胡要花 吳琴

1) (洛陽師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院,洛陽 471022)

2) (廣東醫(yī)科大學(xué)信息工程學(xué)院,東莞 523808)

考慮一個(gè)受經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)的二能級系統(tǒng)與零溫玻色子庫相互作用,研究經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)對量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno效應(yīng)中量子系統(tǒng)存活概率的影響.結(jié)果表明,經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)可以降低量子系統(tǒng)的有效衰減率,即提高量子系統(tǒng)的存活概率.此外,環(huán)境的歐姆性對于提高量子系統(tǒng)的存活概率也起著重要作用,設(shè)置適當(dāng)?shù)沫h(huán)境歐姆參數(shù)可降低量子系統(tǒng)的有效衰減率.再者,隨著二能級系統(tǒng)與經(jīng)典場之間失諧量的增加,量子系統(tǒng)的存活概率降低,而通過增加經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)的強(qiáng)度或選擇合適的環(huán)境歐姆參數(shù),可以抑制失諧帶來的負(fù)面影響.

1 引 言

如果頻繁地對一個(gè)不穩(wěn)定的量子系統(tǒng)進(jìn)行量子測量,那么這個(gè)量子系統(tǒng)的衰減速度會(huì)變得很慢,這種效應(yīng)被稱為量子Zeno效應(yīng).近年來的研究表明,量子Zeno效應(yīng)在量子信息處理的各種任務(wù)中起著重要的作用.例如,它可以用來抑制耗散諧振器中糾纏的衰減[1],阻止量子腔中光場的相干演化[2],抑制開放量子系統(tǒng)中的退相干[3],實(shí)現(xiàn)單個(gè)光子的投影測量方案[4],抑制光學(xué)腔中驅(qū)動(dòng)三能級系統(tǒng)的自發(fā)輻射[5],實(shí)現(xiàn)無物理粒子實(shí)際傳輸?shù)闹苯油ㄐ臶6],提高參數(shù)估計(jì)的精度[7]等.另一方面,如果量子測量的頻率不夠高,即測量的時(shí)間間隔過長,那么量子系統(tǒng)的衰減會(huì)加快,這就是量子反Zeno效應(yīng).實(shí)驗(yàn)上,量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno效應(yīng)在許多不同的物理裝置中都被證實(shí)[8-12],而且它們在量子信息學(xué)中有著重要的潛在應(yīng)用價(jià)值,因此吸引了研究者們的廣泛興趣[13-24].

最近的研究[25]證明遭受頻繁重復(fù)測量的量子系統(tǒng)的有效壽命取決于環(huán)境的譜密度、系統(tǒng)-環(huán)境耦合以及所執(zhí)行的測量.因此,在頻繁重復(fù)測量的作用下,如何延長量子系統(tǒng)的生存時(shí)間,是一個(gè)值得研究的問題.隨后,有研究者提出利用投影測量和幺正運(yùn)算相結(jié)合,有效地抑制量子系統(tǒng)衰減的方案[26].本文提出應(yīng)用經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)來延長重復(fù)測量下量子系統(tǒng)生存概率的方案.經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)在量子信息處理中發(fā)揮著極其重要的作用,比如,借助經(jīng)典場驅(qū)動(dòng),可以提高量子系統(tǒng)的糾纏度、控制糾纏猝死的時(shí)間[27],抑制漏腔中量子相干和糾纏的衰減[28,29],加快與零溫結(jié)構(gòu)庫耦合的量子比特的演化速度[30].此外,經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)與非馬爾可夫記憶效應(yīng)的協(xié)同作用,可以提高噪聲環(huán)境下參數(shù)估計(jì)的精度[31].在以上研究工作的啟發(fā)下,本文考慮一個(gè)由經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)的二能級系統(tǒng)與一個(gè)零溫玻色子庫相互作用,研究量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno效應(yīng),并討論經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)對量子系統(tǒng)生存概率的影響.

