汪麗娜 成媛媛 臧臣瑞

1) (內(nèi)蒙古工業(yè)大學理學院,呼和浩特 010051)

2) (內(nèi)蒙古自治區(qū)生命數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析理論與神經(jīng)網(wǎng)絡建模重點實驗室,呼和浩特 010051)

3) (中國聯(lián)合網(wǎng)絡通信有限公司內(nèi)蒙古分公司,呼和浩特 010050)

為了有效控制海量數(shù)據(jù)時間序列網(wǎng)絡的規(guī)模并使得網(wǎng)絡更貼近實際,符號化時間序列網(wǎng)絡成為研究熱點.結(jié)合周期性時間序列的seasonal-trend-loess方法和符號化轉(zhuǎn)化方法,本文提出一種新的符號化時間序列建網(wǎng)方法.該方法考慮了單個數(shù)據(jù)值的狀態(tài)又結(jié)合了序列的長遠變化趨勢.以符號模式為節(jié)點；依時間順序推移,以節(jié)點間的鄰接轉(zhuǎn)換關系定義連邊；根據(jù)轉(zhuǎn)換方向和轉(zhuǎn)換頻次確定連邊的方向和權(quán)重,建立有向加權(quán)網(wǎng)絡.分別以航空旅客吞吐量時間序列和因特網(wǎng)流量時間序列為實驗數(shù)據(jù)構(gòu)建的兩個時間序列網(wǎng)絡,有明顯差異的拓撲特征；進一步對移動通信語音時間序列做了實證分析,挖掘時間序列數(shù)據(jù)的本質(zhì)規(guī)律.

1 引 言

將時間序列通過某種對應關系映射為復雜網(wǎng)絡的思想最早由Zhang和Small提出,這一創(chuàng)造性的想法為時間序列的分析方法提供了新的研究方向和視角.2006年,Zhang和Small[1]首次由偽周期時間序列構(gòu)建了復雜網(wǎng)絡.之后,時間序列網(wǎng)絡方法成為熱門的研究方向之一并被應用到許多領域,如：醫(yī)學[2]、金融學[3]、交通運輸[4,5].目前,普遍應用的時間序列建網(wǎng)方法有：基于相空間重構(gòu)法建網(wǎng)[6,7]、基于可視圖方法建網(wǎng)[8,9]、基于遞歸法建網(wǎng)[10]和基于符號模式建網(wǎng)[11-13].

基于相空間重構(gòu)法建網(wǎng)是經(jīng)典的時間序列建網(wǎng)方法之一.Yue和Yang[6]提出基于相空間建網(wǎng)方法分析時間序列.將時間序列劃分、重構(gòu),轉(zhuǎn)化為一系列長度一定的向量；然后以向量為節(jié)點,根據(jù)向量間的Pearson相關系數(shù)確定連邊,構(gòu)建出一個無向無權(quán)網(wǎng)絡.應用該方法分析時間序列時,確定向量的滯后期以及確定相關系數(shù)的閾值比較復雜.為此,一些科學家對相空間重構(gòu)建網(wǎng)方法進行了改進.其中,Gao和Jin[7]引入偽最近鄰方法[14]估計嵌入維數(shù)和延遲時間,使得由時間序列重構(gòu)相空間變得更加精確,從而可以根據(jù)復雜網(wǎng)絡的拓撲特征得出最佳的相關系數(shù)閾值.但是,由于該方法在確定閾值時存在不確定性,導致建立的網(wǎng)絡的魯棒性較差.

