任勇生，馬伯樂，馬靜敏

(山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，青島 266590)

切削是機(jī)械零部件加工制造過程中的一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。近年來，雖然先進(jìn)制造技術(shù)已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展，并且在航空航天和汽車等高技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用不斷增加，但是，切削過程中的顫振問題依然是嚴(yán)重影響機(jī)床切削效率的主要原因。

顫振是由于刀具與工件構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定引起的。顫振包括再生型和模態(tài)耦合型等。其中，再生型顫振是危害性最大的一種動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定現(xiàn)象。顫振的發(fā)生會(huì)導(dǎo)致切削用量和加工質(zhì)量降低，甚至?xí)?dǎo)致刀具損壞。因此，建立合理的顫振分析模型，準(zhǔn)確揭示顫振發(fā)生的機(jī)理，對于實(shí)現(xiàn)有效的顫振控制，具有重要的意義。

現(xiàn)有的切削顫振建模與分析主要是在線性理論的框架內(nèi)進(jìn)行的。盡管早在1907年，Taylor[1]就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了顫振現(xiàn)象，并將顫振看做生產(chǎn)率的極限，但對顫振現(xiàn)象的理論解釋卻是隨后五、六十年以后的事。Tobias等[2-5]基于線性理論，先后發(fā)現(xiàn)了顫振穩(wěn)定性邊界，將過程參數(shù)空間(包括切削深度和主軸轉(zhuǎn)速)，劃分為穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域。Tobias在切削力中引入時(shí)滯失穩(wěn)項(xiàng)，提出了再生理論，該理論被認(rèn)為是迄今為止能夠?qū)︻澱瘳F(xiàn)象給出完整解釋的理論。Altintas及其合作者們基于再生效應(yīng)和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析提出了車、銑和鉆加工過程的顫振預(yù)測理論[6-8]。為了準(zhǔn)確確定經(jīng)典顫振穩(wěn)定性數(shù)學(xué)模型所涉及到的參數(shù)，遲玉倫等[9]提出了基于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)并利用遺傳算法的參數(shù)預(yù)測方法。理論計(jì)算顫振的穩(wěn)定性lobes圖結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果相一致。

由于線性理論不能預(yù)測切削過程的某些重要的現(xiàn)象，因此，近年來有關(guān)切削系統(tǒng)的非線性建模開始引起人們關(guān)注。切削系統(tǒng)非線性的主要來源涉及結(jié)構(gòu)非線性、平方和立方非線性項(xiàng)時(shí)滯切削力以及和冪函數(shù)切削力等等[10-13]。Hanna等首次提出一個(gè)具有平方和立方結(jié)構(gòu)剛度和切削力的時(shí)滯非線性模型。該研究激發(fā)了人們對分析此類問題的全局動(dòng)力學(xué)的極大的興趣。切削系統(tǒng)非線性理論的有效數(shù)學(xué)方法包括：中心流理論、分叉理論、攝動(dòng)分析、相軌線和Poincaré截面等。毛漢穎等[14]針對切削顫振具有非線性特征，常規(guī)信號(hào)處理方法無法全面揭示顫振特征的問題，基于關(guān)聯(lián)維數(shù)、最大Lyapunov 指數(shù)和Kolmogorov 熵，研究測試信號(hào)的混沌特征以及切削過程從平穩(wěn)到顫振的變化規(guī)律。吳石等[15]采用工件振動(dòng)信號(hào)的最大Lyapunov指數(shù)作為閾值，通過實(shí)驗(yàn)判定航空鋁合金7075-T6兩端固定薄板件銑削加工過程的顫振穩(wěn)定性。

