h(S|Z,X)分別是在位置已知時，目標(biāo)散射的先驗和后驗信息。

(1)恒模散射目標(biāo)

考慮散射信息 I(Z,S|X)就等同于相位信息 I(Z,Φ|X)，通過求解 p(φ|z,x)和 p(φ|w,x)，可以得出目標(biāo)的相位信息為

(2)復(fù)高斯散射目標(biāo)

當(dāng)目標(biāo)為復(fù)高斯散射時，即目標(biāo)的散射系數(shù)服從瑞利分布，且相位服從均勻分布時，目標(biāo)幅度Y可以被認(rèn)為是復(fù)高斯變量。在估計得到了目標(biāo)的位置之后，信號矩陣u(x)為常數(shù)矩陣，并且噪聲矢量W為獨立的高斯分布，由此可知Z也是一個高斯矢量。則在X=x時，散射信息為

另外，對于觀測區(qū)間x∈[-TB 2,TB 2]，考慮其長度遠(yuǎn)大于u(t)的能量區(qū)域，當(dāng)N足夠大時，有UH(x)U(x)≈1，從而可以得到

式（33）意味著I(Z,Y|X=x)與目標(biāo)估計的歸一化時延無關(guān)，也就是說，在復(fù)高斯散射場景中，目標(biāo)的散射信息與距離信息無關(guān)。

散射信息量公式在形式上與Shannon信道容量公式一致。這一結(jié)論并不是偶然的，因為，雷達(dá)目標(biāo)探測系統(tǒng)可以等效于一個時間-幅度-相位聯(lián)合調(diào)制系統(tǒng)，給定位置信息等價于系統(tǒng)處于完全同步狀態(tài)，這時單個高斯信源符號通過加性高斯白噪聲信道的互信息即為香農(nóng)信道容量。以上分析表明，在同步條件下，通信系統(tǒng)傳輸?shù)男畔⒃诒举|(zhì)上就是散射信息，而不存在時間信息。

恒模散射目標(biāo)和復(fù)高斯散射目標(biāo)兩種情形下，對應(yīng)的散射信息仿真曲線如圖9所示，可以看出散射信息與信噪比成正比關(guān)系，隨著信噪比的升高而增加，且復(fù)高斯散射目標(biāo)比恒模散射目標(biāo)獲得的信息量要大。兩者的差值就是恒模散射目標(biāo)下散射信息退化為相位信息所減少的信息量。

圖9 散射信息量與信噪比的關(guān)系曲線Fig.9 Scattering information versus SNR

4 多目標(biāo)探測系統(tǒng)的空間信息

在多目標(biāo)雷達(dá)探測場景中，雷達(dá)天線發(fā)射信號并接收多個目標(biāo)反射的回波信號，從回波信號中獲取目標(biāo)的位置和狀態(tài)信息。

4.1 多目標(biāo)的距離信息

針對更一般的多目標(biāo)場景，其距離信息量的理論公式為

多目標(biāo)距離信息的閉合表達(dá)式尚未發(fā)現(xiàn)，距離信息量通常由仿真或數(shù)值計算得到。

(1)復(fù)高斯散射目標(biāo)

首先討論復(fù)高斯散射目標(biāo)的情況，接收矢量Z也是復(fù)高斯的，其協(xié)方差矩陣R為

復(fù)高斯散射多目標(biāo)的距離信息的后驗概率公式可以表示為

從而由多目標(biāo)的距離信息的理論表達(dá)式可得多目標(biāo)的距離信息。

復(fù)高斯散射情況下，以時間帶寬積TB為參數(shù)，遠(yuǎn)距離兩目標(biāo)的距離信息量如圖10所示。當(dāng)信噪比較小時，噪聲干擾較大，距離信息量很小。隨信噪比增加，距離信息量迅速增加，且TB越大，獲得的信息量越多。

以信噪比為參數(shù)，兩目標(biāo)距離信息量隨距離差的關(guān)系如圖11所示。當(dāng)距離差較小時，目標(biāo)相互干擾較大，獲得的距離信息較小，在兩目標(biāo)重合時達(dá)到最小值。隨距離差增大，獲得的聯(lián)合信息量變大，最后在兩目標(biāo)距離足夠遠(yuǎn)時，目標(biāo)互不干擾，獲得的信息量趨于平穩(wěn)。