可視圖建網(wǎng)方法[8,9]是另外一種經(jīng)典建網(wǎng)方法.該方法將時間序列柱狀圖中的每個時間序列值視為一個網(wǎng)絡節(jié)點,如果柱狀圖中的兩個柱體可以無障礙可視,則柱體對應的兩個節(jié)點之間連邊,從而構(gòu)建出一個無向無權(quán)網(wǎng)絡.網(wǎng)絡的總節(jié)點數(shù)等于時間序列數(shù)據(jù)值的總個數(shù).由于可視圖建網(wǎng)方法的生成過程簡便、網(wǎng)絡魯棒性較好,使得該法應用于醫(yī)學[15]、地質(zhì)學[16]、經(jīng)濟學[17]、天文學[18]等眾多領域.根據(jù)類似的原理,Luque等[19]于2009年提出水平可視時間序列建網(wǎng)方法.周婷婷等[20]提出有限穿越水平可視圖時間序列建網(wǎng)方法,高忠科等[21]運用有限穿越水平可視圖方法分析了兩相流的形成動力學.傳統(tǒng)的可視圖方法是有限穿越水平可視圖方法在可視距為1時的特殊情況.此外,高忠科等[22]還提出了多尺度有限穿越水平可視圖時間序列建網(wǎng)方法,它是水平可視圖和有限穿越水平可視圖的進一步拓展.

遞歸網(wǎng)絡建網(wǎng)方法由Marwan等[10]提出.Subramaniyam和Hyttinen[23]應用遞歸網(wǎng)絡建網(wǎng)方法分析了腦電圖時間序列,研究癲癇病患者的行為動力學.近幾年,基于符號模式建網(wǎng)方法成為新的研究熱點.符號化時間序列建網(wǎng)方法考慮了節(jié)點之間的方向和權(quán)重,構(gòu)建的加權(quán)有向網(wǎng)絡更加貼近實際.Karimi和Darooneh[11]對平穩(wěn)時間序列做符號化轉(zhuǎn)化,將時間序列映射為網(wǎng)絡,發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡度的組合參數(shù)對不同流型之間的過渡非常敏感,可以用來區(qū)分不同的流型.之后,曾明等[12]提出符號化模式表征建網(wǎng)方法,將原始時間序列標準化、符號化處理后,映射為一個有向加權(quán)網(wǎng)絡并分析了網(wǎng)絡的拓撲性質(zhì).符號化模式表征建網(wǎng)方法可以區(qū)分周期時間序列和混沌時間序列.此外,Zhang和Na[13]應用符號化模式表征的建網(wǎng)方法研究了空氣質(zhì)量指數(shù)等問題.

針對一類周期性時間序列,本文提出一種基于STL (seasonal and trend decomposition using loess,STL)方法的符號化有向加權(quán)網(wǎng)絡建網(wǎng)方法.與其他的符號化建網(wǎng)方法相比,本文提出的基于STL方法的時間序列建網(wǎng)方法以數(shù)據(jù)點為基元構(gòu)建網(wǎng)絡,既考慮了單個數(shù)據(jù)的狀態(tài)又融合了時間序列的長遠變化趨勢.首先,依據(jù)STL方法將時間序列轉(zhuǎn)化為三個狀態(tài)項：季節(jié)項、趨勢項和隨機項；然后,使用符號化方法對狀態(tài)值做區(qū)間劃分和符號轉(zhuǎn)化,使得每個數(shù)據(jù)值表示為由狀態(tài)符號構(gòu)成的符號模式；接著,以符號模式為節(jié)點,依時間順序推移,把數(shù)據(jù)間的鄰接轉(zhuǎn)換關系定義為節(jié)點間的連邊；最后以轉(zhuǎn)換方向和轉(zhuǎn)換頻次作為連邊的方向和權(quán)重,建立有向加權(quán)網(wǎng)絡.

2 基本概念

2.1 STL方法

STL方法是一種基于局部加權(quán)回歸的時間序列分析方法[24].運用局部多項式回歸擬合方法,STL方法將時間序列表示為趨勢、季節(jié)和余項三部分.即時間序列Yn= {yi,i = 1,2,…,n }通過STL可以轉(zhuǎn)化為趨勢Tn= {ti,i = 1,2,…,n },季節(jié)Sn= {si,i = 1,2,…,n }和余項Rn= {ri,i =1,2,…,n }；其中n 表示時間序列長度.STL方法由內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)組成；內(nèi)循環(huán)包含去趨勢、周期序列平滑等六步；外循環(huán)的主要作用是引入穩(wěn)健性權(quán)重項,以控制數(shù)據(jù)中異常值產(chǎn)生的影響.STL方法具有快速的計算速度和分析含缺失值時間序列的能力.此外,STL方法對具有趨勢和季節(jié)性成分的數(shù)據(jù)形成可靠估計,使得這些數(shù)據(jù)不會被異常行為所扭曲.