Pratt[16]采用多尺度法、諧波平衡法和Floquet理論，研究Hanna和Tobias的模型，結(jié)果表明，由于三次結(jié)構(gòu)非線性的存在，可能產(chǎn)生亞臨界Hopf分叉。Moradi等[17]研究考慮刀具磨損和過程阻尼的切削過程的不同分叉類型的存在性，他們使用二自由度線性模型對刀具進(jìn)行結(jié)構(gòu)建模，切削力則采用多項(xiàng)式非線性模型，采用多尺度法構(gòu)造出主共振近似分析解。Moradi等[18]采用與文獻(xiàn)[17]類似的模型分析銑削過程的受迫振動(dòng)，他們不僅研究主共振同時(shí)也討論了超諧共振以及內(nèi)共振的情形。Moradi等[19]同時(shí)考慮切削力和結(jié)構(gòu)非線性，研究了銑削過程的內(nèi)共振和再生顫振。Jalili等[20]考慮陀螺矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，建立三維非線性刀具結(jié)構(gòu)模型，采用多尺度法研究銑削系統(tǒng)的主、亞和超諧共振。Jung等[21]將刀具簡化為二自由度模型，對具有切削力非線性和再生特性的銑削過程進(jìn)行分叉分析。采用多尺度法和諧波平衡法研究系統(tǒng)的局部顫振特性。

從上面的分析可以看出，切削過程的再生顫振是高度非線性的。盡管人們已經(jīng)考慮包括切削力和刀具結(jié)構(gòu)在內(nèi)多種非線性因素的影響，而且，所提出的復(fù)雜非線性模型能夠?qū)ξ锢憩F(xiàn)象給以較好的解釋和描述，但絕大多數(shù)的研究還僅僅是建立在簡單的二自由度非線性模型基礎(chǔ)上的。缺少切削系統(tǒng)中刀桿模型的建立與分析過程。此外，切削系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼的建模與影響也沒有予以考慮。

本文研究銑削系統(tǒng)的非線性顫振與主共振。將刀桿簡化為具有平面彎曲的懸臂梁。非線性來源于刀桿的不可伸長假定，刀桿的材料假定為黏彈性材料，采用Kelvin-Voigt方程對此進(jìn)行描述?；贖amilton原理導(dǎo)出切削系統(tǒng)的非線性顫振運(yùn)動(dòng)方程。為了得到振動(dòng)方程的封閉解，首先采用Galerkin法對運(yùn)動(dòng)偏微分方程進(jìn)行離散化，得到廣義坐標(biāo)表示的非線性常微分運(yùn)動(dòng)方程。采用多尺度法對切削系統(tǒng)在周期變化切削力作用下的穩(wěn)態(tài)受迫響應(yīng)，進(jìn)行近似求解。通過數(shù)值計(jì)算研究了刀桿的幾何尺寸(包括長度和直徑)、阻尼、切削系數(shù)、切削深度、齒數(shù)和切削力幅值等參數(shù)，對銑削過程非線性lobes圖以及主共振響應(yīng)曲線的影響。

1 數(shù)學(xué)模型與求解

刀桿的動(dòng)能

(1)

式中：m為刀桿質(zhì)量，L為刀桿長度，u和v表示橫截面任意點(diǎn)沿x和y方向的位移，即縱向位移和橫向位移?！啊ぁ北硎緦r(shí)間t求導(dǎo)數(shù)。

假定不考慮剪切應(yīng)變，則橫截面上任意點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?/p>

εx=e-yρ

(2)

式中：y表示橫截面上點(diǎn)的位置坐標(biāo)，ρ表示曲率，e表示沿刀桿中心線的應(yīng)變，表示為

(3)

式中：u表示橫截面沿x方向的位移，“’”表示對x求偏導(dǎo)數(shù)。

刀桿應(yīng)變能的變分為

(4)

式中：σx為應(yīng)力分量。

假定刀桿為黏彈性材料所構(gòu)成，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足Kelvin-Voigt方程如下

(5)

式中：E是彈性模量，C是阻尼系數(shù)。

假定刀桿為不可伸長的，即e=0，由此可得

(6)

于是，曲率ρ可近似為

(7)

利用關(guān)系式(6)解出u并且對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并且將結(jié)果代入方程(1)，得

(8)

根據(jù)動(dòng)能和應(yīng)變能表達(dá)式，利用Hamilton原理，可導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程如下

(9)

式中:上標(biāo)“(4)”表示對x求四階偏導(dǎo)數(shù)。f(x,t)=ΔF(t)δ(x-L)，δ為狄拉克函數(shù)。ΔF(t)表示作用在刀桿端x=L的切削力，表示如下

ΔF(t)=Ktwh(t)=

Ktw[h0-(v(L,t)-v(L,t-τ)]+FcosΩt

(10)

