劉楷安，徐穎強(qiáng)，吳正海，李萬(wàn)鐘

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072)

粗糙表面的接觸行為對(duì)摩擦、磨損、潤(rùn)滑、密封和傳熱等具有重要的影響，已經(jīng)成為摩擦學(xué)中重要的研究課題之一[1]。接觸問(wèn)題的加卸載現(xiàn)象，引起接觸載荷、接觸面積和變形量的非線性變化，并對(duì)接觸表面形貌參數(shù)與接觸力學(xué)性能產(chǎn)生重要的影響。如何解決單個(gè)微凸體力學(xué)行為與真實(shí)接觸表面加卸載接觸特性的內(nèi)在聯(lián)系非常必要。因此，本文針對(duì)粗糙表面加卸載接觸問(wèn)題，研究其接觸特性與形貌參數(shù)演變具有重要的意義。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)粗糙表面的表征方法與接觸分析做了大量的研究。在理論解析模型方面，先后構(gòu)建了GW模型[2]、W-A模型[3]、CEB模型[4]、MB模型[5]等，這些模型均依賴于一定的假設(shè)條件，如微凸體具有相同的曲率半徑、微凸體發(fā)生小變形且相互獨(dú)立、忽略材料的非線性特點(diǎn)等。上述模型的假設(shè)條件與簡(jiǎn)化處理在一定程度上影響了粗糙表面接觸分析的準(zhǔn)確性，因此采用有限元數(shù)值模擬成為一種有效的方法。Kogut等[6-7]采用有限元法對(duì)剛性平面與彈塑性球體接觸進(jìn)行了數(shù)值模型。Kogut和Jackson分別表征了剛性平面與微凸體接觸彈塑性變形機(jī)制，已成為粗擦表面接觸理論分析的基礎(chǔ)而被廣泛使用。Sellgren等[8]建立粗糙表面接觸有限元模型，分析了表面粗糙度、微凸體曲率半徑等參數(shù)對(duì)接觸面積與應(yīng)力分布狀態(tài)的影響。Sellgren建立的分析模型為剛性球體與不同等級(jí)的粗糙表面接觸，與真實(shí)的粗糙表面接觸存在一定的距離，但是其分析方法具有一定的借鑒意義。李輝光等[9]建立有限元模型，研究微元體粗糙表面的接觸特性。肖會(huì)芳等[10]將有限元模型與動(dòng)力學(xué)方程結(jié)合，研究分形粗糙表面的界面接觸振動(dòng)與能量耗散問(wèn)題。Yan等[11]提出了三維分形力學(xué)理論，采用數(shù)值方法建立了平均接觸壓力、接觸面積與平均表面分離距離之間的關(guān)系。Sahoo等[12]根據(jù)W-M分形函生成粗糙表面形貌數(shù)據(jù)，建立分形表面與剛性平面接觸有限模型，分析彈性接觸過(guò)程中分形參數(shù)對(duì)接觸面積、變形量的影響。文獻(xiàn)[9-12]采用有限元法，建立了精確的數(shù)值求解模型，對(duì)接觸剛度、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題以及接觸特性進(jìn)行了研究。Yan和Sahoo結(jié)合分形理論，采用實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬的方法，對(duì)加載過(guò)程的接觸特性進(jìn)行了研究，給出的分形參數(shù)被眾多學(xué)者建模分析引用。

粗糙表面加卸載接觸特性的研究文獻(xiàn)相對(duì)較少，主要集中在理論分析與單個(gè)微凸體的加卸載特性研究。陳建江等[13]基于分形理論建立了粗糙表面接觸加卸載解析模型，獲得加卸載過(guò)程中粗糙表面接觸面積與接觸載荷之間的關(guān)系。Etsion等[14]采用有限元法研究剛性平面與球體彈塑性接觸的加卸載過(guò)程，給出了接觸載荷、接觸面積與變形量的量綱一表達(dá)式。Etsion建立的加卸載過(guò)程微凸體變形機(jī)制成為研究粗糙表面加卸載特性的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[15-16]分析了彈塑性球體和剛性平面黏結(jié)接觸的加卸載接觸特性。Kadin等[17]提出一種粗糙表面彈塑性接觸卸載的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，分析卸載后粗糙表面的殘余形貌并給出粗糙表面高度分布函數(shù)。陳建江和Kadin的模型都是建立在Etsion模型的基礎(chǔ)上，分別研究了分形模型和統(tǒng)計(jì)模型的加卸載特性。Etsion模型中微凸體的最大變形量為臨界變形量的110倍，上述兩個(gè)模型都未考慮微凸體間的相互影響與超出最大變形量的接觸行為。