2.2 度與度分布

網(wǎng)絡中,節(jié)點的度k 定義為直接與節(jié)點相連的連邊的數(shù)目.對于一個給定的有向加權(quán)網(wǎng)絡G,假設網(wǎng)絡的權(quán)值鄰接矩陣為W= (wij),則節(jié)點i 的加權(quán)出度和加權(quán)入度分別為

則節(jié)點i 的加權(quán)度為

網(wǎng)絡的加權(quán)出度分布p (s—)定義為加權(quán)出度為s—的節(jié)點被隨機選中的概率.類似地,網(wǎng)絡的加權(quán)入度分布p (s+)定義為加權(quán)入度為s+的節(jié)點被隨機選中的概率.實際應用中,為了降低分布的尾部噪音,常常采用累積分布分析網(wǎng)絡的拓撲特征.累積分布描述了序列中頻數(shù)不小于某個特定值的概率.本文分析了時間序列網(wǎng)絡的累積加權(quán)入度分布,累積加權(quán)出度分布和累積加權(quán)度分布.

在基于STL方法的符號化有向加權(quán)網(wǎng)絡中,節(jié)點的加權(quán)出度越大表示節(jié)點對應的數(shù)據(jù)值在時間序列中出現(xiàn)的頻率越高,這表明該節(jié)點向其他節(jié)點轉(zhuǎn)化的次數(shù)越多.如果節(jié)點的加權(quán)度值很小,則說明該狀態(tài)在時間序列中出現(xiàn)的頻次很少,可能是一些突發(fā)情況導致的時間序列值突然增大或減小.

2.3 聚類系數(shù)與路徑長度

網(wǎng)絡中,節(jié)點的聚集程度可以用節(jié)點的聚類系數(shù)來描述.節(jié)點i 的聚類系數(shù)定義為

其中,ki為節(jié)點i 的度,aij是鄰接矩陣A= (aij)的元素.當且僅當節(jié)點i ,j ,k 構(gòu)成一個三角形時,aijajkaki= 1,否則aijajkaki= 0.網(wǎng)絡中所有節(jié)點的聚類系數(shù)的平均值定義為網(wǎng)絡的聚類系數(shù).社會網(wǎng)絡中,節(jié)點的聚類系數(shù)可以表示“朋友的朋友也是朋友”的傾向性大小.在基于STL方法的符號化有向加權(quán)網(wǎng)絡中,節(jié)點i 的聚類系數(shù)越大,表明符號模式i 的相鄰符號模式之間轉(zhuǎn)換越頻繁.

節(jié)點i 和節(jié)點j 之間的最短路徑長度lij定義為從節(jié)點i 到節(jié)點j 的最短路徑上連邊的數(shù)量.網(wǎng)絡的平均路徑長度L定義為任意兩個節(jié)點的最短路徑長度的平均值,即

2.4 介 數(shù)

以經(jīng)過某個節(jié)點的最短路徑的數(shù)目刻畫節(jié)點重要性的指標被稱為介數(shù)中心性,簡稱介數(shù).網(wǎng)絡中,節(jié)點i 的介數(shù)用bi表示,定義為

其中,nst是從節(jié)點s 到節(jié)點t 的最短路徑的數(shù)目,nist為從節(jié)點s 到節(jié)點t 的nst條最短路徑中經(jīng)過節(jié)點i 的最短路徑的數(shù)目.從信息傳輸?shù)慕嵌瓤?網(wǎng)絡中介數(shù)越高的節(jié)點重要性越大,對網(wǎng)絡的信息傳輸影響越大.