式中：Kt表示切削系數(shù)，w表示切削深度，h(t)表示動(dòng)態(tài)切削厚度，τ表示刀齒轉(zhuǎn)動(dòng)周期，τ=2π/NΩ，N是刀齒數(shù)，Ω為轉(zhuǎn)速。F表示切削力中周期成分的幅值。在切削力表達(dá)式(10)中，一般不考慮靜態(tài)切削厚度h0的影響[18,22]。在后面的分析中，令h0=0。

為了尋求非線性運(yùn)動(dòng)方程(9)的近似解，首先采用Galerkin法進(jìn)行化簡，令

(11)

代入式(9)，由Galerkin法，得

(12)

其中

V=V(t),

Vτ=V(t-τ)

(13)

令

(14)

按照單自由度系統(tǒng)線性振動(dòng)理論，可導(dǎo)出下列關(guān)系式

(15)

式中：ω1和η分別表示刀桿的第一階固有頻率和損耗因子。

方程(12)可以寫成

(16)

研究切削系統(tǒng)的非線性顫振穩(wěn)定性，則需要在式(16)中令周期激勵(lì)項(xiàng)等于0，并對此方程進(jìn)行數(shù)值積分，可得到穩(wěn)定性lobes圖。

多尺度法是非線性振動(dòng)分析的一種有效的方法，它不僅能計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而且能計(jì)算耗散系統(tǒng)的衰減振動(dòng)。但多尺度法不適合于求解強(qiáng)非線性系統(tǒng)，只適合于小參數(shù)弱非線性系統(tǒng)。

為了獲得系統(tǒng)的主共振響應(yīng)近似解，下面我們將采用多尺度法對方程式(16)進(jìn)行攝動(dòng)分析。為此引入小參數(shù)ε，將式(16)寫成

(17)

同時(shí)，引入調(diào)諧因子σ表示固有頻率ω1與轉(zhuǎn)速的接近程度

Ω=ω1+εσ

(18)

按照文獻(xiàn)[18]，通過拉氏變換并利用Pade近似e-sτ≈1-sτ，對方程(17)中的時(shí)滯項(xiàng)V-Vτ進(jìn)行簡化之后，方程(17)化為

(19)

將方程(19)的解按小參數(shù)ε展開

V=V0(T0,T1)+εV1(T0,T1)+…

(20)

式中：T0=t、T1=εt分別為慢變、快變時(shí)間尺度。

利用下列時(shí)間導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)揭?guī)則

(21)

(22)

ε0:

(23)

ε1:

(24)

方程(23)的解為

(25)

將式(25)代入式(23)，消除永年項(xiàng)，得

(26)

令

(27)

式中：a和ψ為T1的函數(shù)，分別表示振幅和相位角。

令σT1-ψ=Γ，則方程(26)可寫成

(28)

分離實(shí)部與虛部，得

(29)

其中

(30)

為了求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，令a′=?！?0，并且消去Γ，得

σ=

(31)

2 數(shù)值結(jié)果與討論

2.1 穩(wěn)定性lobes圖

圖1表示刀桿長度對切削穩(wěn)定性邊界的影響。結(jié)果表明，穩(wěn)定性lobes圖在切削深度-轉(zhuǎn)速參數(shù)平面的位置隨著刀桿長度L的增加而下降，同時(shí)穩(wěn)定性邊界的轉(zhuǎn)速區(qū)間也隨著刀桿長度L的增加而縮小。這說明增加刀桿的長度將對切削穩(wěn)定性將產(chǎn)生不利的影響。

圖1 刀桿長度對穩(wěn)定性lobes曲線的影響

圖2表示刀桿直徑對對切削穩(wěn)定性邊界的影響。結(jié)果表明，切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨著刀桿直徑的減小而隨之降低。這是由于在刀桿長度不變的情況下，刀桿直徑的減小伴隨著刀桿長徑比的增加。說明大長徑比的刀桿的穩(wěn)定性相對較差。

圖2 刀桿直徑對穩(wěn)定性lobes曲線的影響

圖3表示刀桿材料的耗散因子對切削穩(wěn)定性邊界的影響。結(jié)果表明，提高刀桿的阻尼耗散能力對于抑制切削顫振，增強(qiáng)加工過程的穩(wěn)定性具有十分重要的影響效果。