綜上所述，對(duì)于粗糙表面彈塑性接觸問(wèn)題，研究者大多基于統(tǒng)計(jì)學(xué)或分形理論從單個(gè)微凸體拓展到整個(gè)粗糙表面進(jìn)行研究，采用的方法則是基于Kogut和Etsion提出的微凸體變形機(jī)制，往往存一定的局限性。本文基于分形理論和彈塑性理論，對(duì)分形粗糙表面進(jìn)行數(shù)字化表征并建立精確的有限元模型，探討加卸載過(guò)程中分形參數(shù)對(duì)接觸面積、變形量和表面形貌的影響，并從分形參數(shù)和能量角度揭示上述演變行為的內(nèi)在機(jī)理，對(duì)進(jìn)一步研究粗糙表面接觸力學(xué)性能和界面載荷傳遞效率與增強(qiáng)機(jī)理具有重要的意義。

1 基本理論

兩個(gè)粗糙表面的接觸問(wèn)題，可以用一個(gè)等效的粗糙表面與剛性平面接觸來(lái)替代。如圖1所示，以粗糙表面微凸體平均高度線為基準(zhǔn)，z表示微凸體峰頂?shù)母叨?，d表示剛性平面相對(duì)基準(zhǔn)的距離。

圖1 粗糙表面接觸狀態(tài)示意圖

剛性平面由位置1變化到位置2，粗糙表面微凸體的接觸狀態(tài)與卸載規(guī)則取決參數(shù)z與d的大小，即加卸載過(guò)程中粗糙表面上不同高度的微凸體接觸狀態(tài)不同。區(qū)域Ⅰ微凸體產(chǎn)生彈塑性變形，卸載時(shí)出現(xiàn)彈塑性變形或完全塑性變形；區(qū)域Ⅱ微凸體為完全彈性變形，卸載時(shí)微凸體輪廓恢復(fù)到加載前的初始狀態(tài)；區(qū)域Ⅲ微凸體未發(fā)生接觸，不產(chǎn)生接觸力，若不考慮微凸體之間的相互影響，則該區(qū)域微凸體不影響剛性平面與粗糙表面間的接觸行為。

1.1 單微凸體加卸載模型

粗糙表面接觸的加卸載過(guò)程是一個(gè)高度復(fù)雜的非線性問(wèn)題，以下給出單個(gè)微凸體的加卸載模型。如圖2所示，P為剛性平面載荷，ω和a為微凸體接觸變形量和接觸半寬；ωmax和amax為完全加載時(shí)最大接觸變形量和最大接觸半寬；ωres為完全卸載時(shí)殘余接觸變形量；R為微凸體峰頂原始曲率半徑；Rres為完全卸載殘余輪廓峰頂曲率半徑。

圖2 微凸體加卸載變形示意圖

如圖2所示，隨著剛性平面載荷的增加，微凸體依次經(jīng)歷完全彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形等三種接觸狀態(tài)[18]。當(dāng)微凸體出現(xiàn)初始屈服點(diǎn)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的臨界變形量、接觸載荷及接觸面積分別為：

(1)

(2)

Ac=πRωec

(3)

式中：K為硬度系數(shù)，與材料的泊松比v有關(guān)，且有K=0.454+0.41v；H為較軟材料的硬度；E′為等效彈性模量，且有E′=E/(1-ν2)，E為微凸體材料的彈性模量。

1.1.1 彈性接觸

當(dāng)接觸變形量ω<ωec時(shí)，由Hertz理論[19]，微凸體發(fā)生完全彈性變形，接觸載荷和接觸面積分別為：

(4)