3 基于STL方法的時間序列網(wǎng)絡

針對一類具有周期性特征的時間序列數(shù)據(jù),本文提出基于STL方法的符號化有向加權(quán)網(wǎng)絡建網(wǎng)方法.原始時間序列數(shù)據(jù)經(jīng)過STL分析以及符號化處理之后,不僅保持了數(shù)據(jù)的信息量,而且可以在短期細節(jié)和長期趨勢兩方面體現(xiàn)時間序列數(shù)據(jù)的特點.具體的時間序列網(wǎng)絡建立過程如下.

a) STL分析.依據(jù)STL方法,將時間序列轉(zhuǎn)化為季節(jié)項、趨勢項和余項之和,即Yn= Sn+ Tn+Rn.其中n 是時間序列的長度,Sn= {si,i = 1,2,…,n }是季節(jié)項,Tn= {ti,i = 1,2,…,n }是趨勢項,Rn= {ri,i = 1,2,…,n }是余項.

b)符號化.根據(jù)三個狀態(tài)項對原時間序列的影響程度,選用不同權(quán)重的符號化階數(shù)對狀態(tài)變量序列做層次劃分.得到三組符號化時間序列：

其中g(shù) (si),g (ti),g (ri)表示符號.此時,每個時間序列值表示為符號模式

c)構(gòu)建網(wǎng)絡.以互不相同的符號模式為節(jié)點,以兩個不同符號模式的相鄰關系作為連邊,以兩個互異符號模式相鄰的次數(shù)和符號模式的先后順序作為連邊的權(quán)重和方向,建立一個有向加權(quán)網(wǎng)絡.

為了實現(xiàn)對真實時間序列數(shù)據(jù)的比較分析,在執(zhí)行STL分析與符號化之前,對原始時間序列數(shù)據(jù){xi,i = 1,2,…,n }進行歸一化處理.采用歸一化方法：yi= (xi—xmin)/(xmax—xmin).歸一化之后的時間序列{yi,i = 1,2,…,n }保持了原時間序列的周期性特征和變化趨勢等特點,并且取值范圍在[0,1].

在執(zhí)行數(shù)據(jù)符號化時,如果符號化階數(shù)太小,會導致時間序列信息的流失；如果符號化階數(shù)太大,會使得符號模式過多,不能體現(xiàn)符號化的優(yōu)勢.因此,考慮到準確體現(xiàn)時間序列特點和構(gòu)建網(wǎng)絡的規(guī)模需要適度,經(jīng)過多次試驗才確定了最優(yōu)的符號化階數(shù).季節(jié)項的符號化階數(shù)為m1= 8,趨勢項的符號化階數(shù)為m2= 18,隨機項的符號化階數(shù)為m3= 4.

4 兩種時間序列網(wǎng)絡測試

為了驗證所提出的基于STL方法的時間序列網(wǎng)絡建模方法的有效性和實用性,分別以具有非平穩(wěn)特征的航空旅客吞吐量時間序列和具有平穩(wěn)特征的因特網(wǎng)流量時間序列為例,使用新方法建立有向加權(quán)網(wǎng)絡.分析網(wǎng)絡的度分布、聚類系數(shù)、平均路徑長度等拓撲性質(zhì),從網(wǎng)絡拓撲特征的角度對這兩個實際時間序列做比較分析.

4.1 航空旅客吞吐量時間序列網(wǎng)絡

航空旅客吞吐量數(shù)據(jù)取自澳門國際機場專營股份有限公司(Macau International Airport Co.Ltd.)的官方網(wǎng)站.時間序列跨度從1996年1月到2017年12月.每月記錄一次吞吐量數(shù)據(jù),表示該月內(nèi)航空旅客的人數(shù),共有264條記錄.時間序列整體呈現(xiàn)上升趨勢,其周期為12.此外,ADF檢測結(jié)果顯示,該時間序列數(shù)據(jù)為非平穩(wěn)性時間序列.

航空旅客吞吐量時間序列的STL分析如圖1(a)—(d)所示.季節(jié)項時間序列以周期規(guī)律呈現(xiàn),每個周期有12個值,反映這個周期內(nèi)數(shù)據(jù)波動的細微變化.趨勢項時間序列體現(xiàn)了原時間序列的變化趨勢.整體而言,數(shù)據(jù)呈上升狀態(tài)；但是,其中有兩個時間段下降明顯.隨機項時間序列為季節(jié)項和趨勢項的殘差值,呈現(xiàn)不規(guī)則變化.