2 有效衰減率

考慮一個(gè)二能級系統(tǒng)與玻色子環(huán)境相互作用.二能級系統(tǒng)的哈密頓量為 HS,玻色子環(huán)境的哈密頓量為 HB,系統(tǒng)與環(huán)境作用的哈密頓量用 V表示,則系統(tǒng)-環(huán)境整體的哈密頓量可以表示為

假設(shè)二能級系統(tǒng)初始狀態(tài)為 |ψ〉.根據(jù)文獻(xiàn)[25]提出的方法,經(jīng)過重復(fù)投影測量后量子系統(tǒng)的生存概率為

式中,N是投影測量重復(fù)的次數(shù),τ是兩次測量之間的時(shí)間間隔.顯然,1/Γ(τ) 表示量子系統(tǒng)的有效生存時(shí)間,Γ(τ) 則代表量子系統(tǒng)的有效衰減率.量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno效應(yīng)可由衰減率Γ(τ)隨測量間隔 τ的變化確定：如果 Γ(τ) 隨 τ的增大而增大,即發(fā)生了量子Zeno效應(yīng)；若 Γ(τ) 隨 τ的增大而減小即為量子反Zeno效應(yīng).當(dāng)量子系統(tǒng)與環(huán)境弱耦合時(shí),有效衰減率 Γ(τ) 可以表示為[25]

式中 J(ω) 是環(huán)境的譜密度函數(shù).假設(shè)∑系統(tǒng)與環(huán)境耦合的哈密頓量 V可以表示為 V=μFμ?Bμ,則(3)式中的濾波函數(shù) Q(ω,τ) 為

其中,ρS(0) 是二能級系統(tǒng)初始的密度矩陣,是與初態(tài) |ψ〉正交的投影算符；函數(shù)由環(huán)境關(guān)聯(lián)函數(shù)決定.環(huán)境關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為

3 模 型

考慮一個(gè)頻率為 ω0的二能級系統(tǒng),與零溫玻色子環(huán)境相互作用,同時(shí)受頻率為 ωL的經(jīng)典場驅(qū)動(dòng).在旋轉(zhuǎn)波近似下,系統(tǒng)-環(huán)境整體的哈密頓量可以寫成

其中,σx,y,z是泡利算符；而 σ±是原子反轉(zhuǎn)算符；分別是環(huán)境第k 個(gè)模式的頻率、產(chǎn)生(湮滅)算符；拉比頻率 Ω為實(shí)數(shù),表示二能級系統(tǒng)與經(jīng)典場之間的耦合；gk代表系統(tǒng)與環(huán)境第k 個(gè)模式耦合的常數(shù).

作么正變換 UR=exp(-iωLσzt /2) ,可將(6)式所表示的哈密頓量轉(zhuǎn)換成如下形式：

其中 Δ=|ω0-ωL|是二能級系統(tǒng)與經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場作用的頻率失諧.定義進(jìn)一步將(7)式表示為

式中

而

式中

假設(shè)二能級系統(tǒng)的初態(tài)為

將以上這些結(jié)果代入(12)式,經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算之后可得濾波函數(shù)

式中

4 量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno效應(yīng)

根據(jù)上一節(jié)的計(jì)算結(jié)果,分別展示共振和非共振條件下有效衰減率隨測量間隔的變化(圖1和圖2).此外,也討論了二能級系統(tǒng)初始處于非疊加態(tài)時(shí)的情形(圖3).