圖3 結(jié)構(gòu)阻尼對穩(wěn)定性lobes曲線的影響

圖4表示切削力系數(shù)對切削穩(wěn)定性邊界的影響。結(jié)果表明，Kt越大，切削過程越不穩(wěn)定，越容易發(fā)生顫振。

圖4 切削力系數(shù)對穩(wěn)定性lobes曲線的影響

圖5表示分布在穩(wěn)定性參數(shù)平面的12個(gè)點(diǎn)的位置，與之對應(yīng)的切削深度與轉(zhuǎn)速值如表1所示。圖6表示這12個(gè)位置點(diǎn)的時(shí)程響應(yīng)曲線v(L,t)。由圖5和6可見，點(diǎn)1、3、5位于lobe曲線的不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，對應(yīng)的時(shí)程的振幅是隨時(shí)間增大的，但是由于非線性剛度的抑制作用，響應(yīng)振幅不會(huì)無限增大，而是被限制在一定的范圍之內(nèi)，這與線性系統(tǒng)理論的結(jié)論是不同的；點(diǎn)7、8、9位于lobe曲線的邊界上，時(shí)程響應(yīng)振幅保持不變，對應(yīng)的切削過程是臨界穩(wěn)定的；點(diǎn)2、4、6、10～12位于穩(wěn)定區(qū)域之內(nèi)，對應(yīng)的時(shí)程響應(yīng)曲線是隨時(shí)間減小的。

圖5 位于穩(wěn)定性lobes曲線所在平面的參數(shù)點(diǎn)位置

Fig.5 The position of parameters points located at the plane of the stability lobes

圖6 與圖5參數(shù)點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)程響應(yīng)曲線

Fig.6 The time history response curves that correspond to the parameters points in Fig.5

2.2 主共振響應(yīng)

為了研究切削系統(tǒng)的非線性受迫響應(yīng)特性，我們從方程式(31)出發(fā)，給定調(diào)諧因子σ，計(jì)算對應(yīng)的受迫響應(yīng)幅值a。畫出a隨σ變化曲線，即主共振響應(yīng)曲線。研究切削系統(tǒng)的參數(shù)對主共振響應(yīng)曲線的影響。

圖7表示L對主共振響應(yīng)特性的影響。結(jié)果表明，主共振響應(yīng)曲線峰值向右偏斜，表現(xiàn)典型的硬彈簧Duffing振子的特性。主共振響應(yīng)出現(xiàn)跳躍性和多值區(qū)域。這主要是切削系統(tǒng)存在三次剛度非線性所決定的。由圖7可見，刀桿越短，振幅越小，非線性響應(yīng)特征也越明顯。結(jié)構(gòu)非線性的存在對振動(dòng)響應(yīng)有限制作用。

表1 圖5中各點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值

圖7 刀桿長度對主共振曲線的影響

圖8 刀桿直徑對主共振曲線的影響

圖9 結(jié)構(gòu)阻尼對主共振曲線的影響

圖10 切削力系數(shù)對主共振曲線的影響

圖11表示切削深度Wc對主共振響應(yīng)曲線的影響。結(jié)果表明，增加切削深度會(huì)導(dǎo)致主共振響應(yīng)幅值的降低。對上述結(jié)果的物理解釋與對圖10的解釋相同。

圖11 切削深度對主共振曲線的影響

圖12 周期激振力幅值對主共振曲線的影響

圖13 刀齒數(shù)對主共振曲線的影響

圖14表示三次非線性慣性項(xiàng)對主共振響應(yīng)的影響(L=460 mm，D=60 mm，η=0.002，Kc=4.678 2 MPa，Wc=2 mm，N=2，F(xiàn)=2 000 mm/s2)。由圖14可以看出，三次非線性慣性項(xiàng)雖然不改變主共振峰值響應(yīng)的大小，但對主共振響應(yīng)曲線的彎曲程度有明顯的限制作用，存在三次非線性慣性項(xiàng)的主共振響應(yīng)曲線的非線性程度與不考慮考三次非線性慣性項(xiàng)的情形相比，似乎相對較低。