單個(gè)微凸體卸載規(guī)則：發(fā)生完全彈性變形的微凸體卸載后恢復(fù)到初始狀態(tài)，即峰頂曲率半徑和高度與加載前完全一致。

1.1.2 完全塑性接觸

當(dāng)接觸變形量ω>ωpc時(shí)，微凸體發(fā)生完全塑性變形，Kogut等給出ωpc的值為：

ωpc=110ωec

(5)

在此階段，微凸體發(fā)生完全塑性變形，接觸載荷和接觸面積為：

P′=2πRωH,A′=2πRω

(6)

單個(gè)微凸體卸載規(guī)則：不考慮微凸體的相互影響，發(fā)生完全塑性變形的微凸體卸載時(shí)，微凸體輪廓與完全加載時(shí)一致。

1.1.3 彈塑性接觸

當(dāng)接觸變形量ωec≤ω≤ωpc，微凸體發(fā)生彈塑性變形，Etsion等研究表明微凸體接觸狀態(tài)分為兩個(gè)階段：當(dāng)ωec≤ω≤6ωec，微凸體變形屬于第一彈塑性階段；當(dāng)6ωec≤ω≤110ωec，微凸體變形屬于第二彈塑性階段。經(jīng)數(shù)值模擬與曲線擬合，彈塑性接觸的接觸載荷和接觸面積分別為：

(7)

(8)

卸載過(guò)程中的接觸載荷和接觸面積分別為：

(9)

(10)

(11)

微凸體峰頂原始曲率半徑R和完全卸載輪廓峰頂曲率半徑Rres關(guān)系為：

(12)

(13)

(14)

如圖3所示，彈塑性接觸微凸體在加卸載過(guò)程中，量綱一殘余變形量隨最大變形量非線性增加，量綱一殘余輪廓半徑與最大變形量呈線性關(guān)系。

圖3 卸載輪廓參數(shù)與最大變形量關(guān)系

1.2 Prandtl-Reuss(P-R)塑性理論

分形粗糙表面接觸發(fā)生彈塑性變形，有限元模型基于Prandtl-Reuss本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行求解。在P-R塑性理論中，體積應(yīng)變是彈性的，塑性區(qū)域的應(yīng)變?cè)隽靠煞譃閺椥圆糠趾退苄圆糠郑苄缘膽?yīng)變公式為：

Δε=Δεe+Δεp

(15)

式中：Δεe為彈性應(yīng)變?cè)隽?Δεp為塑性應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

彈性部分滿足Hook定律，則彈性應(yīng)變?cè)隽繛?

Δεe=De-1Δσ

(16)

式中：De-1為材料的彈性矩陣;Δσ應(yīng)力增量。

塑性部分滿足關(guān)聯(lián)流動(dòng)規(guī)律，則有：

(17)

式中：Y為加載面;dλ為關(guān)聯(lián)塑性參數(shù)。

對(duì)于Mises屈服材料，應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽康年P(guān)系式為：

Δσ=DepΔε

(18)

式中：Dep為彈塑性矩陣，且有

(19)

式中：I為單位矩陣;σM為Mises屈服強(qiáng)度;Hp為單軸應(yīng)力與塑性應(yīng)變曲線的斜率。

顯然，彈性與塑性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有：

Δσ=DΔε

(20)

式中：D為彈塑性系數(shù)，在彈性區(qū)域D=De，在塑性區(qū)域D=Dep。

由彈塑性力學(xué)可知，彈性應(yīng)變能密度和塑性應(yīng)變能密度分別為：

(21)

(22)

將彈性應(yīng)變能密度和塑性應(yīng)變能密度對(duì)整個(gè)體積積分可以得到彈性應(yīng)變能和塑性應(yīng)變能，其和為總應(yīng)變能，可以表述為：

(23)

式中：W為總應(yīng)變能;We為彈性應(yīng)變能;Wp為塑性應(yīng)變能;V為體積。

2 粗糙表面數(shù)字化表征

基于分形理論，Yan和Komvopoulos提出了修正Weierstrass-Mandelbrot(W-M)函數(shù)用于三維分形表面的描述，其表達(dá)式為：

(24)

