潘敬貞

一.近三年試題特點(diǎn)分析

題型上，近三年高考全國(guó)卷對(duì)立體幾何的考查題型有選擇題、填空題及解答題。題量上，多數(shù)以“兩小一大”為主，偶有“一小一大”，如2018年全國(guó)I卷有“三小一大”共27分，而2019年全國(guó)I卷才“一大一小”共17分，所以說題量并不是固定的，有時(shí)有微調(diào)。

知識(shí)點(diǎn)分布上，小題主要考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，求體積、面積等知識(shí)，部分試題滲透數(shù)學(xué)文化、實(shí)際背景及知識(shí)交匯處命題，突出試題的思想性和知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，主要考查同學(xué)們的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。另外2019年全國(guó)9套試卷均未考查三視圖，這與新課改中要求刪除三視圖有一定關(guān)系，但2020年高考的命題仍按老課標(biāo)與老教材進(jìn)行命題，沒有任何信息表明2020年高考不考三視圖，因此在備考時(shí)一定要注意。立體幾何解答題一般位于17-20題的位置，題型比較常規(guī)，第一小題重點(diǎn)考查線線、線面、面面的位置關(guān)系的證明，第二小題理科主要考查空間角，文科主要考查求錐體的體積、表面積等問題，要求同學(xué)們對(duì)基本概念的掌握要清晰，并且具備一定的運(yùn)算能力。

難度上，小題以容易題和中檔題為主，也有壓軸小題，比如2018年全國(guó)I卷理科第12題，2019年全國(guó)I卷理科第12題，2017年全國(guó)I卷理科第16題。解答題基本上是以中檔題為主。

二、考查問題分析

高考全國(guó)卷立體幾何的小題主要考查以下幾個(gè)方面的問題：（1）幾何體中的線面位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，主要情形有：①已知一個(gè)球及其內(nèi)接或外切的幾何圖形求其中的數(shù)量關(guān)系;②已知一個(gè)多面體中的位置或數(shù)量關(guān)系求其他的數(shù)量關(guān)系。（2）根據(jù)某幾何體的三視圖猜想其幾何特征并求該幾何體的某個(gè)數(shù)量關(guān)系，主要情形有：①給出幾何體的三視圖，通過看圖、想圖和畫圖得到其直觀圖，以此確定其幾何特征并求其有關(guān)數(shù)量;②根據(jù)三視圖的條件確定直觀圖所表示的幾何體的幾何特征，計(jì)算難度很低，一般是求能反映幾何體本身特征的量，并且只要求代公式直接求值。

解答題?？疾樽C明和求解其他線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，主要情形有：①根據(jù)幾何體的部分線面位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化、推理、計(jì)算，從而證明和求解其他線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，具體呈現(xiàn)為：證明異面直線垂直、線面垂直、面面垂直、線面平行、面面平行，求幾何體的體積、表面積，點(diǎn)到面的距離等;②通過建立空間坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算求幾何體中的空間數(shù)量關(guān)系。

三、高考動(dòng)向透視

隨著新課標(biāo)的頒布，高考命題也發(fā)生了微妙的變化，試題凸顯以基本知識(shí)為載體，考查同學(xué)們的核心素養(yǎng)。主要是以立體幾何的基本概念、基本知識(shí)、基本幾何體為載體，通過想圖、畫圖、用圖的過程考查同學(xué)們的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象;通過判斷或證明點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系考查同學(xué)們的邏輯推理;通過求線面的數(shù)量關(guān)系考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。選擇題與填空題由于不給幾何圖形，同學(xué)們必須通過想圖、畫圖、用圖等一系列過程方可順利解決有關(guān)問題，這樣更好地考查同學(xué)們的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。由于受到已知圖形的限制，因此解答題更側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。當(dāng)然，有些試題具有較強(qiáng)的綜合性，同一道試題既考查數(shù)學(xué)抽象又考查邏輯推理，還考查數(shù)學(xué)運(yùn)算。