圖1(e)是航空旅客吞吐量時間序列網(wǎng)絡.該網(wǎng)絡有107個節(jié)點,178條有向邊.節(jié)點的面積大小與節(jié)點的加權(quán)度有關,加權(quán)度越大,節(jié)點的面積越大；連邊的寬度反映了連邊的權(quán)重,邊權(quán)越大,連邊的寬度越寬.網(wǎng)絡中加權(quán)度最大的節(jié)點是V42和V43,它們的加權(quán)度都是20；網(wǎng)絡中加權(quán)度最小的節(jié)點比較多,加權(quán)度值為1.網(wǎng)絡中邊權(quán)的最大值為7,即圖中連接V42和V43的邊；網(wǎng)絡中邊權(quán)的最小值為1.航空旅客吞吐量時間序列網(wǎng)絡的平均加權(quán)度為4.430,聚類系數(shù)為0.169,平均路徑長度為13.355.

航空旅客吞吐量時間序列網(wǎng)絡具有指數(shù)加權(quán)度分布.s+表示節(jié)點的加權(quán)入度,s-表示節(jié)點的加權(quán)出度,s 表示節(jié)點的加權(quán)度.單對數(shù)坐標系下,航空旅客吞吐量時間序列網(wǎng)絡的累積加權(quán)度分布近似呈直線型,擬合優(yōu)度檢驗顯示三個度分布均服從指數(shù)分布.其中,網(wǎng)絡的累積加權(quán)入度分布服從指數(shù)為0.3990的指數(shù)分布(可決系數(shù)R2= 0.9280),如圖2(a)所示；網(wǎng)絡的累積加權(quán)出度分布服從指數(shù)為0.6151的指數(shù)分布(R2= 0.9960),如圖2(b)所示；網(wǎng)絡的累積加權(quán)度分布服從指數(shù)為0.2555的指數(shù)分布(R2= 0.9670),如圖2(c)所示.

圖1 (a)-(d)航空旅客吞吐量時間序列的STL分析 (a)原始時間序列；(b)季節(jié)項時間序列；(c) 趨勢項時間序列；(d) 隨機項時間序列；(e)航空旅客吞吐量時間序列網(wǎng)絡Fig.1.(a)-(d) The STL analyzing for the air passengers throughput time series：(a) Original time series；(b) seasonal time series；(c) trend time series；(d) remainder time series；(e) the time series network of the air passengers throughput data.

圖2 航空旅客吞吐量時間序列網(wǎng)絡度分布 (a)累積加權(quán)入度分布；(b)累積加權(quán)出度分布；(c)累積加權(quán)度分布Fig.2.The degree distribution of the time series network for air passengers throughput data：(a) The cumulative weighted in-degree distribution；(b) the cumulative weighted out-degree distribution；(c) the cumulative weighted degree distribution.

4.2 因特網(wǎng)流量時間序列網(wǎng)絡

因特網(wǎng)流量數(shù)據(jù)[25]表示英國學術(shù)網(wǎng)絡主干網(wǎng)的聚合流量.數(shù)據(jù)時間截取于2005年1月16日至2005年1月26日.每5 min記錄一次流量數(shù)據(jù),1天有288條記錄,11天共產(chǎn)生3168條記錄.該時間序列是周期為288的周期性時間序列.ADF檢測顯示,因特網(wǎng)流量時間序列為平穩(wěn)時間序列.

圖3(a)—(d)是因特網(wǎng)流量時間序列的STL分析圖.2005年1月16日、22日和23日分別為星期日、星期六和星期日,這三天產(chǎn)生的因特網(wǎng)流量偏小.星期一至星期五的流量時間序列整體趨勢一致且較為穩(wěn)定.季節(jié)項時間序列以周期規(guī)律呈現(xiàn),包含11個周期,每個周期有288個數(shù)據(jù),反映這個周期內(nèi)數(shù)據(jù)波動的細微變化.趨勢項時間序列從星期一至星期五,數(shù)據(jù)伏動較小,呈現(xiàn)平穩(wěn)狀態(tài)；在星期六、星期日,數(shù)據(jù)伏動有明顯的下降.隨機項時間序列呈現(xiàn)不規(guī)則變化.