式中：z(x,y)為粗糙表面輪廓高度;L為樣本長(zhǎng)度;Ls為截?cái)嚅L(zhǎng)度;D為分形維數(shù)(21)縮放參數(shù)；n為頻率因子，且nmax=int[log(L/Ls)/logγ]；M為分形表面的脊線數(shù)；φm,n為[0 2π]的隨機(jī)相位。

根據(jù)Yan等的實(shí)驗(yàn)研究，分形粗糙表面參數(shù)分別取D=2.5，G=1.36×10-12m，L=9×10-7m,Ls=1.5×10-7m,M=10，γ=1.5，結(jié)合公式(24)，采用Matlab軟件編程生成點(diǎn)云數(shù)據(jù)構(gòu)造三維分型表面，如圖4所示。

3 有限元模型

采用APDL編程處理點(diǎn)云數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)Coons patch曲面擬合與布爾運(yùn)算，生成三維分形粗糙表面實(shí)體，由粗糙表面最高點(diǎn)確定剛性平面Z向位置，建立接觸有限元模型，如圖5所示。定義單元類型為8節(jié)點(diǎn)Solid185單元，該單元具有計(jì)算超彈性、應(yīng)力強(qiáng)化、大變形和大應(yīng)變的能力。選擇雙線性等向強(qiáng)化非線性材料，材料屬性見(jiàn)表1。采用von Mises屈服準(zhǔn)則判斷彈性變形和塑性變形間的轉(zhuǎn)變，通過(guò)Prandtl-Reuss本構(gòu)關(guān)系控制塑性區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。將剛性平面定義為目標(biāo)面，金屬體粗糙面定義為接觸面，使用TARGE170和CONTA174單元建立面-面接觸對(duì)。金屬體下表面添加全約束，剛性平面通過(guò)控制節(jié)點(diǎn)約束且僅具有Z方向自由度。接觸算法采用增廣Lagrange算法，可以有效地控制表面之間的穿透，設(shè)置力的收斂準(zhǔn)則為0.001。通過(guò)控制節(jié)點(diǎn)施加載荷，其數(shù)值隨求解載荷子步按斜坡曲線依次遞增，最大載荷步和最小載荷步為200和10。

圖4 三維分形粗糙表面

表1 粗糙表面材料屬性

圖5 分形表面接觸有限元模型

4 接觸特性分析

4.1 加卸載特性

根據(jù)Yan等的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，選擇分形維數(shù)D的范圍為2.4～2.7，尺度參數(shù)G的范圍為1.36×10-13m～1.36×10-10m。設(shè)置2個(gè)分析條件研究分形參數(shù)對(duì)加卸載接觸特性的影響。條件1：施加載荷F=4×10-4N，尺度參數(shù)為G=1.36×10-12m，分形維數(shù)為變量；條件2：施加載荷F=4×10-4N，分形維數(shù)為D=2.5，尺度參數(shù)為變量。

圖6顯示，加卸載過(guò)程中，接觸面積隨接觸載荷非線性遞增，非線性程度與分形維數(shù)與接觸行為有關(guān)。在相同載荷下，隨著分形維數(shù)的增加，接觸面積依次遞增且存在明顯的差異，例如，分形維數(shù)D=2.7～2.5的最大接觸面積分別是D=2.4的12.25、5.45、2.53倍。在卸載過(guò)程中，接觸面積相比加載過(guò)程存在一定的遲滯現(xiàn)象，即出現(xiàn)相同的接觸面積，卸載時(shí)的載荷比加載時(shí)小，與Kadin等的結(jié)論一致。

圖6 量綱一接觸面積與載荷關(guān)系(G=1.36×10-12 m)

Fig.6 Dimensionless contact area versus dimensionless load for varyingDatG=1.36×10-12m

圖7顯示，變形量在加卸載過(guò)程中隨接觸載荷的增加非線性遞增。隨著分形維數(shù)的增加，變形量則依次遞減，例如，分形維數(shù)D=2.4～2.6的最大變形量分別是D=2.7時(shí)的10.64、4.58、2.10倍。殘余變量是指卸載后剛性平面相對(duì)于加載初始位置的變形量。圖7顯示，分形維數(shù)越大最大變形量越小，殘余變形量越小，如D=2.4～2.6的殘余變形量是D=2.7的13.94、5.43、2.222倍。對(duì)比圖3可知，分形表面殘余變形量與最大變形量間關(guān)系與單個(gè)微凸體的規(guī)律一致。