1.分析幾何體中的位置關(guān)系

例1 （2019年全國(guó)Ⅱ卷文理7）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α //β的充要條件是（ ）。

A. α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

答案：B。

評(píng)注：本題結(jié)合充要條件考查線面位置關(guān)系，由于沒有已知圖形，也不需要運(yùn)算，考生全憑自己掌握的立體幾何基本知識(shí)通過想象解決問題，主要檢測(cè)考生運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證解決立體幾何問題的關(guān)鍵能力，這類題有一定的難度，要注意掌握好基礎(chǔ)知識(shí)，提升自己解決問題的能力。

2.分析幾何體中的幾何關(guān)系并求其中的數(shù)量關(guān)系

（1）已知一個(gè)球及其內(nèi)接或外切的幾何圖形求其中的數(shù)量關(guān)系。

例2 （2018年新課標(biāo)Ⅲ卷文1 理10）設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9√3，則三棱錐體積的最大值為（ ）。

A.12√3

B.18√3

C.24√3

D.54√3

答案：B。

評(píng)注：解答本題，首先是想圖和畫圖，再分析體積表達(dá)式中不變的量是三棱錐底面的面積，變量只有三棱錐的高，即三棱錐高的最大值是球心到底面的距離加上球的半徑，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求球心到截面的距離，構(gòu)造直角三角形易得其解。主要考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

（2）已知一個(gè)多面體中的位置或數(shù)量關(guān)系求其他的數(shù)量關(guān)系。

例3 （2018年全國(guó)I卷文10）在長(zhǎng)方體ABCD-AlBlClD1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為（ ）。

A.8 B.6√2 C.8√2 1）.8√3

答案：C。

評(píng)注：本題以長(zhǎng)方體為載體，考查線面夾角的概念，建立關(guān)于線面夾角的數(shù)學(xué)模型，求出長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)，從而求出長(zhǎng)方體的體積。主要考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

例4（2017年新課標(biāo)I卷理16）如圖l，網(wǎng)形紙片的網(wǎng)心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊△ABC的中心為O。D，E，F(xiàn)為網(wǎng)O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，則所得三棱錐體積（單位：cm2）的最大值為___。

答案：4/15。

評(píng)注：本題主要結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具求三棱錐體積的最大值，首先要分析數(shù)量關(guān)系，建立關(guān)于體積的數(shù)學(xué)模型，再利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行解決。本題具有一定的綜合性、靈活性、創(chuàng)新性，主要考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

3.根據(jù)某幾何體的三視圖猜想萁幾何特征并求該幾何體的某個(gè)數(shù)量關(guān)系

例5 （2017年新課標(biāo)Ⅱ卷文6理4）如圖2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為l，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一網(wǎng)柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（ ）。

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

答案：B。

評(píng)注：給出幾何體的三視圖，通過看圖、想圖、畫圖得到其直觀圖，以此確定其幾何特征并求其有關(guān)數(shù)量。這類問題主要考查由三視圖得到直觀圖的空間想象能力;其次是根據(jù)三視圖的條件確定直觀圖所表示的幾何體的幾何特征;計(jì)算難度比較低，一般是求能反映幾何體本身特征的量，并且只要求代公式直接求值。主要以考查簡(jiǎn)單組合體與殘缺體為主。

4.證明和求解其他線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系

（1）根據(jù)幾何體的部分線面位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化、推理、計(jì)算，從而證明和求解其他線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。

例6 （2017年新課標(biāo)I卷文18）如圖3，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°。

（l）證明：平面PAB⊥平面PAD;

（2）若PA =PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱錐P-ABCD的體積為8/3，求該四棱錐的側(cè)面積。