圖10 遠(yuǎn)距離兩目標(biāo)的距離信息量（復(fù)高斯散射系數(shù)目標(biāo)）Fig.10 Range information of two targets at a long distance(complex-Gaussian scattering model)

圖11 兩目標(biāo)距離信息與距離差的關(guān)系（復(fù)高斯散射系數(shù)目標(biāo)）Fig.11 Relationship between range information and distance difference for two targets(complex-Gaussian scattering model)

(2)恒模散射目標(biāo)

而對于恒模散射目標(biāo)的情況，概率密度表示為

類似地可由式(34)得到多目標(biāo)的距離信息。

而作為多目標(biāo)的一般情形，研究兩個目標(biāo)的距離信息的理論表達(dá)式?？梢岳肧VD分解轉(zhuǎn)換信號空間，可求得后驗概率密度p(x|z′)，其中z′=Sz。最終可以由多目標(biāo)的距離信息的定義求得兩個目標(biāo)的聯(lián)合距離信息。

4.2 多目標(biāo)的散射信息

在獲取目標(biāo)位置的條件下確定目標(biāo)的幅度和相位信息I(Z；S|X)，由于恒模散射情況較為復(fù)雜，僅介紹復(fù)高斯散射多目標(biāo)的情況。由于Z是一個協(xié)方差矩陣為R的高斯矢量，那么當(dāng)L個目標(biāo)足夠遠(yuǎn)時，雷達(dá)探測系統(tǒng)的散射信息為

式（38）表明，多個復(fù)高斯散射目標(biāo)在距離間隔較大時，散射信息等于各個目標(biāo)散射信息之和，而與距離信息無關(guān)。

可以得到兩目標(biāo)散射信息的閉合表達(dá)式。給定目標(biāo)位置X時，且假設(shè)每個目標(biāo)的具有相同的信噪，雷達(dá)系統(tǒng)等價于2×N的MIMO信道，根據(jù)MIMO信道容量公式

兩目標(biāo)狀態(tài)服從復(fù)高斯分布且互不干擾的情形下，對應(yīng)的散射信息仿真曲線如圖12所示。可以看出散射信息隨著信噪比的增大而增加，且為單目標(biāo)時的兩倍。為分析兩目標(biāo)距離對散射信息的影響，信噪比分別取15，20，25dB，兩目標(biāo)散射信息量隨距離差的變化關(guān)系如圖13所示。當(dāng)距離差較小時，目標(biāo)相互影響，獲得的散射信息較小，在兩目標(biāo)重合時達(dá)到最小值。隨距離差增大，獲得的散射信息量變大，最后在兩目標(biāo)距離足夠遠(yuǎn)時，目標(biāo)互不干擾，獲得的散射信息量趨于平穩(wěn)。

圖12 遠(yuǎn)距離兩目標(biāo)的散射信息量（復(fù)高斯散射系數(shù)目標(biāo)）Fig.12 Scattering information of two targets at a long distance(complex-Gaussian scattering model)

圖13 兩目標(biāo)散射信息與距離差的關(guān)系Fig.13 Relationship between scattering information and distance difference for two targets

5 熵誤差與目標(biāo)探測系統(tǒng)的性能評價

空間信息量與雷達(dá)探測系統(tǒng)存在著本質(zhì)的聯(lián)系。為了從信息論的角度評價探測系統(tǒng)的性能，將后驗分布的熵功率定義為熵誤差(Entropy error,EE)，即

式中：h(X/Z)是已知接收數(shù)據(jù)Z的后驗熵，其不確定性反映了雷達(dá)系統(tǒng)的探測性能。事實上，熵誤差是均方誤差的推廣。在高信噪比條件下，后驗概率分布逼近高斯分布，因此