圖7 量綱一變形量與載荷關(guān)系(G=1.36×10-12 m)

Fig.7 Dimensionless displacement versus dimensionless load for varyingDatG=1.36×10-12m

圖8顯示，不同尺度參數(shù)的粗糙表面，接觸面積隨載荷非線性增加，其非線性程度與尺度參數(shù)有關(guān)。相同載荷下，隨著尺度參數(shù)的增加，接觸面積逐漸減小，例如，分形維數(shù)G=1.36×10-13m～1.36×10-11m的最大接觸面積分別是G=1.36×10-10m的10.42、5.99、2.66倍。由分形理論可知，尺度參數(shù)越小表面則越光滑，更多的表面微凸體進(jìn)入完全塑性階段，則接觸面積與接觸載荷的非線性程度變?nèi)?，與公式(6)反映的規(guī)律一致。

圖8 量綱一接觸面積與載荷關(guān)系(D=2.5)

Fig.8 Dimensionless contact area versus dimensionless load for varyingGatD=2.5

圖9顯示，在加卸載過(guò)程中，變形量隨載荷非線性增加，不同尺度參數(shù)分線性程度差異明顯。隨著尺度參數(shù)的增加，變形量及殘余變形量都逐漸增加，例如，尺度參數(shù)G=1.36×10-10m～1.36×10-12m的最大變形量分別是G=1.36×10-13m的11.57、4.80、2.26倍。尺度參數(shù)G=1.36×10-10m～1.36×10-12m的殘余變形量分別是G=1.36×10-13m的14.08、5.27、2.55倍。

圖9 量綱一變形量與載荷關(guān)系(D=2.5)

Fig.9 Dimensionless displacement versus dimensionless load for varyingGatD=2.5

對(duì)比圖6～圖9，不同分形參數(shù)的粗糙表面卸載過(guò)程中，接觸面積和變形量相對(duì)加載過(guò)程存在一定的遲滯現(xiàn)象，其程度與接觸面積和變形量的最大值正相關(guān)。圖6、圖8顯示，加載過(guò)程接觸面積與載荷近似線性關(guān)系，卸載非線性更為明顯。卸載時(shí)，粗糙表面微凸體的接觸狀態(tài)可認(rèn)為是卸載表面加載完全彈性接觸的逆過(guò)程[14]，即卸載過(guò)程為彈性接觸。圖7、圖9顯示，分形維數(shù)越大，尺度參數(shù)越小，變形量與載荷近似線性關(guān)系，反映的表面接觸剛度越大，接觸表面具有更好的加卸載特性，與Sahoo等的結(jié)論一致。

4.2 表面形貌演變規(guī)律

針對(duì)粗糙表面形貌參數(shù)的隨機(jī)性特點(diǎn)，采用概率密度函數(shù)研究分形表面加卸載過(guò)程形貌參數(shù)演變是一種有效的方法。同時(shí)，分形參數(shù)的多樣性也導(dǎo)致確定分形表面高度分布類型存在一定的難度。在此，采用適于處理未知密度函數(shù)的核密度估計(jì)法(Kernel density estimation)建立不同接觸狀態(tài)表面形貌高度參數(shù)的概率密度函數(shù)。由圖1可知，粗糙表面接觸引起區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ內(nèi)的微凸體高度發(fā)生變化，而區(qū)域Ⅲ的高度不受影響。在概率密度函數(shù)曲線上，接觸區(qū)域微凸體對(duì)應(yīng)的高度區(qū)間及相鄰區(qū)間在加卸載過(guò)程中會(huì)發(fā)生變化，而遠(yuǎn)離接觸區(qū)域的高度區(qū)間則不發(fā)生改變。因此，概率密度函數(shù)蘊(yùn)含著加卸載過(guò)程中表面形貌參數(shù)演變信息。取原始表面法向高度的平均值作為參考值，對(duì)上述原始表面、加載表面、卸載表面的形貌高度參數(shù)進(jìn)行量綱一化。

