周婷婷

摘 要：數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其中用錯(cuò)位相減法求和是高頻考點(diǎn)，它要求學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維能力和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。然而我們學(xué)生最后得到的結(jié)果經(jīng)常出錯(cuò)，在數(shù)列12分的大題里面，大部分學(xué)生得分都是在6、7分，很不理想。本文從一道錯(cuò)位相減法求和的數(shù)列大題，進(jìn)行對(duì)該類(lèi)題型的解法分析和研究，希望對(duì)廣大學(xué)生有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;求和;錯(cuò)位相減

數(shù)列是出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)課程必修五課本的第二章內(nèi)容，數(shù)列是高考的必考內(nèi)容，其中數(shù)列求和是考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。高中階段對(duì)數(shù)列求和的方法主要有公式法（等差、等比數(shù)列求和公式）、分組求和法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法等。其中錯(cuò)位相減法最深受學(xué)生的“痛恨”，雖然此方法思路簡(jiǎn)單，但是計(jì)算和化簡(jiǎn)的過(guò)程繁瑣，要求學(xué)生具有很強(qiáng)的運(yùn)算能力，以及具有清晰的解題邏輯思維能力。錯(cuò)位相減法求和也是在考查學(xué)生的心理能力，考查我們學(xué)生能否在有限的時(shí)間里面快速的正確的完成。

以下我就圍繞一道利用錯(cuò)位相減法求和的例題，根據(jù)班級(jí)學(xué)生出現(xiàn)的解題思路以及解法做進(jìn)一步的分析和總結(jié)。

題目：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

分析：數(shù)列求和錯(cuò)位相減法使用類(lèi)型題：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式;其中數(shù)列{}為等差數(shù)列，{}為等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和。在教材中的概念課推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式就是用錯(cuò)位相減法進(jìn)行推導(dǎo)的。

【解法一：】

解：

學(xué)生在用錯(cuò)位相減法解題的時(shí)候，①、②式子容易寫(xiě)出，易錯(cuò)的地方是出現(xiàn)在兩式相減之后的計(jì)算和化簡(jiǎn)。在上面的解法一中，①—②所得的式子里面，得出，這涉及到了等比數(shù)列的求和，學(xué)生如果在這里應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，

，那么共有（n-1）項(xiàng)進(jìn)行求和，其和代入公式應(yīng)為 ?????????，而我們

學(xué)生在這里的運(yùn)算往往會(huì)欠缺項(xiàng)數(shù)問(wèn)題的考慮，易錯(cuò)成n項(xiàng)，直接計(jì)算出錯(cuò)導(dǎo)致丟分。所以為了避免出現(xiàn)項(xiàng)數(shù)的錯(cuò)誤，我們建議該步等比數(shù)列的求和可用另外一個(gè)公式：，這個(gè)公式用到了數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)，而該等比數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)在此

式子中容易得出，即：

其次，在①—②所得的式子里面，因?yàn)槭清e(cuò)位進(jìn)行相減，所以最后一項(xiàng)的相減應(yīng)為：，所以最后一項(xiàng)的符號(hào)應(yīng)為負(fù)，而我們學(xué)生也會(huì)易錯(cuò)寫(xiě)成加號(hào)。

錯(cuò)位相減法求和是需要學(xué)生有很強(qiáng)的計(jì)算能力，然而如果按照解法一的方法做題，很多學(xué)生還是會(huì)很難接受，原因出現(xiàn)在了分式運(yùn)算，這對(duì)于原本計(jì)算能力欠缺的學(xué)生真的是難上加難。所以我們可以進(jìn)一步思考研究，發(fā)現(xiàn)如果我們進(jìn)行錯(cuò)位相減之前，能夠把原先的通項(xiàng)公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃翁幚?，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知能力，處理成明顯的等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)形式，即，這樣我們學(xué)生比較容易接受，因此出現(xiàn)了以下的解法二。

【解法二】

解：

①?-②得：

我們?cè)龠M(jìn)一步的分析研究解法二發(fā)現(xiàn)，在①—②所得的式子

在解法二上，我們是直接對(duì)用了等比數(shù)列求和的公式運(yùn)算。在這一步中如果在等式每邊進(jìn)行乘以2的運(yùn)算，這樣可以得到等式：?，之后我們發(fā)現(xiàn)，也就是，我們可以拆寫(xiě)成??，而1我們可以寫(xiě)生，進(jìn)而在后面看似復(fù)雜的計(jì)算化簡(jiǎn)中，我們進(jìn)而得出以下解法三。