根據(jù)本文第3節(jié)提出的方法,將因特網(wǎng)流量時間序列映射為一個有向加權(quán)網(wǎng)絡(圖3(e)).該網(wǎng)絡有160個節(jié)點,244條有向邊.節(jié)點V79和V80的加權(quán)度值最大,為54；網(wǎng)絡中存在大量加權(quán)度值較小的節(jié)點.連邊權(quán)重的最大值為22,如圖3(e)所示,恰好是連接節(jié)點V79和節(jié)點V80的連邊的權(quán)重.因特網(wǎng)流量時間序網(wǎng)絡的平均加權(quán)度為5.538,聚類系數(shù)為0.249,平均路徑長度為25.61.

因特網(wǎng)流量時間序列網(wǎng)絡的度分布服從冪律分布.如圖4所示,在雙對數(shù)坐標下,累積加權(quán)度分布近似呈直線型,擬合優(yōu)度檢驗顯示三個累積加權(quán)度分布均服從冪律分布.其中,網(wǎng)絡的累積加權(quán)入度分布服從冪指數(shù)為1.202的冪律分布(可決系數(shù)R2= 0.9960),如圖4(a)所示；網(wǎng)絡的累積加權(quán)出度分布服從冪指數(shù)為1.202的冪律分布(R2=0.9957),如圖4(b)所示；網(wǎng)絡的累積加權(quán)度分布服從冪指數(shù)為1.223的冪律分布(R2= 0.9940),如圖4(c)所示.綜上,三個累積度分布均服從冪指數(shù)小于2的冪律分布.因特網(wǎng)流量時間序列網(wǎng)絡是一個無標度網(wǎng)絡.

圖3 (a)-(d)因特網(wǎng)流量時間序列的STL分析 (a)原始時間序列；(b)季節(jié)項時間序列；(c) 趨勢項時間序列；(d) 隨機項時間序列；(e)因特網(wǎng)流量時間序列網(wǎng)絡Fig.3.(a)-(d) The STL decomposition results of the Internet traffic time series：(a) Original time series；(b) seasonal time series；(c) trend time series；(d) remainder time series；(e) the time series network of the Internet traffic data.

圖4 因特網(wǎng)流量時間序列網(wǎng)絡的度分布 (a)累積加權(quán)入度分布；(b)累積加權(quán)出度分布；(c)累積加權(quán)度分布Fig.4.The degree distribution of the time series network for the Internet traffic data：(a) The cumulative weighted in-degree distribution；(b) the cumulative weighted out-degree distribution；(c) the cumulative weighted degree distribution.

4.3 分析與比較

航空旅客吞吐量時間序列是非平穩(wěn)時間序列,因特網(wǎng)流量時間序列是平穩(wěn)時間序列.采用所提出的STL分析符號化時間序列網(wǎng)絡建模方法,得到網(wǎng)絡的拓撲特征總結(jié)如表1所示.航空旅客吞吐量時間序列的數(shù)據(jù)長度是102數(shù)量級,構(gòu)建的加權(quán)有向時間序列網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)為102數(shù)量級；因特網(wǎng)流量時間序列的數(shù)據(jù)長度是103數(shù)量級,構(gòu)建的加權(quán)有向時間序列網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)為102數(shù)量級.航空旅客吞吐量時間序列具有非平穩(wěn)性.隨著時間的推移,符號模式很大程度上不重復,使得符號化時間序列的符號模式種類較多,從而航空旅客吞吐量時間序列網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)亦較多.因特網(wǎng)流量時間序列的趨勢項整體呈平穩(wěn)狀態(tài),對應的符號化序列不規(guī)則重復.在轉(zhuǎn)換成符號模式的過程中,符號模式的重復率較高,轉(zhuǎn)換頻率較大,從而種類較少,連邊的權(quán)重較大.所以,因特網(wǎng)流量時間序列網(wǎng)絡具有較少的節(jié)點數(shù)和較大的平均加權(quán)度.

表1 兩類時間序列網(wǎng)絡拓撲特征的比較Table 1.The comparison for topological characteristics of two kinds time series networks.