圖14 非線性慣性項(xiàng)對主共振曲線的影響

Fig.14 The effect of number of nonlinear inertial term on primary resonance curves

圖15表示阻尼相關(guān)非線性項(xiàng)(表示為位移平方與速度一次方的乘積)對主共振響應(yīng)的影響，計(jì)算參數(shù)與圖14取值相同。由圖15可以看出，阻尼相關(guān)非線性項(xiàng)不改變主共振響應(yīng)曲線的形狀，但存在阻尼相關(guān)非線性項(xiàng)的系統(tǒng)的主共振響應(yīng)峰值相對更大，這和與速度一次方成正比的線性阻尼對主共振響應(yīng)峰值的作用，剛好相反。

圖15 非線性阻尼項(xiàng)對主共振曲線的影響

Fig.15 The effect of number of nonlinear damping term on primary resonance curves

最后，將本文模型得到的穩(wěn)定性lobes圖與文獻(xiàn)[23]進(jìn)行了對比(見圖16)，圓形截面刀桿的計(jì)算參數(shù)均取自文獻(xiàn)[23]：長度為460 mm，直徑D=60 mm，密度為7.85 g/cm-3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，阻尼比為0.05，切削剛度Kc=2 339.1×106N/mm2。結(jié)果表明，如果在本文模型中不考慮幾何非線性的影響，所得到的線性lobes圖與文獻(xiàn)[20]的計(jì)算結(jié)果是一致的。此外，對比結(jié)果也表明，由非線性lobes圖得到的最小切削深度大于線性系統(tǒng)的最小切削深度，導(dǎo)致這個(gè)結(jié)果的原因是考慮結(jié)構(gòu)非線性的刀桿的彎曲剛度較之線性刀桿會(huì)有所增加，于是，非線性切削系統(tǒng)的剛度也會(huì)隨之增加，從而導(dǎo)致非線性切削穩(wěn)定性的提高。

圖16 非線性與線性穩(wěn)定性lobes圖

3 結(jié) 論

研究考慮刀桿結(jié)構(gòu)非線性以及材料阻尼的銑削系統(tǒng)非線性顫振與主共振。將刀桿結(jié)構(gòu)簡化為平面彎曲懸臂梁，并假定刀桿由黏彈性材料構(gòu)成。基于Hamilton原理并結(jié)合含有周期激勵(lì)的再生型切削力模型，建立銑削系統(tǒng)非線性顫振運(yùn)動(dòng)模型。采用Galerkin法對運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行簡化，采用多尺度法導(dǎo)出切削系統(tǒng)的主共振響應(yīng)近似解。通過數(shù)值計(jì)算得到非線性切削系統(tǒng)的lobes圖和主共振曲線。研究了刀桿的幾何尺寸、結(jié)構(gòu)阻尼、切削力系數(shù)、切削深度、齒數(shù)和切削力幅值等參數(shù)對顫振穩(wěn)定性和主共振響應(yīng)特性的影響。結(jié)果表明：

(1) 增加銑刀齒數(shù)、激振力幅值或者減小切削力參數(shù)、切削深度，能夠增加主共振響應(yīng)曲線的峰值；結(jié)構(gòu)阻尼對主共振響應(yīng)有明顯的抑制作用。

(2) 由于切削系統(tǒng)存在三次剛度非線性，主共振響應(yīng)峰值向右偏斜，切削系統(tǒng)的主共振響應(yīng)表現(xiàn)出典型的硬彈簧Duffing振子的特性，出現(xiàn)跳躍性并且存在多值區(qū)域。

(3) 結(jié)構(gòu)阻尼對切削系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性產(chǎn)生顯著的影響，結(jié)構(gòu)阻尼越大，切削穩(wěn)定性越好。

(4) 減小刀桿的長徑比(如減小長度或增加直徑)，或者減小系統(tǒng)切削力參數(shù)，均能夠增加銑削顫振的穩(wěn)定性區(qū)域。

(5) 當(dāng)過程參數(shù)位于不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，由于刀桿非線性剛度的限制，對應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)的振幅不是無限增長的，而是將達(dá)到有限的數(shù)值。這一結(jié)論是采用線性分析理論模型無法得到的。