評(píng)注：本題主要考查空間幾何體的面面垂直的證明、求四棱錐的側(cè)面積等知識(shí)，意在考查考生的空間想象能力、化歸轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力。第一問欲證平面PAB⊥平面PAD，只需要證明AB⊥平面PAD，即在平面PAD內(nèi)尋找兩條相交直線與AB垂直，利用已知條件，即可得證。第二問，利用第一問的結(jié)論，可快速求出四棱錐的高，再利用四棱錐P-ABCD的體積為8/3，即可求出AB的長(zhǎng)，從而可以求出該四棱錐的側(cè)面積。

（2）通過建立空間坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算求幾何體中的空間數(shù)量關(guān)系。

例7 （2019年全國(guó)Ⅱ卷理17）如圖4，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1ClDl的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1。

（l）證明：BE上平面EB1C1.;

（2）若AE=A1E1求二面角B-EC-C1的正弦值。

評(píng)注：第一問證明線面垂直，主要考查同學(xué)們對(duì)點(diǎn)線面位置關(guān)系的理解、應(yīng)用及語言表達(dá)，屬于同學(xué)們較為熟悉的問題。第二問求解二面角的正弦值，屬于常規(guī)問題，題目入口寬有利于同學(xué)們的解答，注重考查四基與四能，若能用好空間直角坐標(biāo)系，還可以給試題的解答賦予更優(yōu)化的方法，關(guān)鍵看同學(xué)們?nèi)绾芜x擇使用。建立空間直角坐標(biāo)系常用的三條途徑：①利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系，當(dāng)圖形中有兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線時(shí)，可以利用這三條直線直接建系;②利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建系，圖形中雖沒有兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定的對(duì)稱關(guān)系，利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系可建立空間直角坐標(biāo)系，這是建立空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何有關(guān)問題的關(guān)鍵;③利用面面垂直的性質(zhì)建立坐標(biāo)系，圖形中有兩個(gè)互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理作出兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，從而建立坐標(biāo)系。

四.復(fù)習(xí)建議

在復(fù)習(xí)過程中，一要重視基本概念本質(zhì)的理解，了解概念、公式的來龍去脈。二要正確理解數(shù)學(xué)符號(hào)并規(guī)范使用數(shù)學(xué)符號(hào)，包括文字語言、符號(hào)語言、圖形語言，要做到三種語言的熟練轉(zhuǎn)化。對(duì)課本上的定理、公理能夠用三種語言表示，對(duì)平行、垂直判定方法進(jìn)行梳理總結(jié)，形成系統(tǒng)，用三種語言表示。多多練習(xí)命題真假判斷問題，一方面，加深對(duì)定理的理解;另一方面，通過畫圖、想圖，培養(yǎng)將文字語言、符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的能力。三要有意識(shí)地提升畫圖能力，高考中立體幾何小題一般都不給圖，而大題中所給的圖又往往需要添加輔助元素，所以從某種意義上說，作出一個(gè)好圖等于題目解決了一半，因此，在復(fù)習(xí)中注重畫圖能力的提升，訓(xùn)練中要做到：（l）會(huì)畫——根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出的圖形要直觀，虛實(shí)要分明。（2）會(huì)看——根據(jù)題目給出的圖形，想象出幾何體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系。（3）會(huì)用——對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合，或?qū)ζ淠巢糠诌M(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或割補(bǔ)等。四要規(guī)范表述，基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法、基礎(chǔ)練習(xí)要到位，解題步驟要規(guī)范，注重通性通法，體現(xiàn)“大眾化”。從歷年備考立體幾何解答題的情況來看，很多考生出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的問題比較嚴(yán)重，很值得引起我們的重視。因此，在平時(shí)的訓(xùn)練中，要養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣，把典型問題的解法總結(jié)成程序化的步驟。比如用空間向量解決立體幾何問題的步驟為：合理建系——正確寫出坐標(biāo)——寫出相關(guān)向量——經(jīng)過向量運(yùn)算——向量結(jié)論——幾何結(jié)論。

（責(zé)任編輯 王福華）