圖1展示了共振(Δ=0)條件下,參數(shù)G=0.01,ωc=10 時(shí)經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)對有效衰減率的影響.其中,(a),(b),(c)分別代表參數(shù) s 取0.5,1.0,2.0時(shí)有效衰減率隨測量間隔的變化,而點(diǎn)虛線、虛線、實(shí)線分別代表經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度 Ω取0,30,50的情形.從圖1可以看出：當(dāng)測量間隔 τ很小時(shí),衰減率 Γ(τ) 隨 τ增大而增大,即出現(xiàn)量子Zeno效應(yīng)；而當(dāng)測量間隔 τ足夠大時(shí),Γ(τ) 隨 τ增大而減小,即發(fā)生了量子反Zeno效應(yīng).此外,通過對比圖1(a)和圖1(b)中的實(shí)線、虛線和點(diǎn)虛線,發(fā)現(xiàn)拉比頻率Ω值越大,有效衰減率 Γ(τ) 越小,也就是說,量子系統(tǒng)的生存概率越高.這一結(jié)果表明,對于歐姆和亞歐姆環(huán)境,經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)可以提高量子系統(tǒng)在量子Zeno和反Zeno效應(yīng)下的生存概率.因?yàn)楫?dāng)經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)增強(qiáng)時(shí),二能級系統(tǒng)與環(huán)境之間的有效耦合減弱,這有助于保持二能級系統(tǒng)處于初始狀態(tài).超歐姆環(huán)境下的情況稍有不同,對于較長的測量間隔,Ω=30 時(shí)的有效衰減率比 Ω=0 的大,如圖1(c)所示.但進(jìn)一步考慮拉比頻率,如 Ω=50 時(shí),Γ(τ)仍然很小.這一結(jié)果表明,有效衰減率不僅受到經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的影響,而且還受到環(huán)境歐姆性的制約.對于 Ω=0 ,由圖1中所有點(diǎn)虛線可以看出：當(dāng)測量間隔很小時(shí),歐姆環(huán)境中有效衰減率的值比超歐姆和亞歐姆環(huán)境中的值??；但當(dāng)測量間隔很大時(shí),超歐姆環(huán)境中的有效衰減率最小.對于 Ω／=0 ,亞歐姆環(huán)境中的 Γ(τ) 值總是小于歐姆環(huán)境和超歐姆環(huán)境中的 Γ(τ) 值.這些結(jié)果表明,可以通過選擇適當(dāng)?shù)沫h(huán)境歐姆系數(shù)和經(jīng)典驅(qū)動(dòng)的強(qiáng)度來提高量子系統(tǒng)的生存概率.

圖1 有效衰減率隨測量間隔的變化曲線 (a) s =0.5；(b) s =1；(c)s =2Fig.1.The behavior of the effective decay rate as a function of the measurement interval：(a) s =0.5；(b) s =1；(c) s =2.

圖2 有效衰減率隨測量間隔的變化曲線 (a) Ω=30 ,s =0.5；(b) Ω=30 ,s =2；(c) Ω=50 ,s =2Fig.2.The beehavior of the effective decay rate as a function of the measurement interval：(a) Ω=30 ,s =0.5；(b) Ω=30 ,s =2；(c) Ω=50 ,s =2.

非共振(即 Δ／=0)條件下經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度和歐姆環(huán)境對有效衰減率的影響如圖2所示.圖2展示了 G=0.01 ,ωc=10 時(shí)有效衰減率隨測量間隔的變化,其中實(shí)線、虛線、點(diǎn)虛線分別代表 Δ= 1,2,5時(shí)的情形.由圖2可以看出：當(dāng)測量間隔 τ很小時(shí),出現(xiàn)量子Zeno效應(yīng)；而當(dāng)測量間隔 τ足夠大時(shí)發(fā)生量子反Zeno效應(yīng).對比實(shí)線、虛線、點(diǎn)虛線可以看出,有效衰減率隨失諧 Δ的增大而增大,這意味著增大失諧會(huì)減小量子系統(tǒng)的生存概率.該結(jié)果表明,失諧對生存概率有不利影響.這是因?yàn)?非共振條件下,失諧越大,二能級系統(tǒng)與經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場之間的相互作用越弱.也就是說,大失諧條件下,外部經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場對量子態(tài)生存概率的保護(hù)作用較小.幸運(yùn)的是,對比圖2(a)和圖2(b),發(fā)現(xiàn)亞歐姆環(huán)境中有效衰減率的值總是小于在超歐姆環(huán)境中的值.此外,由圖2(b)和圖2(c)可以看出,增大拉比頻率 Ω也可以減小衰減率的值.因此,雖然失諧對生存概率有不利影響,但這種影響可以通過增加經(jīng)典驅(qū)動(dòng)的強(qiáng)度或選擇適當(dāng)?shù)沫h(huán)境歐姆參數(shù)來抑制.