圖10顯示，分形維數(shù)不同的表面，其高度參數(shù)的概率密度函數(shù)曲線之間存在很大差異。相同載荷下，隨著分形維數(shù)增大，接觸行為對(duì)表面形貌高度的影響區(qū)域增大。分形維數(shù)D=2.4，概率密度函數(shù)曲線只在右側(cè)發(fā)生局部改變。對(duì)應(yīng)初始、加載、卸載接觸狀態(tài)的偏態(tài)值為-0.11，-0.22，-0.18，峰態(tài)值為1.97，1.91，1.92；分形維數(shù)D=2.7，概率密度函數(shù)曲線整體發(fā)生較大變化，偏態(tài)值分別為0.11，-0.64，-0.20，峰態(tài)值為2.11，3.03，2.27。由分形理論可知，分形維數(shù)越大反映粗糙表面形態(tài)越密集，即微凸體的數(shù)量多。分形維數(shù)較小時(shí)，發(fā)生接觸行為的微凸體數(shù)量較少，而其余的微凸體未發(fā)生改變，在概率密度函數(shù)曲線上體現(xiàn)為局部發(fā)生變化，反之亦然。

(a) D=2.4

(b) D=2.5

(c) D=2.6

(d) D=2.7

圖10 不同分形維數(shù)表面高度概率密度函數(shù)(G=1.36×10-12m)

Fig.10 Probability density function of surface height with different fractal dimension (G=1.36×10-12m)

圖11顯示，尺度參數(shù)不同，表面高度的概率密度函曲線存在很大的差異。加卸載過(guò)程中，隨著尺度參數(shù)的增大，概率密度函數(shù)曲線變化程度逐漸減弱。尺度參數(shù)取較小值時(shí)，不同接觸狀態(tài)的概率密度函數(shù)曲線差異更為明顯。例如：尺度參數(shù)G=1.36×10-13m的偏態(tài)值分別為0.11，-0.47，-0.22，峰態(tài)值分別為2.06，1.99，1.92；尺度參數(shù)G=1.36×10-10m的偏態(tài)值分別為0.16，0.06，0.09，峰態(tài)值分別為2.27，2.14，2.17。與分形參數(shù)的影響不同，尺度參數(shù)只是不同程度改變概率密度函數(shù)曲線右側(cè)，即表面高度較大的區(qū)域。由分形理論，尺度參數(shù)為表面的特征長(zhǎng)度參數(shù)，只反映分形表面映幅值的大小，不影響微凸體的空間密度。因此，在尺度參數(shù)變化時(shí)，接觸行為只影響到數(shù)量較少的微凸體。

(a) G=1.36×10-13 m

(b) G=1.36×10-11 m

(c) G=1.36×10-10 m

圖11 不同尺度參數(shù)表面高度概率密度函數(shù)(D=2.5)

Fig.11 Probability density function of surface height with different scale parameters (G=1.36×10-12m)

通過(guò)對(duì)有限元模型結(jié)果的處理，統(tǒng)計(jì)加卸載過(guò)程中粗糙表面形貌數(shù)據(jù)，計(jì)算分形參數(shù)變化時(shí)不同接觸狀態(tài)的表面粗糙度。表2為粗糙表面加卸載過(guò)程中，不同分形維數(shù)和尺度參數(shù)對(duì)表面粗糙度的影響。ΔL表示加載表面相對(duì)初始表面粗糙度變化的絕對(duì)值，ΔU表示卸載表面相對(duì)于加載表面粗糙度變化值。