5 基于STL方法的時間序列網(wǎng)絡

5.1 時間序列數(shù)據(jù)

依據(jù)所提出的基于STL方法的時間序列建網(wǎng)方法,將移動通信語音業(yè)務時間序列映射為一個有向加權(quán)網(wǎng)絡.刪除數(shù)據(jù)記錄不完整的周期,并對初始數(shù)據(jù)進行歸一化處理,得到一個數(shù)值范圍在[0,1]的長度為52032的時間序列,如圖5(a)所示,為前10個周期的語音時間序列數(shù)據(jù).通過STL分析,季節(jié)項由長度為24的單周期季節(jié)趨勢循環(huán)推移生成；趨勢項呈現(xiàn)不規(guī)則起伏變化.

5.2 時間序列網(wǎng)絡

由語音時間序列數(shù)據(jù)建立的有向加權(quán)網(wǎng)絡如圖5(e)所示.該網(wǎng)絡有230個節(jié)點,1275條邊.網(wǎng)絡中,節(jié)點加權(quán)度的最大值為7740,連邊權(quán)重的最大值為2555.網(wǎng)絡的平均加權(quán)度為260.626,聚類系數(shù)為0.298,平均路徑長度為5.142.

圖5 (a)-(d)語音時間序列數(shù)據(jù)的STL分析 (a)原始時間序列；(b)季節(jié)項時間序列；(c) 趨勢項時間序列；(d) 隨機項時間序列；(e)基于STL方法的語音時間序列網(wǎng)絡Fig.5.(a)-(d) The STL analyzing for the mobile traffic data：(a) Original time series；(b) seasonal time series；(c) trend time series；(d) remainder time series；(e) based on the STL decomposition,the time series network of the mobile traffic data.

圖6 語音時間序列網(wǎng)絡的度分布 (a)累積加權(quán)入度分布；(b)累積加權(quán)出度分布；(c)累積加權(quán)度分布Fig.6.The degree distribution of the time series network for the mobile traffic data：(a) The cumulative weighted in-degree distribution；(b) the cumulative weighted out-degree distribution；(c) the cumulative weighted degree distribution.

語音時間序列網(wǎng)絡的累積加權(quán)度分布服從冪律分布,度分布如圖6所示.累積加權(quán)度在雙對數(shù)坐標下呈近似線性關系.網(wǎng)絡的累積加權(quán)入度分布(圖6(a))、累積加權(quán)出度分布(圖6(b))和累積加權(quán)度分布(圖6(c))均服從冪律分布.語音時間序列網(wǎng)絡是一個無標度網(wǎng)絡.

5.3 局部特征分析

通過網(wǎng)絡的一些局部拓撲特征,分析了語音時間序列數(shù)據(jù)值的特點.移動通信語音時間序列網(wǎng)絡依局部拓撲特征參數(shù)由大到小排序如表2所示.依節(jié)點的聚類系數(shù)由大到小排序,節(jié)點的符號模式如第一列所示；依節(jié)點的加權(quán)出度由大到小排序,節(jié)點的符號模式如第三列所示；依節(jié)點的介數(shù)中心性由大到小排序,節(jié)點的符號模式如第五列所示.

節(jié)點的聚類系數(shù)為1表示該模式的任意兩個鄰居模式之間都存在連邊,即該節(jié)點的鄰居節(jié)點之間彼此相連,如圖5(e)中的節(jié)點dcb的聚類系數(shù)為1,說明節(jié)點dcb的鄰居節(jié)點之間也是相鄰關系.在時間序列中,符號dcb對應于0點或1點.這個時間位于趨勢項時間序列的局部極大值處.類似地,其他聚類系數(shù)為1的節(jié)點對應于語音時間序列數(shù)據(jù)時,均由趨勢項的局部極大值或局部極小值映射而來.這代表了一天的語音量高峰期或低谷期.

表2 網(wǎng)絡節(jié)點模式特征表Table 2.The table for characteristics of node patterns.

加權(quán)出度較大的節(jié)點對應于時間序列上局部極大值和局部極小值之間的時刻.例如,圖5(e)中節(jié)點faa對應于語音時間序列上的12點、15點和19點等數(shù)據(jù).結(jié)合實際情況,可知加權(quán)出度大的節(jié)點對應于時間序列上的上班時間與休息時間的過渡時刻.對于周期性時間序列而言,這樣的數(shù)據(jù)較多,使得對應的節(jié)點的加權(quán)度較大.語音時間序列網(wǎng)絡中,一些節(jié)點的介數(shù)中心性很大,這些符號模式對網(wǎng)絡上信息的流動有較大的影響力.節(jié)點eoa的介數(shù)中心性為9810.72,該符號模式對應于時間序列中每天的14點和20點.