熵誤差逼近均方誤差。在中低信噪比時，熵誤差則是均方誤差的下界。

熵誤差的平方根稱為熵偏差。熵偏差也是衡量雷達(dá)探測性能的重要指標(biāo)，容易證明互信息I(Z；X)熵偏差之間滿足

式（42）清楚地揭示距離信息量與探測精度的關(guān)系，即，每獲得1bit信息量等價于熵偏差減小一半，或熵誤差減小6dB。

為了更清楚地說明熵誤差和熵偏差在雷達(dá)探測系統(tǒng)性能評價方面的重要意義，對熵誤差和均方誤差作進(jìn)一步比較。

（1） 高斯-均勻混合分布的熵誤差和均方誤差

為比較熵誤差和均方誤差，構(gòu)造一個高斯-均勻混合分布。設(shè)g(x)為高斯分布N(0,σ2)，為觀測區(qū)間T上的均勻分布U(-T/2,T/2)，稱目標(biāo)位置估計的后驗概率分布(Posterior probability density function,PDF)

為高斯-均勻混合分布，如圖14所示，其中，η=T/σ2稱為高斯混合因子。

高斯-均勻混合分布的物理意義如下：假設(shè)目標(biāo)位置估計總體上服從高斯分布，但在有限的觀測區(qū)間上，高斯分布不滿足概率的歸一化條件。為此，引入均勻分布對高斯分布進(jìn)行修正。高斯混合因子越大，表明信噪比越高，目標(biāo)位置估計的精度越高，高斯分布的占比越大，后驗概率分布越接近高斯分布。高斯混合因子越小，表明信噪比越低，均勻分布的占比越大，后驗概率分布越接近均勻分布。

熵誤差、均方誤差與η的關(guān)系如圖15所示。注意到，高斯因子η越小，方差σ2越大，對應(yīng)于低信噪比情況，此時歸一化概率密度越趨近與均勻分布。而當(dāng)η越大，方差σ2越小，對應(yīng)于高信噪比情況，此時歸一化概率密度越趨近與一個高斯分布。在高信噪比情況下，熵誤差和均方誤差趨于一致。

圖14 高斯-均勻混合分布?xì)w一化概率密度函數(shù)Fig.14 Normalized probability density function of Gaussian-Uniform distribution

（2） 空心分布的熵誤差和均方誤差

假設(shè)目標(biāo)位置的估計服從一空心分布，即目標(biāo)僅在兩端Δ/2范圍內(nèi)等概率出現(xiàn)，如圖16所示。那么，概率密度可以表示為

而均方誤差等于

圖15 熵誤差、均方誤差與高斯混合因子的關(guān)系Fig.15 Entropy error,mean square error versus Gaussian Mixture factor

圖16 空心分布模型圖Fig.16 Diagram of hollow distribution model

空心分布的均方誤差和熵誤差如圖17所示。Δ越小，獲得的關(guān)于目標(biāo)位置的信息應(yīng)該越多，而從圖17中看出，在Δ比較小的情況下，MSE卻變得越大，已完全不能反映目標(biāo)位置估計的性能。而熵誤差則隨著Δ變小而變小，這與直觀上的理解一致。

雖然空心分布在參數(shù)估計領(lǐng)域并不常見，但常見于許多學(xué)習(xí)和認(rèn)知場合。

以上分析表明，熵誤差是比均方誤差更好的性能度量指標(biāo)，因為均方誤差是二階統(tǒng)計量，更適合誤差分布接近高斯分布的遠(yuǎn)景，而在中低信噪比條件下，均方誤差逐漸失效。

（3） 克拉美羅界和熵誤差的關(guān)系

克拉美羅界（Cramér-Rao bound，CRB）是衡量參量無偏估計的一個重要指標(biāo)，是指通過估計隨機(jī)參量所能達(dá)到估計值的最小均方誤差。根據(jù)上述模型，可以得到恒模和復(fù)高斯散射目標(biāo)模型的歸一化時延x0的無偏估計x的CRB為

圖17 空心分布中均方誤差和熵誤差之間的關(guān)系Fig.17 Relationship between mean square error and entropy error in hollow distribution

并且，由恒模散射目標(biāo)距離信息上界式(21)，可計算對應(yīng)的熵誤差下界

同理，由復(fù)高斯散射目標(biāo)距離信息上界式可計算對應(yīng)的熵誤差下界

以恒模散射模型為例，距離信息的熵誤差、均方誤差和CRB如圖18所示，在低信噪比情況下，熵誤差的性能優(yōu)于均方誤差。在高信噪比區(qū)域，熵誤差與均方誤差估計的誤差一致，接近克拉美羅界。