表2 分形參數(shù)對(duì)粗糙度的影響

由表2可知，隨著分形維數(shù)的增加與尺度參數(shù)的減小，粗糙表面則越光滑。在相同載荷作用下，隨著表面粗糙度的減小，加卸載過(guò)程中粗糙度值的變化量越小。顯然，表面粗糙度的變化，能夠反映了粗糙表面加卸載特性。當(dāng)尺度參數(shù)G=1.36×10-12m，分形維數(shù)G=2.4～2.7時(shí)，卸載與加載狀態(tài)粗糙度相對(duì)變化比值ΔU/ΔL分別是0.40、044、0.47、0.91。當(dāng)分形維數(shù)D=2.5，尺度參數(shù)G=1.36×10-13m～1.36×10-10m時(shí)，卸載與加載狀態(tài)粗糙度相對(duì)變化比值ΔU/ΔL分別是0.49、0.44、0.43、0.34。結(jié)合4.1接觸特性分析，可知ΔU/ΔL比值越大，反映卸載過(guò)程中彈性恢復(fù)能力越強(qiáng)，表面具有更好的加卸載特性。保持尺度參數(shù)不變，分形維數(shù)D大于2.6時(shí)，分形表面加卸載性能快速提升；分形維數(shù)不變，尺度參數(shù)小于G=1.36×10-13m時(shí)，分形表面具有更好的加卸載特性。

4.3 應(yīng)變能變化

加卸載過(guò)程中，伴隨著接觸參數(shù)與表面形貌的改變，金屬體發(fā)生彈塑性變形，其應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)也隨著接觸狀態(tài)的不同而發(fā)生改變。圖12為粗糙表面在加載和卸載狀態(tài)下，分形表面的Von Mises應(yīng)力在Z軸的投影。顯然，其應(yīng)力狀態(tài)與粗糙表面微凸體的高度與接觸狀態(tài)有關(guān)。結(jié)合4.1定義的條件，分析分形參數(shù)改變時(shí)不同接觸狀態(tài)應(yīng)變能的變化規(guī)律。為便于分析，做量綱一化處理：以加載時(shí)最大應(yīng)變能為參考值，將加載應(yīng)變能和卸載應(yīng)變能量綱一化。應(yīng)變能變化是指卸載應(yīng)變能相對(duì)加載應(yīng)變能的變化量，采用對(duì)應(yīng)的加載應(yīng)變能作參考值進(jìn)行量綱一化。

(a) 原始表面

(c) 卸載表面

圖12 接觸表面Von Mises應(yīng)力分布(D=2.5,G=1.36×10-12m)

Fig.12 Von Mises stress distribution on contact surfaces (D=2.5,G=1.36×10-12m)

圖13顯示，加載應(yīng)變能和卸載應(yīng)變能隨分形維數(shù)增加而減小，隨尺度參數(shù)的增加而增加，而應(yīng)變能變化量則與之相反，其變化范圍為0.3～0.55。對(duì)比圖7，圖9可知，相同載荷作下，金屬體的加載應(yīng)變能和卸載應(yīng)變能主要取決于變形量和殘余變形量的值。表面越粗糙，變形量越大，則加載應(yīng)變能、卸載應(yīng)變能和能量耗散越大，反之亦然。顯然，相同載荷下，光滑表面加載應(yīng)變能和卸載應(yīng)變能更小，且能量耗散少，同時(shí)，卸載時(shí)相對(duì)于加載應(yīng)變能的變化量更大，即能量釋放能力更強(qiáng)。

(a) 分形維數(shù)變化

(b) 尺度參數(shù)變化

圖13 應(yīng)變能與分形參數(shù)關(guān)系

Fig.13 The relationship between strain energy and fractal parameters

5 結(jié) 論

(1) 分形粗糙表面與剛性平面接觸，分形表面和尺度參數(shù)對(duì)接觸面積和變形量存在較大的影響。分形維數(shù)卸載過(guò)程中，接觸面積和變形量相比加載過(guò)程存在一定的遲滯現(xiàn)象，其程度與接觸面積和變形量的最大值正相關(guān)。

(2) 隨著分形維數(shù)增大，接觸行為對(duì)表面形貌的影響增強(qiáng)；隨著尺度參數(shù)的增加，接觸行為對(duì)表面形貌的影響減弱；相比分形維數(shù)，尺度參數(shù)僅影響局部表面高度參數(shù)。分形維數(shù)D大于2.6時(shí)，尺度參數(shù)G小于G=1.36×10-13m，分形表面具有更好的加卸載性能。

(3) 從能量角度進(jìn)一步揭示了光滑表面具有更好接觸性能和傳遞效率的機(jī)理。即相同載荷下，表面越光滑，加卸載過(guò)程應(yīng)變能和能量耗散越小，且卸載過(guò)程中應(yīng)變能的相對(duì)變化量大。