將(13)式代入(3)式,借助于數(shù)值計(jì)算,展示初態(tài) |ψ〉=|1〉且 Δ=0 ,G=0.01 ,ωc=10 ,Ω=50時(shí)有效衰減率 Γ(τ) 隨測量間隔 τ變化的函數(shù),其中實(shí)線、虛線、點(diǎn)虛線分別代表歐姆參數(shù) s =0.5 ,1.0,2.0時(shí)的情形.很顯然,在這種情況下發(fā)生了多次量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno效應(yīng)的轉(zhuǎn)換.也就是說,當(dāng)測量間隔減小時(shí),生存概率有時(shí)會(huì)增加,而有時(shí)則相反.此外,從圖3還可以看出,當(dāng)測量間隔較短時(shí),超歐姆環(huán)境(即 s =2.0)的有效衰減率大于亞歐姆(s =0.5)和歐姆(s =1.0)環(huán)境的有效衰減率.然而,在測量間隔相對較長的情況下,超歐姆環(huán)境(即 s =2.0)的有效衰減率卻最小.這些結(jié)果表明,環(huán)境的歐姆性對量子系統(tǒng)初態(tài)的保持起著重要作用.值得注意的是,比較圖3和圖1可以發(fā)現(xiàn),對于相同的測量間隔,初態(tài)下有效衰減率的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 |ψ〉=|1〉時(shí)的值.

值得注意的是,進(jìn)一步計(jì)算初態(tài)為 |ψ〉=|0〉時(shí)的情況,得到的數(shù)值結(jié)果與圖3所示的初態(tài)為|ψ〉=|1〉時(shí)的情況完全一樣,也就是說,只要二能級系統(tǒng)初始處于非疊加態(tài)(如果是自旋,則為自旋向上 |↑〉或者向下 |↓〉),都會(huì)出現(xiàn)圖3所示的這些現(xiàn)象.

圖3 初態(tài) |ψ〉=|1〉時(shí)有效衰減率隨測量間隔的變化曲線Fig.3.Behavior of the effective decay rate as a function of the measurement interval for the initial state |ψ〉=|1〉.

5 總 結(jié)

考慮了一個(gè)受經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)的二能級系統(tǒng)與一個(gè)零溫玻色子環(huán)境相互作用,根據(jù)量子系統(tǒng)的有效衰減率隨測量間隔的變化,研究量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno效應(yīng),重點(diǎn)討論經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對量子系統(tǒng)生存概率的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn),量子系統(tǒng)初始為疊加態(tài)情況下,當(dāng)測量間隔很小時(shí),出現(xiàn)量子Zeno效應(yīng)；而當(dāng)測量間隔足夠大時(shí)發(fā)生量子反Zeno效應(yīng).但在量子系統(tǒng)初始為非疊加態(tài)時(shí),出現(xiàn)了多次量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno的轉(zhuǎn)換.在相同測量間隔內(nèi),初始疊加態(tài)時(shí)的有效衰減率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于初始非疊加態(tài)時(shí)的衰減率.更為重要的是,當(dāng)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)足夠強(qiáng)時(shí),有效衰減率很小,這表明經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)可以提高量子Zeno和反Zeno效應(yīng)中量子系統(tǒng)的生存概率.此外,還發(fā)現(xiàn)另外一個(gè)對量子系統(tǒng)生存概率起重要作用的因素,那就是環(huán)境的歐姆性.而二級系統(tǒng)與經(jīng)典場之間的失諧對生存概率有不利影響,即隨著失諧量的增加,生存概率降低.但是,失諧的這種負(fù)面影響可以通過增加經(jīng)典驅(qū)動(dòng)的強(qiáng)度或選擇適當(dāng)?shù)沫h(huán)境歐姆來抑制.

隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的不斷發(fā)展,量子Zeno效應(yīng)和量子反Zeno效應(yīng)均已被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)[8-12],本項(xiàng)研究也有望在實(shí)驗(yàn)中得到實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證.首先,二能級量子系統(tǒng)可以用離子內(nèi)態(tài)來實(shí)現(xiàn),用電子擱置的方法實(shí)現(xiàn)對離子的測量[12].外部經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場可以控制經(jīng)典場的強(qiáng)度以及二能級系統(tǒng)與場相互作用的失諧量[32].激光驅(qū)動(dòng)離子方案在實(shí)驗(yàn)上很容易實(shí)現(xiàn)[33,34].本文討論的是單個(gè)二能級系統(tǒng),可以用歐姆環(huán)境特性可調(diào)的自旋玻色子模型實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[35,36].本項(xiàng)研究為量子狀態(tài)的保護(hù)實(shí)驗(yàn)提供了理論參考.