【解法三】

解：

①-②得：

這道數(shù)列求和題中，三種解法本質(zhì)是一樣的，但是不同的解法體現(xiàn)不同的計(jì)算思維的方法，也體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。所以我結(jié)合上述的三種寫(xiě)法，在用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和時(shí)，給出以下幾點(diǎn)做題建議：

1、熟知轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能靈活應(yīng)用。做題時(shí)需仔細(xì)審題，觀察題目適合哪種數(shù)列求和的方法，若求和類(lèi)型不明顯，則觀察分析是否能夠轉(zhuǎn)變成我們熟悉的通解通法，這就是做題的突破口。同時(shí)也要求我們必須掌握利用錯(cuò)位相減法求和適用的數(shù)列題型，即所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為“等差×等比”的形式。當(dāng)所求數(shù)列的通項(xiàng)公式比較復(fù)雜時(shí)，我們可以先對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)變形，變成明顯的“等差×等比”的標(biāo)準(zhǔn)形式。例如;2017年天津卷（2）的高考數(shù)列題，由第一問(wèn)可求得，第二問(wèn)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，在第二問(wèn)中，我們可以做以下的化簡(jiǎn)：

這樣靈活的處理化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化成熟悉的錯(cuò)位相減法求和的類(lèi)型題，學(xué)生易懂，計(jì)算也會(huì)不易出錯(cuò)，解題效率和正確率都會(huì)有所提高。

計(jì)算時(shí)要仔細(xì)，不貪快。我們做題的時(shí)候，在平時(shí)計(jì)算的易錯(cuò)點(diǎn)要特別小

心，不丟冤枉分。比如在兩個(gè)式子進(jìn)行相減時(shí)，錯(cuò)位進(jìn)行相減后的最后一項(xiàng)的符號(hào)是負(fù)的，為了避免此處出錯(cuò)，我們建議可以在第二個(gè)式子乘以公比之后錯(cuò)開(kāi)來(lái)寫(xiě)，實(shí)則是“錯(cuò)位”二字的體現(xiàn)，這樣兩個(gè)式子相減之后，上面式子和下面式子對(duì)應(yīng)項(xiàng)相見(jiàn)會(huì)一目了然。如：

使用恰當(dāng)?shù)牡缺葦?shù)列求和公式，會(huì)在計(jì)算上給我們降低錯(cuò)誤率。在兩個(gè)式子進(jìn)行相減后，往往會(huì)得到一個(gè)等比數(shù)列的求和，如果我們使用等比數(shù)列求和的公式，公式中的指的是所求數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)，而有些題目的項(xiàng)數(shù)并不明顯看出，學(xué)生做題時(shí)容易都當(dāng)成額求項(xiàng)和導(dǎo)致錯(cuò)誤。所以為了避免出現(xiàn)項(xiàng)數(shù)錯(cuò)誤，我建議可以選擇用公式：，該公式中的是該數(shù)列求和中的首項(xiàng)，指的是該數(shù)列求和的末項(xiàng)。比如：

在上面的式子圈出來(lái)的求和部分中，是一個(gè)等比數(shù)列求和，如果我們使用公式進(jìn)行求和，注意項(xiàng)數(shù)是第三項(xiàng)一直加到第項(xiàng)，共有項(xiàng)項(xiàng)進(jìn)行求和，結(jié)果為，然而我們學(xué)生容易在項(xiàng)數(shù)上出錯(cuò)。如若我們使用公式求和，不需考慮項(xiàng)數(shù)問(wèn)題，直接代入結(jié)果為，公式中的和可以直接從式子中看出。

4、在兩個(gè)式子相見(jiàn)之后的計(jì)算中，我們也可以先觀察是否有些項(xiàng)可以通過(guò)拆分，或者進(jìn)行添項(xiàng)、減項(xiàng)，進(jìn)而得到恰好構(gòu)成n項(xiàng)的等比數(shù)列求和。如果可以，則會(huì)使我們的接下去的解題計(jì)算更加簡(jiǎn)便，也更加方便我們運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，同時(shí)還會(huì)避免了上述第三點(diǎn)意見(jiàn)中的使用恰當(dāng)?shù)牡缺葦?shù)列求和公式的選擇。

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