6 空間信息與雷達(dá)目標(biāo)分辨率

雷達(dá)分辨率是雷達(dá)探測系統(tǒng)的重要指標(biāo)，目前的結(jié)論是雷達(dá)分辨率等于1/B，系統(tǒng)帶寬越大，分辨率越高。一個重要的基本問題是，空間分辨率與雷達(dá)分辨率有什么關(guān)系，能否從空間信息角度定義分辨率。

圖18 常數(shù)模型距離信息的EE、MSE和CRBFig.18 Entropy Error,Mean Square Error and CRB of range information for constant module model

針對兩個高斯散射目標(biāo)，由散射信息表達(dá)式(39)，其散射信息由兩部分組成，分別對應(yīng)于信號空間的兩個奇異值。將第1項較大的信號稱為同相信號分量，第2項稱為正交信號分量，而正交分量的散射信息 l反映了兩個近距離目標(biāo)的可分辨程度。若目標(biāo)之間的距離越遠(yuǎn)，獲得的信息量越大，越容易分辨；反之，獲得的信息量越小，越難以區(qū)分。

式中：ρ表示平均信噪比的平方根，假設(shè)每個目標(biāo)具有相同的信噪比ρ21=ρ22=ρ2。式（50）定義的分辨率不僅與系統(tǒng)帶寬有關(guān)，而且與信噪比有關(guān)。信噪比越大，可分辨目標(biāo)間隔越小，分辨能力越高。

從空間信息角度定義的分辨率與傳統(tǒng)的1/B分辨率不同，可隨信噪比的增加達(dá)到任意小。由于式（50）定義的分辨率在形式上與克拉美羅界類似，故本文稱之為CR分辨率。那么，CR分辨率與1/B分辨率是否矛盾呢？本文認(rèn)為CR分辨率與1/B分辨率并不矛盾，其原因是，在兩目標(biāo)時，分辨率問題本質(zhì)上是兩維匹配濾波問題，而傳統(tǒng)的分辨率是將兩維匹配濾波問題簡化為一維匹配濾波問題。

采用兩維最大似然算法來仿真兩目標(biāo)分辨率問題，兩維最大似然算法區(qū)別于一維最大似然，將目標(biāo)1的距離搜索和目標(biāo)2的距離搜索放在兩個維度，進(jìn)行兩維峰值搜索，從而得到概率分布，能夠更加清晰地分辨出兩個目標(biāo)。

圖19是針對不同距離差的兩個臨近目標(biāo)，利用理論后驗概率分布p(x|z)和最大似然算法，在不同信噪比下分辨目標(biāo)的仿真圖。可以看出，此方法能區(qū)分1B內(nèi)的兩個目標(biāo)，但是隨著目標(biāo)間距離越加接近，越難分辨出兩個目標(biāo)。不過在同等情況下，改善信噪比能繼續(xù)分辨出目標(biāo)。理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明，從信息論角度定義的CR分辨率，更具一般性和合理性。

7 傳感器陣列的空間信息

傳感器陣列是一組以某種幾何圖案部署的傳感器，通常用于收集和處理電磁或聲學(xué)信號。傳感器陣列優(yōu)點在于為觀測提供方向性維度，有助于估計更多參數(shù)并提高估計性能。傳感器陣列信號處理的核心是融合在幾個傳感器處收集數(shù)據(jù)的能力，以便提取信號特征并解釋信號中包含的信息。

圖19 不同信噪比分辨臨近目標(biāo)Fig.19 Distinguish adjacent targets under different SNR

7.1 傳感器陣列的系統(tǒng)模型

傳感器陣列系統(tǒng)模型如圖20所示，由M個接收陣元按間距d均勻排列構(gòu)成。

同時設(shè)有K個具有相同中心頻率ω0的遠(yuǎn)場信源分別以來向角θ1,θ2,…,θk入射到該陣列，則第m個陣元的接收信號表示為

圖20 均勻線陣模型Fig.20 Model of uniform linear array

式中：si(t)表示投射到陣列的第i個源信號；wm(t)為第m個陣元的復(fù)加性高斯白噪聲；τm(θi)為來自θi方向的源信號投射到第m個陣元時，相對于選定參考點的時延。電波從點輻射源以球面波向外傳播，只要離輻射源足夠遠(yuǎn)，在接收的局部區(qū)域，球面波就可以近似為平面波。雷達(dá)和通信信號的傳播一般都滿足這一遠(yuǎn)場條件。

