胡小華

(江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 210036)

尺規(guī)作圖是初中平面幾何中的重要知識，是中考的熱門題型，學(xué)生需綜合運(yùn)用所學(xué)的知識，多角度思考問題.在初三第一輪復(fù)習(xí)時，我設(shè)計了這樣一個問題“過圓外一點(diǎn)A作⊙O的切線，尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并說明作圖的依據(jù)，比一比誰的畫法多”.

學(xué)生作品展示

圖1

方法一：利用直徑所對的圓周角是直角.

連接AO，以AO為直徑作⊙B，⊙B與⊙O相交于D、E兩點(diǎn)，則AD，AE即為所求作的切線.

理由：⊙B中∵AO是直徑，

∴∠ADO=90°即OD⊥AD.

∵AD經(jīng)過半徑OD的外端,

∴AD與⊙O相切.

圖2

該方法是由切線想到垂直，構(gòu)造直角的常用方法之一是利用直徑所對的圓周角是直角這一定理.再由切線的判定方法：過半徑外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線.切線的作法即轉(zhuǎn)化為主要考慮作半徑的垂線的方法，聯(lián)系初三剛學(xué)過的知識，我們首先想到的是直徑所對的圓周角是直角這一定理，這一方法也就順其自然而產(chǎn)生.

方法二：利用“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)作垂直.

以O(shè)為圓心，BC長為半徑作弧，以A為圓心，AO長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，OD與⊙O相交于點(diǎn)E，連接AE，則AE即為⊙O的切線.另一條切線也可以用同樣的方法作出.

理由：∵AO=AD,

OD=BC=2OE,

∴E為OD的中點(diǎn).

∴AE⊥OD,

∴AE與⊙O相切.

要作切線想到垂直，而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)也是我們常見的構(gòu)造垂直的方法之一.

方法三：利用勾股定理的逆定理構(gòu)造垂直.

分析：先假設(shè)切線畫出來了，則斜邊長為AO長，一條直角邊長為半徑r，根據(jù)勾股定理可以求出另一條直角邊的長.

圖3

作∠DCH=90°，在CH上截取半徑r，交CH于點(diǎn)G，以G為圓心,AO長為半徑作弧，交CD于點(diǎn)F，則CF長即為所求作的切線長.

以A為圓心，CF長為半徑作弧交圓O于點(diǎn)E，連接AE，則AE即為所求作的一條切線.

理由：∵∠C=90°,

∴FC2+CG2=FG2.

又∵AO=FG,CG=OE,FC=AE,

∴AE2+OE2=AO2.

∴AE⊥OE,

∴AE是⊙O的切線.

圖4

該作圖方法是利用勾股定理的逆定理構(gòu)造直角，想法比較獨(dú)特，通過先構(gòu)造直角找到三邊關(guān)系，再利用三邊關(guān)系構(gòu)造直角，從而創(chuàng)造切線.學(xué)生的思維讓人眼前一亮.

方法四：利用相似作垂直證半徑.

延長AO到D，使得OD=OA.以D為圓心，以⊙O直徑長為半徑作弧，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓，交弧于點(diǎn)F，連接AF.過O點(diǎn)作OE⊥AF，交AF于點(diǎn)E，則AE即為所求作的切線.

證明：∵AD為直徑,

∴∠AFD=90°.∵OE⊥AF,∴OE∥DF,

前三種方法均是連半徑，作垂直，第四種方法是作垂直證半徑，剛好復(fù)習(xí)了初中階段的證明切線的兩種方法，也是學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題能力的一種體現(xiàn).

在復(fù)習(xí)期間這樣一個開放性的問題激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和潛能，圍繞數(shù)學(xué)問題展開的思維碰撞，無不是學(xué)生學(xué)習(xí)主動性、能動性和創(chuàng)造性的綜合體現(xiàn).在解決問題的過程中復(fù)習(xí)了初中階段常見的構(gòu)造垂直的幾種重要方法，我不禁感嘆“只要給學(xué)生一個舞臺，他們必將還我一片精彩”！