6 結(jié) 論

采用復雜網(wǎng)絡的量化統(tǒng)計量挖掘時間序列的內(nèi)在信息為時間序列分析方法提供了一個全新的視角.其中,時間序列網(wǎng)絡建模是最重要的方法之一.經(jīng)典方法構(gòu)建出無向無權(quán)網(wǎng)絡,主要有相空間重構(gòu)法和可視圖方法以及他們的拓展模型.這些方法實施簡便,但是,卻忽略了時間的單向性和基元之間的關聯(lián)程度的差異.針對上述問題,科學家們提出了符號化時間序列建網(wǎng)方法,基于該類方法構(gòu)建的加權(quán)有向網(wǎng)絡更加貼近實際.已有的符號化時間序列建網(wǎng)方法以時間序列相鄰數(shù)據(jù)的變化趨勢的符號組為基元,考慮了數(shù)據(jù)的變化過程,卻忽略了數(shù)據(jù)值本身的特征.本文提出的基于STL方法的時間序列網(wǎng)絡方法,既考慮了單個數(shù)據(jù)值的狀態(tài),又考慮了時間序列的長遠變化趨勢.以時間序列上的數(shù)據(jù)點為基元構(gòu)建網(wǎng)絡,可以通過網(wǎng)絡的局部拓撲特征體現(xiàn)時間序列單個數(shù)據(jù)值的信息.

本文提出的基于STL方法的時間序列建網(wǎng)方法,結(jié)合周期性時間序列的STL分析和符號轉(zhuǎn)化方法構(gòu)建出一個有向加權(quán)網(wǎng)絡.首先,依據(jù)STL方法將時間序列的每個數(shù)據(jù)值表示為三個狀態(tài)值.其次,通過對狀態(tài)值做區(qū)間劃分和符號化轉(zhuǎn)化,將每個數(shù)據(jù)值表示為狀態(tài)符號.最后,依時間順序推移,以節(jié)點間的鄰接轉(zhuǎn)換關系定義連邊；根據(jù)轉(zhuǎn)換方向和轉(zhuǎn)換頻次確定連邊的方向和權(quán)重,建立有向加權(quán)網(wǎng)絡.有向加權(quán)網(wǎng)絡的拓撲特征可以反映時間序列的特點：1)周期時間序列經(jīng)STL分析之后,趨勢項可以展示時間序列的長期變化特點；2)對于平穩(wěn)性周期時間序列,其周期項的規(guī)則性和趨勢項的平穩(wěn)性,使得在轉(zhuǎn)換成符號模式時,符號模式的重復率較高,轉(zhuǎn)換頻率較大,所以生成網(wǎng)絡的連邊的權(quán)重較大；3)在有向加權(quán)網(wǎng)絡中,聚類系數(shù)較大的節(jié)點對應著時間序列的高峰期或低谷期；而加權(quán)出度較大的節(jié)點對應著時間序列上的局部極大值和局部極小值之間的過渡時刻.

在構(gòu)建網(wǎng)絡時,使用了航空旅客吞吐量時間序列、因特網(wǎng)流量時間序列和移動通信語音業(yè)務量時間序列.它們的共性是均為周期性時間序列,差異性表現(xiàn)在平穩(wěn)性上.本文研究重點是基于時間序列構(gòu)建新的建網(wǎng)方法,適用于具有周期性的時間序列.時間序列表示為周期態(tài)、趨勢態(tài)和隨機態(tài)的符號形式,這些時刻符號不僅體現(xiàn)時間序列值的細節(jié)變化,而且反映時間序列的長期發(fā)展趨勢.在確定符號化階數(shù)時,需要通過實驗驗證,尚缺乏普適性的規(guī)則.未來將繼續(xù)完善方法并探索它們在動態(tài)建模[26,27]等領域的應用.