如用矩陣描述，并忽略這里時間t對S的影響，陣列信號模型可表示為

7.2 傳感器陣列的空間信息

傳感器陣列的系統(tǒng)模型與雷達(dá)探測系統(tǒng)模型具有高度的相似性，源的波達(dá)方向?qū)?yīng)于目標(biāo)的距離，方向矩陣對應(yīng)于波形矩陣?？梢灶愃频囟x傳感器陣列的空間信息為方向-散射聯(lián)合信息I(Z；Θ,S)，并且

因篇幅所限，關(guān)于傳感器陣列的空間信息的分析參見文獻(xiàn)[55]。

8 結(jié)束語

空間信息的本質(zhì)源于目標(biāo)的不確定性。本文從香農(nóng)信息論的觀點出發(fā)，給出空間信息的定義，并推導(dǎo)出空間信息量理論公式?？梢杂帽忍貫閱挝欢攘坷走_(dá)等目標(biāo)探測系統(tǒng)獲得的信息量，這樣，信息獲取系統(tǒng)和信息傳輸系統(tǒng)可以統(tǒng)一在香農(nóng)信息論的基礎(chǔ)上。

在單目標(biāo)情況下，得到距離信息和散射信息的閉合表達(dá)式。多目標(biāo)的空間信息問題非常復(fù)雜，只有在一些特殊條件下才能得到閉合表達(dá)式，一般情況的空間信息量只能通過數(shù)值計算或計算機(jī)仿真?？臻g信息量不依賴于具體的參數(shù)估計方法，可以作為理論極限，為實際參數(shù)估計算法提供比較的依據(jù)。例如，在高信噪比場景，克拉美羅界提供參數(shù)估計誤差的理論下界，但中低信噪比條件下，各種參數(shù)估計的最佳性能尚不可知。而距離信息量，也就是熵誤差則可以為各種信噪比場景提供估計誤差的理論下界。

本文定義的熵誤差比均方誤差具有更廣泛的適用性。熵誤差在高信噪比時退化為均方誤差，在中低信噪比時熵誤差優(yōu)于均方誤差。雷達(dá)探測系統(tǒng)獲得1比特信息量意味著熵偏差減小一半，或探測精度提高一倍?？臻g信息論定義的熵誤差/熵偏差為評價信息獲取系統(tǒng)性能提供了一個嶄新的視角。

本文提出的CR分辨率不同于傳統(tǒng)的1/B分辨率，可以隨信噪比的增加而達(dá)到任意的程度。作者采用兩維匹配濾波方法驗證超過1/B分辨率的可能性，這一結(jié)論為超分辨參數(shù)估計和雷達(dá)成像技術(shù)提供了新的理論依據(jù)。

目前，空間信息論仍然存在許多重要的理論問題亟待解決，例如：

（1）本文的研究工作針對單天線雷達(dá)探測系統(tǒng)的距離-散射信息和傳感器陣列的方向-散射信息，怎樣推廣到復(fù)雜的陣列探測雷達(dá)系統(tǒng)、光學(xué)成像系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)成像系統(tǒng)、甚至更復(fù)生物視覺信息獲取系統(tǒng)都是非常有意義的。

（2）對于空間信息的主要研究工作針對單目標(biāo)和特殊的多目標(biāo)場景，一般的多目標(biāo)空間信息問題極其復(fù)雜，需要進(jìn)一步研究。

（3）熵誤差和CR分辨率指出理論極限，但這些理論極限的可達(dá)性問題尚未解決。該問題類似于香農(nóng)的編碼定理問題，亟待進(jìn)一步研究。

以上研究工作表明，空間信息論在雷達(dá)等目標(biāo)探測領(lǐng)域具有重要的理論意義和應(yīng)用價值?？臻g信息論作為一個新興的基礎(chǔ)理論課題，目前正處于不斷發(fā)展和完善的階段。作者相信，隨著空間信息論研究的不斷深入，將突顯對雷達(dá)信號處理技術(shù)的推動作用。